《光纤光学教学课件》第三讲.ppt
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优点：具有理论上的严谨性，未做任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单 模和多模光纤。 缺点：分析过程较为复杂。
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
光纤光学的研究方法比较
适用条件 研究对象 基本方程 研究方法 研究内容
几何光学方法 d 光线 射线方程 折射/反射定理 光线轨迹
2021/3/11
二、光线方程 由光程函数方程可推得光线方程：
d dS
n
dr dS
n
r
ds dr
r dr r
S x, y, z
设光线函数为S(x,y,z)，取线段元dS
dr 为dS的切线，
dr 的单位矢量：
u dr ds
S 的方向导数为： Q
u //
2021/3/11 © HUST 2012
波动光学方法 d 模式 波导场方程 边值问题 模式分布
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
光线理论与波动理论分析思路
电磁分离
时空分离
纵横分离
2021/3/11 © HUST 2012
波动方程 wave equation 亥姆赫兹方程 Helmholtz equation 波导场方程
由 Q2 n2
n
2021/3/11
单位矢量相等：
u n dr Q
n ds
又有：
d dxi dr •
ds i ds xi ds
对式 Q2 n2 ，求导数得：
2Q Q 2nn
n
dr ds
Q
nn
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
n d Q nn
k e /Vp 2 / nk0
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
2.2 程函方程与射线方程
一、程函方程：光程函数方程
设上述的标量场方程的解有如下形式： 0 ( x, y, z)eik0Q( x, y,z)
Q(x,y,z) 是光程函数，代入亥姆赫兹方程得：
ds
d ds
n
dr ds
n
光线方程
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
光线方程的物理意义：
当光线与z 轴夹角很小时，有：
物理意义：
d dz
n
dr dz
n
r
• 将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来;
• 由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式;
• dr/dS是光线切向斜率, 对于均匀波导，n为常数,光线以直
第二章 光纤光学的基本方程
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
光纤光学的研究方法
几何光学方法：
光纤芯径远大于光波波长λ0时, 可以近似认为λ0→0，从而将 光波近似看成由一根一根光线所构成, 因此可采用几何光学方法来分 析光线的入射、传播(轨迹) 以及时延(色散) 和光强分布等特性，这 种分析方法即为光线理论。
2021/3/11
补充数学知识
2021/3/11
© H@USHT U20S1T2 2010
2010-3-2
2021/3/11 6
补充数学知识
为梯度算符，在直角坐标系与圆柱坐标系中分别为：
ex
x
ey
y
ez
z
er
r
e
1.
r
ez
z
2021/3/11
© H@USHT U20S1T2 2010
8
矢量波方程
这是电磁波普遍适用的精确方程。
在光纤中，折射率变化非常缓慢，可近似认为
于是上述方程可简化为标量波方程
2 E e2 E/ t 2
2 H e2 H/ t 2
矢量E(x,y,z,t)和 H(x,y,z,t)的每一个分 量均满足该式！
Notice：该方程为近似结果，适用于光纤中的一般问
题。若要进行精密分析，要用矢量方程。
2021/3/11
© H@USHT U20S1T2 2010
2010-3-2
2021/3/11
9
分离变量: 时空坐标分离
前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数 令场分量为：
(x, y, z,t) (x, y, z)eit
得到关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式，即 亥姆霍兹方程：
2(x, y, z) k 2(x, y, z) 0
2021/3/11 © HUST 2012
E1t E2t H1t H2t B1n B2n D1n D2n
2021Fra Baidu bibliotek3/11
电磁矢量分离：波动方程
电场、磁场关系式
矢量关系式
电场强度E的波动方程式
2该021方/3/11程只与电场强度E有关，与磁场H无关。
© HUST 2012
2021/3/11
k02 (k2 / k02 Q Q)0 ik0 (2Q Q 0 2 Q) 20 0
由几何光学近似（ 0 0 或k0 ∞）可得：
(Q)2 n2 —— 光程函数方程
当已知折射率分布时，由程函方程可以求出光程函数 Q ，并进而由
Q(x, y, z) const,可确定等相位面。
2021/3/11 © HUST 2012
线形式传播;对于渐变波导,n是r的函数,则dr/dS为一变量,
这表明光线将发生弯曲。而且可以证明,光线总是向折射率
高的区域弯曲。
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
优点：简单直观，适合于分析芯径较粗的多模光纤。 缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合以及光场分 布等现象，分析单模光纤时结果存在很大的误差。
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
波动光学方法：
是一种严格的分析方法，从光波的 本质特性电磁波出发，通过求解电磁波所遵 从的麦克斯韦方程，导出电磁波的场分布。
2010-3-2
2021/3/11 7
2.1 麦克斯韦方程与亥姆赫兹方程
一、麦克斯韦方程
光纤是一种介质光波导，具有如下特点： ①无传导电流； ②无自由电荷； ③线性各向同性。
H D/ t E B / t
D 0 B 0
D＝εE B＝μH
e＝e0n2
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
0 —材料在真空中的磁导率；e 0 —材料在真空中的介电常数；
n—材料折射率
边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切 向分量要连续,D与B的法向分量连续：
n • D2 D1 0 n • B2 B1 0 n E2 E1 0 n H2 H1 0
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
光纤光学的研究方法比较
适用条件 研究对象 基本方程 研究方法 研究内容
几何光学方法 d 光线 射线方程 折射/反射定理 光线轨迹
2021/3/11
二、光线方程 由光程函数方程可推得光线方程：
d dS
n
dr dS
n
r
ds dr
r dr r
S x, y, z
设光线函数为S(x,y,z)，取线段元dS
dr 为dS的切线，
dr 的单位矢量：
u dr ds
S 的方向导数为： Q
u //
2021/3/11 © HUST 2012
波动光学方法 d 模式 波导场方程 边值问题 模式分布
2021/3/11 © HUST 2012
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光线理论与波动理论分析思路
电磁分离
时空分离
纵横分离
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波动方程 wave equation 亥姆赫兹方程 Helmholtz equation 波导场方程
由 Q2 n2
n
2021/3/11
单位矢量相等：
u n dr Q
n ds
又有：
d dxi dr •
ds i ds xi ds
对式 Q2 n2 ，求导数得：
2Q Q 2nn
n
dr ds
Q
nn
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
n d Q nn
k e /Vp 2 / nk0
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
2.2 程函方程与射线方程
一、程函方程：光程函数方程
设上述的标量场方程的解有如下形式： 0 ( x, y, z)eik0Q( x, y,z)
Q(x,y,z) 是光程函数，代入亥姆赫兹方程得：
ds
d ds
n
dr ds
n
光线方程
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
光线方程的物理意义：
当光线与z 轴夹角很小时，有：
物理意义：
d dz
n
dr dz
n
r
• 将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来;
• 由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式;
• dr/dS是光线切向斜率, 对于均匀波导，n为常数,光线以直
第二章 光纤光学的基本方程
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
光纤光学的研究方法
几何光学方法：
光纤芯径远大于光波波长λ0时, 可以近似认为λ0→0，从而将 光波近似看成由一根一根光线所构成, 因此可采用几何光学方法来分 析光线的入射、传播(轨迹) 以及时延(色散) 和光强分布等特性，这 种分析方法即为光线理论。
2021/3/11
补充数学知识
2021/3/11
© H@USHT U20S1T2 2010
2010-3-2
2021/3/11 6
补充数学知识
为梯度算符，在直角坐标系与圆柱坐标系中分别为：
ex
x
ey
y
ez
z
er
r
e
1.
r
ez
z
2021/3/11
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矢量波方程
这是电磁波普遍适用的精确方程。
在光纤中，折射率变化非常缓慢，可近似认为
于是上述方程可简化为标量波方程
2 E e2 E/ t 2
2 H e2 H/ t 2
矢量E(x,y,z,t)和 H(x,y,z,t)的每一个分 量均满足该式！
Notice：该方程为近似结果，适用于光纤中的一般问
题。若要进行精密分析，要用矢量方程。
2021/3/11
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2010-3-2
2021/3/11
9
分离变量: 时空坐标分离
前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数 令场分量为：
(x, y, z,t) (x, y, z)eit
得到关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式，即 亥姆霍兹方程：
2(x, y, z) k 2(x, y, z) 0
2021/3/11 © HUST 2012
E1t E2t H1t H2t B1n B2n D1n D2n
2021Fra Baidu bibliotek3/11
电磁矢量分离：波动方程
电场、磁场关系式
矢量关系式
电场强度E的波动方程式
2该021方/3/11程只与电场强度E有关，与磁场H无关。
© HUST 2012
2021/3/11
k02 (k2 / k02 Q Q)0 ik0 (2Q Q 0 2 Q) 20 0
由几何光学近似（ 0 0 或k0 ∞）可得：
(Q)2 n2 —— 光程函数方程
当已知折射率分布时，由程函方程可以求出光程函数 Q ，并进而由
Q(x, y, z) const,可确定等相位面。
2021/3/11 © HUST 2012
线形式传播;对于渐变波导,n是r的函数,则dr/dS为一变量,
这表明光线将发生弯曲。而且可以证明,光线总是向折射率
高的区域弯曲。
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
优点：简单直观，适合于分析芯径较粗的多模光纤。 缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合以及光场分 布等现象，分析单模光纤时结果存在很大的误差。
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
波动光学方法：
是一种严格的分析方法，从光波的 本质特性电磁波出发，通过求解电磁波所遵 从的麦克斯韦方程，导出电磁波的场分布。
2010-3-2
2021/3/11 7
2.1 麦克斯韦方程与亥姆赫兹方程
一、麦克斯韦方程
光纤是一种介质光波导，具有如下特点： ①无传导电流； ②无自由电荷； ③线性各向同性。
H D/ t E B / t
D 0 B 0
D＝εE B＝μH
e＝e0n2
2021/3/11 © HUST 2012
2021/3/11
0 —材料在真空中的磁导率；e 0 —材料在真空中的介电常数；
n—材料折射率
边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切 向分量要连续,D与B的法向分量连续：
n • D2 D1 0 n • B2 B1 0 n E2 E1 0 n H2 H1 0