第八章 配方试验设计

根据配方试验中的组分数m和所确定的阶数d，选择相 应的{m，d}单纯形格子点设计表。设计表中的数值为规 范变量zj，然后据此计算出自然变量xj的取值，并列出试 验方案。
(3)回归方程的建立 根据单纯形格子点设计表选择相应的回归模型，直接
将每号试验的编码及试验结果代入对应的回归模型，就 可求出各回归系数。
j 1
k j
b1z1 b2 z2 b3z3 b12 z1z2 b13z1z3 b23z2 z3
13
8.2 单纯形配方设计
由1＃试验得：b1 6.5 由2＃试验得：b2 5.5 由3＃试验得：b3 7.5 由4＃试验得： b1 b2 b12 8.5
1
第八章 配方试验设计
配方试验设计又称混料试验设计，其目的是合理地选 择少量试验点，通过一些不同配比的试验，得到指标与 成分百分比之间的回归方程，并进一步探讨组成与指标 之间的内在规律，方法主要有：单纯形格子点设计、单 纯形重心设计、配方均匀设计。
8.1 配方试验设计约束条件
混料约束条件可以表示为：
例如组分数m=3的配方试验，各组分百分比xj(j=1,2,3) 只能取在二维正规单纯形——等边三角形上：
A(1,0,0) x1
B(0,1,0) x2
C′
F
A′
B′ C(0,0,1) x3
4
8.2 单纯形配方设计
等边三角形的高为1，三角形内任一点F到三边的距离 之和为1。
三角形的三个顶点分别代表单一组分的混料，三条边上 的点表示对应两顶点纯组分的二元混合物，FA′代表F点 的x1，FB′和FC′分别代表F点的x2、x3。
由于b0 b0( x1 x2 x3 )，x12 x1(1 x2 x3 )，
x22 x2(1 x1 x3 )，x32 x3(1 x1 x2 ) 整理可得 ˆy b1x1 b2x2 b3x3 b12x1x2 b13x1x3 b23x2x3
回归方程没有了常数项和二次项，只有一次项和交互项。 又由于x3 1 x1 x2，所以上述回归方程还可以表示如下： yˆ b0 b1x1 b2 x2 b12 x1x2 b11x12 b22 x22
有上下界约束的配方试验其试验空间是正规单纯形 内的一个凸几何体，如m=3的有上下界约束的混料试 验区间如下：
8
8.2 单纯形配方设计
8.2 单纯形配方设计
这里只介绍有下界约束的 单纯形格子点设计，因为此 时试验范围为原正规单纯形 内的一个规则单纯形（如右 图所示），所以仍可使用单 纯形设计。
9
x1
子点设计是饱和设计。常用单纯形格子点设计的试验次
数与m、d之间的关系见书P146表9－1。
2.单纯形格子点设计试验方案的确定
（1）无约束单纯形格子点设计 无约束配方设计中，每种组分xj可以在0~1范围内变化，
其取值与阶数d有关，为1/d的倍数，即：
xj
0,
1 d
,
2 d
,,
d 1,1 d
7
8.2 单纯形配方设计
11
8.2 单纯形配方设计
(4)最优配方的确定 根据回归方程以及有关约束条件，通过Excel中的“规
划求解”工具，可以预测最佳的试验指标值及其对应zj的 最佳取值，将其转换成自然变量，就可得到最优配方。
(5)回归方程的回代 如果各组分xj无约束，则不需要转换，如果各组分xj有下
界约束，需将y与zj的回归方程转换成y与xj的回归方程。
8.2.2 单纯形配方设计的回归模型
m种组分的d次多项式回归模型如下： ①一次式（d＝1）
m
yˆ bj x j j 1
B(0,1,0) x2
A(1,0,0) x1
C′
B′
F
C(0,0,1)
A′
x3
5
8.2 单纯形配方设计
②二次式（d＝2）
m
yˆ bj x j bkjxk x j
j 1
k j
x j 0( j 1,2,, m)，x1 x2 xm 1
如果产品含有三种成分，其比例分别为x1、x2、x3，则 试验指标y与x1、x2、x3之间的三元二次回归方程可以表 示为：
2
第八章 配方试验设计
yˆ b0 b1x1 b2 x2 b3x3 b12 x1x2 b13x1x3 b23x2 x3 b11x12 b22 x22 b33x32
8.2.3 单纯形格子点设计
1.单纯形格子点的表示
{m，d}表示正规单纯形顶点数为m（也就是组分数为 m），阶数为d（即每边的等分数）的格子点集。
比如三顶点正规单纯形的四阶格子点集记为{3，4}。
6
8.2 单纯形配方设计
{m，d}
格子点集中共有
(m d 1)! (m 1)！d!
个点，正好与
回
归方程中待估计的回归系数的个数相等，所以单纯形格
8.2 单纯形配方设计
8.2.1 单纯形的概念
3
8.2 单纯形配方设计
单纯形是指在一定空间中最简单的图形，它是n维空间 中n+1个点的集合所形成的最简单封闭几何图形，如二维 空间的单纯形为一个正三角形，三维空间的单纯形是一个 正四面体，n维空间的单纯形有n+1个顶点。
若单纯形中任意两个顶点的距离都相等，则称这种单纯 形为正规单纯形。
无约束单纯形格子点设计自然变量与规范变量相等，即 xj=zj，不必区分规范变量与自然变量。
单纯形格子点设计表可参考书P228附录9。 （2）有约束单纯形格子点设计
混料组分除了受下式约束外：
x j 0( j 1,2,, m)，x1 x2 xm 1
还受其他约束条件限制：
a j x j bj , j 1,2,, m
具体例子见书P148~149例9－1。
12
8.2 单纯形配方设计
P148~149例9－1{3，2}单纯形格子点设计方案及试验结果：
试验号
z1
z2
z3
评分y
1
1
0
0
6.5
2
0
1
0
5.5
3
0
0
1
Biblioteka Baidu7.5
4
1/2
1/2
0
8.5
5
1/2
0
1/2
6.8
6
0
1/2
1/2
5.4
m
yˆ bj z j bkjzk z j
z1
a3
a2
z2
x2
a1
z3
x3
在选用单纯形格子点设计前，应将自然变量转化为规 范变量：
zj
xj aj
m
1 a j
j 1
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8.2 单纯形配方设计
aj为各自然变量对应的最小值（下界）： x j a j
3.单纯形格子点设计基本步骤
(1)明确试验指标，确定混料组分 (2)选择单纯形格子点设计表，进行试验设计