自动控制原理第三章2线性定常系统的稳定性

的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。
令闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点:
i 1 G ( s ) ( s ) q r 2 2 ( S P ( S 2 ) j) k nS k nk j 1 k 1
K ( S Z i)
m
( 3 53 )
r r p t 2 2 t tk j k nk k n 0 j k nk k k nk k j 1 k 1 k 1 q
K ( s z i)
m
C ( t ) A A e B e sin 1 t C e cos 1 t t 0 ( 3 4 )
q


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第三章 线性系统的时域分析法
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3.5.2 线性系统稳定的充要条件
g(t) 0 lim t
充要条件
系统稳定
闭环特征方程式的根须都位 于S的左半平面
不稳定系统
有一个正实根或一对实部为正的复数根 发散
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稳 定 实 际
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C ( s ) G ( s ) R ( s ) q
K ( s z i)
i 1 r 2 j k nk 2 nk
m
( s p ) ( s 2 s ) q+2r=n
j 1 k 1
( 3 53 )
G ( s ) 2 2 S P S 2 S j 1 k 1 j k nk nk
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。 对系统进行各类品质指标的分析也必须在系
统稳定的前提下进行。
问题： 如何分析系统的稳定性问题?
提出保证系统稳定的措施，是自动控制理
论的基本任务之一 。
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3.5 线性定常系统的稳定性
3.5.1 基本概念
3.5.2 线性系统稳定的充要条件
统的运动情况，它与系统的输入信号无关，
只取决于系统本身的特征，因而可用系统的
脉冲响应函数来描述。
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如果脉冲响应函数是收敛的，即有
g(t) 0 lim
t
系统仍能回到原有的平衡状态
表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳 定的。由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收 敛是一致的。 由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于1，所以系统
不 稳 定 理 论
0 .4
4 ts
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8 第三章 线性系统的时域分析法
问题：一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参 考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？
参考输入
R (s) 1 s
i 1 C ( s ) G ( s ) R ( s ) q r 2 2 s ( s p ) ( s 2 s ) j k nk nk j 1 k 1


稳态分量
瞬态分量 系统的结构和参数确定
一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用 下仍将继续保持稳定
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3.5.3 劳斯-赫尔维茨稳定判据 (Routh-Hurwitz’s stability criterion) 充要 闭环特征方程式的根必 稳定判据 线性系统稳定 须都位于S的左半平面。 条件 令系统的闭环特征方程为
n n a3 an n si sj sk (1 ) si a0 a0 i, j,k i 1
必 线性系统稳定 要 条 件
各项系数不为零,不会有系数 为零的项
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3.5.3.1 赫尔维茨稳定判据
系统特征方程式的各项系数均为正值是系统 稳定的必要条件。 赫尔维茨稳定判据：线性系统稳定的充分必要条件 是特征方程各项系数构成的主行列式及其顺序主子式 均为正。即：
q
A j
r
B ( S ) C 1 k n g ( t ) A e [ B e cos 1 t C e sin 1 ] , t 0 ( 3 5 ) nk k k nk k r p t tk j k n j k j 1 k 1
设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间 受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰 动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系 统是稳定的。反之，系统为不稳定。
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线性系统的稳定性取决于系统的固有特征 （结构、参数），与系统的输入信号无关。 基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系
n n 1 n 2 0 1 2
a S a S a S a S a 0 a 0( 3 5 ) n 1 n 0
线性系统稳定的必要条件是系统特征方程式的各 项系数均为正值，且无零系数。
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线性系统稳定的必要条件是系统特征方程式 的各项系数均为正值，且无零系数。
3.5.3 劳斯-赫尔维茨稳定判据
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第三章 线性系统的时域分析法
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3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件
一、基本概念 控制系统在实际运行过程中总会有干扰(如负载 和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变 等)。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑 这些因素，设计出来的系统不稳定或性能指标达不到 要求，系统需要重新设计或调整某些参数或结构。
n n 1 n 2 证明 a S a S a S a S a 0 a 0( 3 5 ) 0 1 2 n 1 n 0
( s s )( s s ) ( s s ) 0 1 2 n
n a 1 si ; a0 i 1 n a2 si sj a0 i j,1