张量基础理论

1. Einstein 求和约定

当方程中的一项中的指标（上标或下标）重复出现一次，意味着该指标边及所有的序数，并对之求和。

i i i i i n n x a x a x a x a x a =∑=+++==n

1

2211...S

2. 自由指标

3. Kronecker 符号

4. 置换符号

5. 并矢积

并矢积in i e ...e e i21⊗⊗⊗求得n 阶基张量（其中n j ij ,...,2,1,e =是m 维单位矢量，其第j 项为1，其他项为零）

（1）并矢记法 一阶张量：1i a a i e =

；

二阶张量：21212121i2121T T )(T T i i i i i i i i i i i e e e e e ==⊗=

n 阶张量：in i i in i i in i i i i i in i i e e e e e e e ...21...212121in i21...21T ...T )...(T T ==⊗⊗⊗= 对于3阶张量的理解：

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 3i21e e e i i ⊗⊗中的()001e 1=i 表示大括号中的第1个中括号，()010e 1=i 表示大括

号中的第2个中括号，()100

e 1=i 表示大括号中的第3个中括号。()100e 2=i 表示

由1e i 选择的中括号中的第3行，()001e 3=i 表示由1e i 选择的中括号中的第1列。

)(T 131131e e e ⊗⊗(()001e 1=,()100e 2=,()001e 3=)表示131T 为张量T 中的

第一个中括号中的第三行第一列所对应的元素。

6. 张量的并积

设A ，B 分别为m 和n 阶张量，它们的并积C 为m+n 阶，则：

n m n m n n m m i i i i i i i i i i i i e C e B e A B A ++=⊗=⊗=..................111111)()(C

7. 张量的点积（内积） 7.1 点积

设A ，B 分别为m 和n 阶张量，它们的点积C 为m+n-2阶，则：

n m n m n n m m j j j i i i j j i i j j j j i i i i e e e e B A e B e A B A ........................211-m 1111111)()(C ⋅=⋅=⋅= n n m m n m n m j j i i j j i i i j j i i j i j j i i e B A e B A ........................21-m 12121-m 1111==δ

特别注意：n m n j j i i j j i i e e e e e ⊗⊗⊗⊗⊗=-......21121-m 1......8 7.1 双重点积

两个并矢的双重点积是指把它们最邻近的4个向量两两缩并：

)d b ()c a ()d c (:)b a (

⋅⊗⋅=⊗⊗

设A ，B 分别为m 和n 阶张量，它们的双重点积C 为m+n-4阶，则：

n m m n m n n m m j j j i j i i i j j i i j j j j i i i i e e e e e e B A e B e A B A ........................32112-m 1111111)()()(:)(C ⋅⊗⋅==⋅=- n n m m n m n m j j i i j j i i i j j i i j i j j i i e B A e B A ........................21-m 12121-m 1111==δ

特别注意：n m n j j i i j j i i e e e e e ⊗⊗⊗⊗⊗=-......21121-m 1 (8)

8. 张量的叉积（外积）

设A ，B 分别为m 和n 阶张量，它们的点积C 为m+n-2阶，则：

n m n m n n m m j j j i i i j j i i j j j j i i i i e e e e B A e B e A B A ........................211-m 1111111)()(C ⨯=⨯=⨯= n m n m j j k i i k j i j j i i e e e B A ............21-m 1111ε=

特别注意：k k j i j i e e e m m 111ε=⨯- 其中：k j i m 1ε为三维置换符号，表示对