(完整版)简单的线性规划问题(附答案)

简单的线性规划问题
[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
知识点一 线性规划中的基本概念
知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值
线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z
b ，
当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，
(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．
(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．
(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型
(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；
(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题
例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题
例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题
例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤
(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．
(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．
题型一 求线性目标函数的最值
例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )
A ．12
B ．11
C ．3
D ．－1
答案 B
解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经
过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.
跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，
2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．
，则实数a 的值为( ) A.1
2或－1 B ．2或1
2
C ．2或1
D ．2或－1
(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，
x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．
答案 (1)D (2)1
解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，
故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.
(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.
题型二 非线性目标函数的最值问题
例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，
2y －3≤0，
求
(1)x 2＋y 2的最小值； (2)y
x
的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，
(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．
过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫
45，85， 又由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，
得C ⎝⎛⎭⎫1，3
2， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝⎛⎭
⎫322＝
13
2
， 所以，x 2＋y 2的最小值为13
4
.
(2)令v ＝y
x ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v
＝
y －0
x －0
.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大， 由(1)知C ⎝⎛⎭
⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为3
2
.
跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≥1，
则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．
答案 10
解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )之间距离的平
方．显然AC 长度最小，
∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三 线性规划的实际应用
例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？
解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，
x ≥0，y ≥0，
x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，
在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线
300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．
反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．
跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？
解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧
50x ＋20y ≤2 000，
y ≥x ，
y ≤
1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *
.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧
x ＝2007
，
y ＝2007，
所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫
2007，2007.
由⎩⎪⎨⎪⎧
50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝25，
y ＝752
，
所以B 点的坐标为⎝
⎛⎭⎫25，75
2. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．
由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，75
2， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，
故取⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝25，
y ＝37.
故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．
1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m ，则实数m 的最大值为( )
A ．－1
B ．1 C.3
2
D ．2
2．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，
2x ≤11，
x ∈N *
，y ∈N *
，
则z
＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．95
3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤1，x ≤1，
x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．
一、选择题
1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2
2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )
A ．－4
B ．0 C.4
3 D ．4
3．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，y ≥0，
x －y ≥0，则z ＝y －1
x
的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．(－∞，0]
C ．[－1，＋∞)
D ．[－1,1)
4．若满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，
则整数a 的值为( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．0
5．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y ≤4，
x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c
的值分别为( ) A ．－1,4 B ．－1，－3 C ．－2，－1 D ．－1，－2
6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，
x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，
则a 的值为( )
A ．－3
B ．3
C ．－1
D ．1
二、填空题
7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，
则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．
8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．
9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤
2，
y ≤2，
x ≤2y
给定．若M (x ，y )为D
上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →
的最大值为________．
10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．
11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，
x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．
三、解答题
12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，
x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．
13．设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，
5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域
D 上的点，求a 的取值范围．
14．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？
当堂检测答案
1．答案 B 解析 如图，
当y ＝2x 经过且只经过x ＋y －3＝0和x ＝m 的交点时，m 取到最大值，此时，即(m,2m )在直线x ＋y －3＝0上，则m ＝1. 2．答案 C
解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与
⎝⎛⎭
⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.
3．答案 1
2
解析
实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝1
2
.
课时精练答案
一、选择题 1．答案 A
解析 画出可行域，如图所示，解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，
把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值； 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．答案 D
解析 作出可行域，如图所示．
联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝2.
当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D
解析 作出可行域，如图所示，
y －1
x
的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．
4．答案 C 解析
不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C. 5．答案 D
解析 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－1，
c ＝－2.
6．答案 D
解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.
二、填空题 7．答案 [2,6]
解析 如图，作出可行域，
作直线l ：x ＋2y ＝0，
将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．
8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组
⎩
⎪⎨⎪⎧
－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．
在可行域内平移直线2x －3y ＝0，
当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.
所以z ∈[3,8]． 9．答案 4
解析 由线性约束条件
⎩⎨⎧
0≤x ≤2，
y ≤2，x ≤2y
画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →
＝2x ＋y ，将其化为
y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.
10．答案 13
解析 |x |＋|y |≤2可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，
作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，
容易得到整点个数为13个． 11．答案 21
解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C (3,1)
方法一 ∵可行域内的点都在直线x ＋2y －4＝0上方， ∴x ＋2y －4＞0，
则目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，
易得当直线z ＝x ＋2y －4在点B (7,9)处，目标函数取得最大值z max ＝21. 方法二 z ＝|x ＋2y －4|＝
|x ＋2y －4|
5
·5， 令P (x ，y )为可行域内一动点，定直线x ＋2y －4＝0， 则z ＝5d ，其中d 为P (x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离． 由图可知，区域内的点B 与直线的距离最大， 故d 的最大值为|7＋2×9－4|5＝21
5.
故目标函数z max ＝21
5
·5＝21. 三、解答题
12．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.
当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，
z min ＝2×1－4.4＝－2.4.
13．解 先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．
∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a ＞1，∴1＜a ≤3.
14．解 由题意可画表格如下：
(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧
0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤900，x ≤300，x ≥0
⇒0≤x ≤300.
所以当x ＝300
时，
z max ＝80×300＝24 000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧
0.2y ≤90，
1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤450，y ≤600，y ≥0
⇒0≤y ≤450.
所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧
0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ≤900，
2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.
z ＝80x ＋120y .
在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．
作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.
把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝900，
2x ＋y ＝600， 解得，点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，
z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。