中考数学复习微专题：构造全等三角形解题

构造全等三角形解题

我们知道，正方形是特殊的平行四边形，它的四边相等，四个角都是直角．如果把它的边、角分别划分到适当的两个三角形中，再构造一对边或角的关系，就可以证明这两个三角形全等，进而证明相关的问题．

一、延长线段构造全等三角形

例1如图1所示，在正方形ABCD中，E、F是AD、DC上的点，且∠EBF＝45°，求证：EF＝CF＋AE．

分析欲证明EF＝CF＋AE，应先构造出CF＋AE．为此可延长EA到G，使AG＝FC，于是可得到CF＋AE＝GA＋AE＝GE．连结BG，可构造出△GAB≌△FBC，故∠1＝∠2．再由∠EBF＝45°．可知∠2＋∠3＝45°，所以∠1＋∠3＝45°．然后可证△GBE≌△EBF，从而有EF＝GE，于是命题得证．

例2如图2所示，E是DC的中点，F是CE的中点，求证：∠FAB＝2∠DAE．分析要证明∠FAB＝2∠DAE，即证明∠FAB＝∠DAE＋∠DAE．为此可在∠FAB 中构造∠DAE．

如图2，设BC的中点为M，连结AM，则∠BAM＝∠DAE，设∠BAM＝∠l，∠FAM

＝∠2，这样需证明∠l＝∠2．

延长AM与DC的延长线交于点N．

∵M是BC的中点，DN∥AB，

∴△NC M鲨AABM，∴∠1＝∠3．

以下设法证明∠2＝∠3，这只需证明AF＝FN．

设正方形边长为a，则FN＝5

4 a．

在Rt△ADF中，

AF＝5

4 a．

∴AF＝FN，命题得证．

二、通过平移构造全等三角形

例3如图3所示，正方形ABCD中，AE⊥DM，求证：AE＝DM．

分析要证AE＝DM，只需证△ADE≌△DCM．由图3可知

AD＝DC，∠ADE＝∠DCM．

又因为AE⊥DM，可得∠1＋∠2＝90°．

在Rt△ADE中，∠3＋∠2＝90°，所以∠1＝∠3，因此△ADE≌△DCM．例4如图4所示，正方形ABCD中，AE上MN，求证：AE＝MN．

分析1比较图3、图4，结合已知条件，可知本题的不同之处在于图4中的MN没有通过正方形的顶点．只需将MN平移使得其通过D点，这样构造出△DCM1就与图3中的形状一样，再利用上例即可获证．

分析2也可平移DC使其通过N点，构造出△M2NM，再证明△ADE≌△M2NM．