数学建模实例

模型的解：
pd dy x1 2 c x k c x k y(c)0,kb/a
解的进一步讨论
（1）若a<b，从而k<1，由积分式得
y2 c 1 1k c x 1k1 1k c x k1 1 ck k2
当x=0时，y1ckk2 b2aba2c 即走私船被缉私舰捕捉前
dW 0.0016W dt
解得 W ( t) W ( 0 ) e 0 .0 0 1 6 t 5 7 .1 5 2 6 e 0 .0 0 1 6 t
因此，n周后的体重为W (7 n )5 7 .1 5 2 6 e 0 .0 0 1 6 7n
案例2 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代 尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带 到实验室，作碳14年代测定。分析表明C14与C12的 比例仅仅是活组织内的6.24％，此人生活在多少年 前？
dt
3、配备物理单位： 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位．
4、确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界
上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确 定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学 陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。
二、微分方程案例分析
案例1：一位女士每天摄入2500cal食物，1200cal 用于基本新陈代谢(即自动消耗)，并以每千克体重 消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身体 的脂肪（设10000cal可转换成1kg脂肪）。星期天 晚上，该女士的体重是57.1526kg，星期四那天她 饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建立 一个通过时间预测体重的数学模型，并用它估计： （1）星期六该女士的体重？ （2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？ （3）若不进食，N周后她的体重是多少？
Z取不同值时的浓度C(30)和时间T
Z / m3
C(30) / m3
T / min
5 0.00239
552
10 0.00478
738
15 0.00717
918
20 0.00956
1014
案例5 药物在体内的变化（房室模型）
何为房室系统？
在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种 叫“房室系统”的观点来考察问题。根据研究对象的特 征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整 体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种 联系的部分（多房室系统）。
则 W (t) 8 1 .2 5 2 4 .0 9 7 4 e 0 .0 0 1 6 t
Baidu Nhomakorabea
W (3)57.26799kg
（2）当3t 4 时，每天体重的变化：
dW(35001200)16W
dt
10000
积分后可求得其通解为：
W (t) 1 4 3 .7 5 C 2 e 0 .0 0 1 6 t 初始条件为：W (3)57.26799，代入解出
所跑过的距离为 y1ckk2 b2aba2c
所花的时间为
y bc t a b2 a2
（2）若a=b，即k=1，由积分式得 y12x22cc2 clncx
显然x不能取零值，即缉私舰不可能追上走私船。
（3）若a>b，即k>1，显然缉私舰也不可能追上走私船。
案例4 湖泊污染问题
如图所示一个容量为2000m3的小湖的示 图3 小湖示意图 意图，通过小河A水以0.1m3/s的速度流入， X 以相同的流量湖水通过B流出。在上午11:05 A 时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容
可得微分方程的特解：
T(t)
1
6
4t
2
1
3
由T(t)29，代入解得 t 2.4094
因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。
图1
尸体的温度 下降曲线
建立微分方程的常用方法
1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，
如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题 直接列出微分方程． 2、利用微元分析方法建模
湖水中含污染物的瞬时变化率=污染物流入量－污染物排出量
2000dC Z 6C dt 30
由初始条件：C(0) 0 ，可得微分方程的特解为
6t
C(t)Z(1e2000)/180
显然，t=30时，污染达到高峰，所以
6 3 0
C (3 0 ) Z (1 e2 0 0 0)/1 8 0 (4 .7 8 2 1 0 4 )Z
引例一
在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是 29oC，当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下 降到27oC，若人体的正常温度是37oC，估计死者 的死亡时间。
解：设T(t)为死者在被杀害后t时刻尸体的温度；k 为比例系数。由牛顿冷却定律，得
则通解为
ddTt k(TT0)
TCek t21
由已知，T ( 0 ) 3,T 7 ( t) 2,9 T ( t 1 ) 27
转换成脂肪量＝1300 – 16W（cal）
3、体重的变化／天＝
W t
(千克／天) dW t 0 dt
1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：
单位匹配
有些量是用能量(cal)的形式给出的，而另外 一些量是用重量的形式(cal)给出，考虑单位 的匹配，利用
1kg cal 10000
解
1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：
1、“每天”：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗．
2、上述陈述更好的表示结构式： 取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则： 每天的净吸收量＝2500 – 1200 ＝1300（cal) 每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal)
C3 23.9968
则 W (t) 8 1 .2 5 2 3 .9 9 6 8 e 0 .0 0 1 6 t
最后得到不同阶段的微分方程是：
81.2524.0974e0.0016t, 0t3 W(t)143.7586.8981e0.0016t, 3t4
81.2523.9968e0.0016t, t4
因污染源被截断，故微分方程变为 2000dC 6C
dt
： 它的特解为
6t
C(t)C(30)e2000
当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出 此时的t=T，即
T 3 0 ( 2 0 0 0 / 6 ) l n ( 0 . 0 0 0 5 / C ( 3 0 ) )
解得
T 3 0 ( 2 0 0 0 /6 )ln ( 0 .9 5 6 4 Z )
根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出 微分方程。 3、模拟近似法，如：
在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清 楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验 数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足 的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。
二、微分方程模型
（1）问题分析与模型的建立
1、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物 质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量 成比例”。而C14的比例数为每年八千分之一。
2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所
以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？”
若设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12
1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：
建立表达式
（1）当0t 3 时，每天体重的变化：
dW (25 0102)010W 6
dt
10000
积分后可求得其通解为：
W (t)81.25C 1e 0.0016t
初始条件为：W0 57.152，6代入解出 C1 24.0974
(mgC14/mgC12)，则上文中最后一句话就给出了我
们的微分方程，单位为mgC14/mgC12/yr(与关键词
“速率”相当)
dy y dt 8000
（2）解 微分方程的通解为：
t
y ke 8000
由初始条件 k y 0 ，故有 t y y0e 8000
由问题，当 y0.0624y0，代入原方程 t 0.0624y0 y0e 8000 t 8 0 0 0 l n 0 .0 6 2 4 2 2 4 0 （ 0 年 ）
单房室系统
交换 内部
均匀分布
药物分布的单房室模型
单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成， （注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简 化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度 （密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为 “交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用 房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中， 我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很 环境 简单，意图在于介绍建模方法。
现回答上述问题
（1）t 6 代入对应方程，求得
W (6)57.48247kg
（2）要满足体重不增，即dW(b16W)/100000
dt
所以b 1 6 W 1 6 5 7 . 1 2 5 6 9 1 4 (cal)
因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal
（3）由于每天不摄取能量，所以
即每立方米受污染的水中含有Cm3 A
的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用
分钟作为时间t的单位。在0<t<30的
B
时间内，污染物流入湖中
小湖示意图
的速率是Z/30(m3/min)，而排出湖外的污染物的速 率是60×0.1C (m3/min)，因为每立方流走的水中含 有Cm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不 变，所以可列方程：
（碳14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素 C14。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引 起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体 中达到平衡浓度。这意味着在活体中，C14的数量与稳定的 C12的数量成定比。生物体死亡后，交换过程就停止了，放 射性碳便以每年八千分之一的速度减少）
C2 86.89812
则 W (t) 8 1 .2 5 8 6 .8 9 8 1 2 e 0 .0 0 1 6 t
W (4)57.40625kg
（2）当t 4 时，食物的摄入量恢复正常
dW(25001200)16W
dt
10000
积分后可求得其通解为：
W (t)81.25C 3e 0.0016t 初始条件为：W (4)57.40625，代入解出
微分方程模型
一、微分方程建模简介 二、微分方程模型 三、微分方程案例分析 四、微分方程的MATLAB求解 五、微分方程综合案例分析
一、微分方程模型简介
微分方程是研究变化规律的有力工具，在科 技、工程、经济管理、生态、环境、人口和 交通各个领域中有广泛的应用。 不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都 遵循着下面的模式： 净变化率＝输入率－输出率（守恒原理）
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： b ds
dt
dt
3、分解 dx 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
追线模型：
x
d2y dx2
k
1
dy
2
dx
y(c) 0, y(c) 0
案例3、追线问题
我缉私舰雷达发现，在其正西方距c海里处 有一艘走私船正以匀速度a沿直线向北行驶，缉 私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟 踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试 求缉私舰追逐路线和追上的时间。
图2 走私船与缉私舰的位置关系
走私船
R(0,at)
O
缉私艇 D(x,y)
x (c,0)
器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急
措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
微分方程的建模步骤
1、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如
“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)， “衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经 济学中)等． 2、建立瞬时表达式：
根据自变量有微小改变△t时，因变量的增 量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令 △t →0，即得到 dW 的表达式．