第七章非线性系统的分析方法1_2

C(s)
Gc(s)
Go(s)
-M
死区（不灵敏区）
➢死区特性
f (e)
-e k e 0 +e
f (e)
+M
-e
e
0 +e -M
f (e) +M +e0
-e k e
0 +e
-e0
-M
线性+死区 继电+死区 饱和+死区
f
(e)
0, ke,
e e
e f(ee)
M ,
0,
M ,
M ,
eefe(e)eeek0Me,, ,
x 0 x 1
在奇点邻域，其线性化方程为
在奇点
x 0 邻域
x 0
f
(x, x) x
x0 0 x0 0
0.5
f (x, x)
x
x0 0 2x 1 x0 0 1
x0 0
x0 0
线性化方程为 x 0.5x x 0
特征根为
0.5 j 3.75
s1,2
2
奇点类型为不稳定焦点
6. 极限环
•
相平面
x&
x 0
➢等倾线法作图
••
•
x f (x, x) 0
思路：以切线代替曲线
相轨迹的斜率方程
•
•
d x f (x, x)
dx
•
x
则
•
•
x f (x, x) 0
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x) x
•
• f (x, x) x
A
如何画出所有相轨迹？
•
• f (x, x) x
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
0 1
稳定焦点
相轨迹振荡趋于原点，该奇点为 稳定焦点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1 0
不稳定焦点
相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
0
aa
N ( X ) [arcsin
1 ( a )2 ],
X a
XX
X
2. 非线性系统的描述函数分析
闭环频率特性
R(s)
C( j)
N ( X )Go ( j)
+-
R( j) 1 N ( X )Go ( j)
本质非线性特性 固有特性
e +M
f (e)
C(s)
G0(s)
-M
闭环特征方程
1 N( X )Go ( j) 0 R(s)
e e0 e e
e e e0 e e0
➢间隙特性
f(e) k +M
-e
+e0 e
-e0 0 +e
-M
f (e)
+M -e 0
+e e -M
f (e)
e 0
饱和间隙
继电间隙 齿轮间隙
当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入 量得变化超出间隙值
典型非线性环节
饱和 死区(不灵敏区) 间隙
1
+-
Go ( j) N ( X )
描述函数
N(X)
固有特性
C(s) G0(s)
非线性系统的稳定性描述
当 Go ( j) 曲线不包围
1 N(X)
该非线性系统是稳定的。
曲线时，
1 N(X)
X
Im
Re 0
G(j)
当 Go ( j)
曲线包围 1
N(X)
曲线时，
该非线性系统不稳定。
1
Im
N(X)
Re
x
x 0
•
x
x 0
•
x
x 0
在相平面上闭合的相轨迹表现为 非线性系统的自持振荡
相平面图分析
1、分区作出系统的相平面图。 2、分析系统的稳定性。 3、分析系统是否具有极限环。 4、参考线性系统的性能指标来考虑该非线
性系统的调节时间与超调量等。
例：继电控制系统，阶跃信号作用下，试 用相平面法分析系统运动。
X 0
G(j)
当 Go ( j) 曲线与
1 N(X)
曲线相
交时，系统可能是稳定的、发散的，或
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
典型非线性环节
饱和 死区(不灵敏区) 间隙
M
M
继电特性
M M
2.典型的非线性特性 ➢继电特性
M, e 0 f (e)
M, e 0
➢饱和特性
M ,
f
(e)
ke
,
M ,
e e0 e0 e e0
e e0
f(e)
+M k -e0
e
0 +e0
-M
R(s) +-
e +M k f(e)
M
M
继电特性
非线性特性的定性分析
饱和
死区
非线性特性
继电特性
等效K*
对系统的 影响
举例
振荡性↓，s↓ 限制跟踪速度
晶体管特性
滤除小幅值干扰
稳态误差ess ↑
电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振
开关特性
非线性控制系统的分析方法
1）小扰动线性化 2）非线性系统研究方法
相平面法
描述函数法—研究自持振荡 反馈线性化法
X 130 A 140
120 G(j)
-0.646
Im
Re 0
XA X
0.716 B 3.3
输入
x(t) X sint
输出信号为周期非正弦信号，展开付氏级数
y(t) A0 ( An cosnt Bn sin nt)
n1
若 y(t) 为奇函数，则 A0 0
1 2
1 2
An 0 y(t) cosnt d(t) Bn 0 y(t) sin nt d(t)
基波分量
Y1 A12 B12
a<0
x0 b
•
x
bx 0
a>0
2.相轨迹作图
➢解析法作图（适用方程不显含 x）
••
x f (x) 0
相轨迹方程
••
x d x f (x)dx
例：二阶系统如下，试绘制其相平面图
••
x 02 x 0
解：
f (x) 02x
••
x d x 02 x dx
得椭圆方程
x2 02 x2 c2
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
••
x
2n
•
x
n
2
x
0
j s
dx/dt x
s 平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
例：试确定二阶非线性系统的奇点并分析奇 点的运动性质
x (0.5 3x2 )x x x2 0
解：由 x 0
f
(
x,
x)
0
奇点为 x 0 x 0
解：1. 作相平面图
线性部分
•• •
T c c Km
误差方程 e(t) r(t) c(t)
c(t) 1(t) e(t)
•
•
c(t) e(t)
••
••
c•(•t) • e (t)
T e e Km
非线性部分
M, e 0
m
M
,
e0
•
•
x f (x, x)
e 0 时，运动方程为
给定一个斜率值，由等倾线方程，便可以
在相平面上画一条线，在这条线上的所有的
点的切线的斜率是相同的，均为 ，因此该
线称为等倾线。改变的值，便可以作出若
干条等倾线充满整个相平面。
例7-1：二阶线性定常系统
•• •
x x x 0
试用等倾线法作该系统的相平面图。
解：
等倾线方程为 •
1
x x
1
α
-1 -2 -3 0 1 2
•
f (x, x)
•
x
•
x
增幅、增速
增幅、恒速
增幅、减速
0 垂直穿越 x
左行
➢相轨迹的对称性
• x 轴对称
若
•
•
f (x, x) f (x, x)
则相轨迹对称于x 轴
•
•
x
轴对称
•
•
若 f (x, x) f (x, x)
则相轨迹对称于
•
x
轴
•
x
x 0
•
x
x 0
• 原点对称
若
•
•
f (x, x) f (x, x)
则相轨迹对称于原点
相平面
•
x/ 0
x 0
•
x
x 0
•
(0,10) x
x 0 相平面 (0,-10)
4. 相轨迹的奇点
➢定义：二阶系统
••
•
x f (x, x) 0
在相平面上满足
x 0
f
(x,
x)
0
➢在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
•
dx dx
f
(x, x)
•
x
0 0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
5. 奇点邻域的运动性质
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n xn2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
第七章 非线性系统分析
目的
掌握非线性控制系统的初步分析方法
内容
作相平面图 相平面分析法
§7.1非线性控制系统概述
1.本质非线性特性的基本特征
不满足叠加定理 不能采用线性化方法处理问题 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输 入，
初条件有关，平衡点可能不唯一
自持振荡问题— 非线性系统特有的运动形式
•
1
x x
1 等倾线斜率 ∞ 1 1/2 -1 -1/2 -1/3
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
3.相轨迹的运动特性 ➢相轨迹的运动方向
上半平面的相轨迹
右行；
右行
下半平面的相轨迹 左行；
过实轴相轨迹斜率 为。
减幅、增速 增幅、恒速 减幅、减速
运动连续，有 振荡
•
e
=0
KM
Mp B
A
-KM
e0 e
=0
II 区:e<0
I 区:e>0
补充： 描述函数法
1. 描述函数的定义
R(s) +-
本质非线性
固有特性
e +M
f (e)
C(s)
G0(s)
-M
前提：固有特性 G0(s) 一般具有低通特性， 近似认为信号的高频分量不能传递到输出端。
非线性环节 y f (x)
1
arctan
A1 B1
定义：输出信号的基波分量与输入正弦信号 之比，为非线性环节的描述函数。
N(Δ)
y1(t) x(t)
Y11
X0
Y1 X
1
A12 B12 tan1 A1
X
B1
说明: 1)以幅值与相位变化来描述，类 似频率特性。 2)略去高频信号，只考虑基频， 因此不同于线性系统的频率特性。
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
2. 非线性环节的描述函数
➢继电特性
M, x 0
y(
பைடு நூலகம்
x)
M
,
x0
描述函数
N(X)
Y1 X
1
4M
X
y
y(t)
+M
x +M
t
-M
-M
x(t) t
➢饱和特性
y +M
y(t)
M,
y(x) kx
xa a x a
-a k x
a -M
+M -M a1
t
M ,
x a
a1
x(t)
描述函数 t
2k
•• •
T e e KM
等倾线方程为
• KM / T
e 1/T
e 0 时，运动方程为 =0
•
e KM
•• •
T e e KM
等倾线方程为
•
e
KM
/T
1/T
e
-KM
=0
II 区:e<0
I 区:e>0
2.给定初值 (0,e0) 作相轨迹
3.系统性能分析
运动是分区的组合，
e 0 为翻转条件，
微分几何方法
3）仿真方法
全数字仿真 半实物仿真
§7.2 相平面分析法
1.相平面与相平面图(相轨迹)
二阶微分方程
••
•
x f (x, x) 0
系统变量 x x
相轨迹
系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。
•
x
x
0
相平面
例：一阶线性系统
•
x ax 0,
画出其相平面图。 解：
•
x
x 0b