边际成本和收益的计算

R(9000) 200 0.02 9000 20（元）
R(10000) 200 0.02 10000 0 （元）
R(11000) 200 0.02 11000 20（元）
经济数学
第二节
边际分析典型案例
经济意义为：
当产量为9000个单位时，若再增加一个单位产品，收益 增加20元； 当产量为10000个单位时，若再增加一个单位产品，收益 没有增加； 当产量为11000个单位时，若再增加一个单位产品，收益 减少20元。
它表示在每天生产10吨的基础上，再多生产1吨，总利 润将增加150元。
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第二节
L(25) 0 （元）
边际分析典型案例
它表示在每天生产25吨的基础上，再多生产1吨，总利 润没有变化，这一吨产量并没有产生利润。
L(30) -50 （元）
它表示在每天生产30吨的基础上，再多生产1吨，总利 润就要减少50元。 从上例可以看出，生产决策者不能只盲目地追求产量， 还需根据利润的变化情况，确定适当的产量指标。
经济数学
第一节
边际成本问题及解决方案
总成本：是指生产一定数量的产品所需要的全部经济资 源投入（包括劳动力、原材料、设备等）的价格或费用 的总额。一般情况下，成本用 C 表示，产品产量用 Q 表 示，则成本是产量的函数，称为成本函数，用C (Q)表示。 它由固定成本和可变成本组成。
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第一节
边际成本问题及解决方案
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第二节
边际分析典型案例
案例3：某工厂生产一种产品，每天的总利润 L Q （元）与 产量 Q（吨）之间的关系为：L(Q) 250Q 5Q2 求 Q 10, 25,30时的边际利润，并解释所得结果的经济意义。 解 边际利润函数为
L(Q) 250 10Q
L(10) 150 （元）
经济数学
在不至于引起混淆的情况下,导函数也简称为导数。
经济数学
第一节
边际成本问题及解决方案
概念2：边际函数(marginal function) 设函数 y f (x) 在 x处存在导数，则称导数 f (x) 为函数 f (x) 的边际函数。称 f (x)在 x 0 处的值 f ( x0 ) 为边际函数值。
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第二节
边际分析典型案例
概念1：边际收益(marginal benefit)： 设销售某种产品 Q 个单位时的总收益函数为 R(Q) 。当 总收益函数可导时，其导数 R(Q) 叫做销量为 Q 时的 边际收益。
边际收益 R(Q) 的经济意义为： 当销量为 Q个单位产品时，再销售一个单位产品，总收 益的改变量（增量） R （的近似值)
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第二节
边际分析典型案例
Q2 案例1：销售某商品Q 台的收益函数为R(Q) 800Q （元）， 4
试求：（1）边际收益函数； （2）销量为200台时的边际收益。 解 （1）边际收益函数为
Q R(Q) 800 （元／台） 2
（2）销量为200台时的边际收益为
R(200) 800 200 700 （元／台） 2
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 存在，则称此极限值为函数 f (x)在点 x 0处的导数，记作 f ( x0 ) ， y|x x0 ， dy 或 df (x) dx x x0 dx x x0
并称函数 f (x) 在点 x 0 处可导。
Q ( Q) 2 5 100
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第一节
边际成本问题及解决方案
C 第二步：求平均变化率 Q
C C (10 Q) C (10) Q Q
Q ( Q) 2 100 5 Q

1 Q 5 100
第三步：求极限
C 1 Q 1 lim （ ） = Q 0 Q Q 0 5 100 5 lim
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第二节
边际分析典型案例
概念2：边际利润(marginal profit)： 设销售某种商品 Q 个单位时的利润函数为 L(Q) 。当 L(Q)可导时，称 L(Q) 为销售量为 Q 时的边际利润。 因
L(Q) R(Q) C (Q)
于是可得 L(Q) R(Q) C (Q) 即边际利润等于边际收益与边际成本之差。 边际利润 L(Q) 的经济意义为： 当销量为 Q个单位产品时，再销售一个单位产品，总利 润的增量 L 。
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边际成本和收益的计算
中国人民大学出版社
第一节
问题引入
边际成本问题及解决方案
从杭州开往南京的长途车即将出发。无论哪个公司的 车，票价均为50元。一个匆匆赶来的乘客见一家国营 公司的车上尚有空位，要求以30元上车，被拒绝了。 他又找到一家也有空位的私人公司的车 ，售票员二 话没说，收了30元允许他上车了。哪家公司的行为更 理性呢？
1 2 案例1：我们以成本函数 C (Q) 10 Q 为例，考查产量 100
（1）在 Q0 10 处的变化率； （2）在 Q0 20 处的变化率。 第一步：求 C ： C C (10 Q) C (10)
(10 Q)2 102 10 (10 ) 100 100 1 [100 20 Q ( Q) 2 100] 100
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第一节
边际成本问题及解决方案
案例5：求成本函数为C(Q)=0.001Q3 0.3Q2 40Q 2000 的边际成 本函数，以及产量分别为50、100、200时的边际成本，并指出 它们的经济意义。
解
C(Q)=0.003Q2 0.6Q 40
于是，产量Q 为50、100、200时的边际成本分别为
C(50)=0.003 502 0.6 50 40 17.5
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第一节
边际成本问题及解决方案
C(100)=0.003 1002 0.6 100 40 10
C(200)=0.003 2002 0.6 200 40 40
它们的经济意义是: 在产量 Q 分别为50、100、200时的基础上再生产一个单位 产品，总成本的增加分别为17.5、10、40。
案例4：生产某产品Q 件时的总成本函数为C(Q)=500 0.04Q （百元），求产量为100件时的边际成本。
解
C(Q)=0.08Q (百元／件)
C(100)=0.08 100 =8 (百元/件)
=800 (元／件)
2
由边际成本可知，生产第100件产品的基础上再生产一个 单位产品，总成本的改变量为800元
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第一节
边际成本问题及解决方案
1 1 2 Q 在 Q0 10 处的变化率为 5 所以，成本函数 C (Q) 10 100 2 1 2 Q 在 Q0 20 处的变化率为 5 同理，成本函数 C (Q) 10 100
定义1：设函数 y f (x)在点 x 0 的某个邻域内有定义，且
当 Q 很小时，有
C C (Q) Q 当 Q 1 ,即在产量为 Q 时若再生产“一个单位”产品，且 “一个单位”与 Q 值相比来说很小时，则有
C(Q) C
边际成本 C(Q) 的经济意义为：在产量为 Q 时再生产一个 单位产品，总成本的改变量 C (的近似值)
第一节
边际成本问题及解决方案
用边际函数来分析经济量的变化，就称为边际分析。
概念3：边际成本(marginal cost) 设生产某种产品的总成本函数为C (Q) ，当总成本函数可导 时，其导数C (Q)叫做产量为Q 时的边际成本。
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第一节
边际成本问题及解决方案
我们来分析边际成本的经济意义 C C (Q) lim Q 0 Q
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第一节
边际成本问题及解决方案
定义2：设函数 y f (x)在区间 (a, b) 内的每一点都可导， 则称函数 f (x)在区间 (a, b) 内可导。这时对于区间 (a, b) 内的每一个 x 值，都有惟一确定的导数值 f (x)与之对应， 这样就构成了一个新的函数，称为函数 y f (x)对 x 的导 函数，记作 ，f (x) ， dy 或 df (x) y dx dx f (x x) f (x) 即 y lim x ( a, b) x0 x
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第二节
边际分析典型案例
案例2：设某产品的收益函数为 R(Q) 200Q 0.01Q2（元）， 试求：（1）边际收益函wk.baidu.com； （2）产量分别为9000、10000、11000台时的边际收 益，并说明其经济意义。
解
（1）边际收益函数为
R(Q) 200 0.02Q（元／台）
（2）