求随机变量函数的概率密度函数的教学方法

浅谈如何简单求随机变量函数的概率密度函数的方法

摘要:针对教材中给出的求连续型随机变量函数的概率密度的方法的单一,在借鉴前人研究成果的基础上,提出求概率密度的四步教学法。

概率论与数理统计就是一门很有特色的数学分支,无论就是综合类大学还就是高职、高专院校,都将它作为一门必修课。在大学《概率论与数理统计》中,随机变量函数就是一个重点也就是一个难点,尤其就是连续性随机变量函数的概率密度,教材中只就是一般给出两种方法:一种就是先求其分布函数,然后对分布函数求导,来得概率密度函数;二就是教材中的定理1[1] 关键字: 随机变量函数 概率密度 一、

定义1:如果存在一个函数()g x ,使得随机变量,X Y 满足()Y g X = 则称随机变

量Y 就是随机变量X 的函数,那么随机变量Y 的概率密度函数称为随机变量函数的概率密度函数。

二、 (经典公式法)定理1:设随机变量X 具有概率密度

(),X f x x R

∈,又设

()y g x =出处可导且恒有

()()''0(0)

g x g x ><或则

()

Y g X =就是一个连续性

随机变量,其概率密度函数

()()()11'

,0,X Y f g y g y y f y αβ--⎧⎡⎤<<⎪⎣⎦=⎨⎪⎩

其他 (1、1)

该定理中给出的求解方法要求函数()y g x =必须就是一对一的单射。然而,在我们实际教学中,学生经常会遇到这样的问题:设随机变量X 的概率密度函数为

()X f x 求随机变量函数2

12Y X ⎛⎫

=- ⎪⎝

⎭的概率密度函数。显然在这情况下,使用定理

1的求法就是不满足其使用条件的。

定理2 [2][3]设连续型随机变量X 的概率密度函数(),

()0,

f x a x b

p x ⎧<<=⎨

⎩其他

()y g x =为区间[],a b 上连续的函数,若每一个y 对应唯一x 的表达式记为

123(),

(),

()()n h y h y h y h y K ， 且均连续可导,对应的定义域

记作:123,,n I I I I K ，则随机变量函数()Y g X =的概率密度函数为

[]()'

1

()(),

1,2,3()0n X i i i i Y f h y h y y I i n f y =⎧∈=⎪=⎨⎪⎩

∑K ，其他

该方法基于熟悉的公式法,拓宽了求解连续性随机变量函数的概率密度的方法,弥

补了定理1,中的缺陷,解除了初学者使用时的困惑。针对三本院校学生基础知识薄弱,我们在教学中在严格遵守教学规律的同时,坚持以用为本,淡化概念定理的

推到证明。从而融合定理1、定理2的思想方法归纳总结出以下结论 三、求概率密度函数的四步法: (1)反解()y g x =得

11()x h y =,()11,y a b ∈,22()x h y =,()12,y a b ∈ ,()(),,n n n n x h y y a b =∈K

(2)使用数轴以i a ,i b 1,2,3i n =K 为端点将(),i i a b 1,2,3i n =K 分割成互不重合的子

区间

()()()()()()()()()1

1

2

2

,,,,,m

m

a b a b a b K m n ≥

(3)确定每个区间()()(),j

j

a b 上的()i h y 1,2,j

i n =L 并求出该区间上概率密度函数

()'1

()(),1,2,3j

n Yj X i i i f f h y h y j m ===∑L

(4)确定概率密度函数()()()

()()()11

122

2

(),,(),

,(),0,

Y Y Y f y a b f y a b f y ⎧⎪⎪⎪

=⎨⎪⎪⎪⎩M M 其他

四、举例

例1 设

(),

0480,X x x X f x ⎧<<⎪=⎨

⎪⎩:其他

,求28Y X =+的概率密度

解:(1)由28Y X =+反解得8

2

Y X -=

, 当04x <<时,8

y <<(2)分割区间

(3)该区间上'

1188()=822Y y y f y --⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

,816y <<

(4)概率密度函数

()8

,81632

0,Y y y f y -⎧<<⎪

=⎨⎪⎩其他

例2

设随机变量X 的概率密度函数为2,

01()0,

x x p x <<⎧=⎨

⎩其他

求2

13Y X ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭的概率密度函数。

解:(1)由2

13y x ⎛

⎫=- ⎪

⎝⎭

得1

1()3

h y =, 14=09I ⎛⎫ ⎪⎝⎭，

, 21()3h y =+, 21=09I ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 10,9y ⎛

⎫∈ ⎪⎝

⎭

(2)

(3)当10,9y ⎛⎫∈ ⎪⎝

⎭ 时 ''

11122()(())()(())()Y X X f y f h y h y f h y h y =+

整理得1()Y f y =

,10,9y ⎛

⎫∈ ⎪⎝

⎭

当14,99y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时,'

211

()(())()Y X f y f h y h y == (4)

''

1122'111(())()(())(),0914()(())(),

990,X X Y X f h y h y f h y h y y f y f h y h y y ⎧+<<

⎪⎪⎪

=<<⎨⎪

⎪⎪⎩其他 整理得109

14()1990,Y y f y y ⎧<<

⎪⎪⎪=+<<⎨⎪⎪⎪⎩

其他

例3、设连续性随机变量X 的概率密度函数为()f x ,分布函数为()F x ,求随机变量=Y X 的概率密度

解:(1)反解y x =,1()h y y =,0y >;2()-h y y =,0y >