材料力学考研综合试题

综合题

1 图示结构均用235Q 钢制成，材料的弹性模量GPa 200=E ，在梁端截面B 处有一重量为P 的物体自B 正上方高度h 处自由下落，已知：kN 10=P ，

mm 0001=l ，mm 1=h ，

梁的横截面惯性矩3/2Al I =，杆BC 的横截面积为A ， 杆BC 为大柔度杆，其直径mm 30=d ，试求点B 的铅垂位移。

解：变形协调 2 图a 所示杆AC 与弹簧相连，受到重量为P 的重物自高h 处自由下落的冲击。杆AC 长为l ，横截面面积为A ，

材料弹性模量为E ，弹簧刚度为k N/mm ，在未受冲击时弹簧不受力。试导出C 处的最大动位移max d δ的计算公式。

(a)

(b)

解：图b,平衡

3图示截面为2mm 2575⨯=⨯h b 的矩形铝合金简支

梁，跨中点C 增加1弹簧刚度为kN/m 18=k 的弹簧。重量N 250=P 的重物自C 正上方高mm 50=h 处自由落下，如图a 所示。若铝合金梁的弹性模量GPa 70=E 。试求：

（1）冲击时，梁内的最大正应力。

（2）若弹簧如图b 所示放置，梁内最大正应力又为多大？

解：m 5034.0/)48/(3a st,=+=k P EI Pl δ

弹簧受压力k F （静荷时）

k F EI l F P k k /)48/()(3=-,N 149=k F ,101=-k F P N mm 28.8/b st,==k F k δ,616.4b d,=K

4 图a 所示重量为kN 2=P 的重物，自高度mm 10=h 处自由下落冲击直径为d 的圆横截面杆组成的水平框架上的点C 处。已知弯曲刚度2m kN 6.133⋅=EI ，m 1=a ，切变模量E G 4.0=（E 为材料的弹性模量）。试求截面C 的最大铅垂位移。

(a) (b) 解：0)2(22p

2=-+-=GI a Pa M EI a P EI a M C C C θ Pa M C 187=

(I I 2p =)， Pa Pa M T C BA 9

12-=-=(顺) 5图a 所示两端固定的超静定梁横截面为矩形，高为h ，宽为b ，材料的弹性模量为E ，重量为P 的重物自梁中点C 处正上方高0h 处自由落下。试求冲击时的最大动应力m ax d σ。

(a) (b)

解：忽略轴力影响，有静定基如图b,用迭加法

Pl M C 81=，Pl M A 81=

6 图a 所示梁AB 用梁CD 加强，E 、D 间通过一刚体接触,两梁的弯曲刚度均为EI 。重为P 的重物自B 处正上方高h 处以初速度0v 下落，冲击梁AB 。P 、0v 、l 为已知，试求：

(1) 若已知重物自由下落时的动荷因数2/1st d )/21(1Δh K ++=，用此式如何导

出有初速度0v 时的d K ；

(2) 求梁AB 的最大动弯矩。 (a) (b) 解：2/11d )/21(1B h K δ++=2/120

}/)]2/([21{1B g v h δ+++= d PlK M E =,4/3d PlK M A =,max M M E =

7 图a 所示半径为R ，弯曲刚度为EI 的等截面薄圆环在直径AB 两端作用一对突加载荷F ，试求AB 间相对动位移。 (a) (b)

解：由结构、载荷对称性，C 、D 横截面剪力为零，静定基如图b ：

)cos 1(2)(ϕϕ-+-=R F X M ，1-=∂∂X

M 0d )(12π 0 =∂∂⋅-=⎰ϕϕθR X M M EI C ，

)π121(-=FR X 突加载荷 2d =K

8图a 所示梁AB 和杆CD 均由Q235钢制成，材料的弹性模量GPa 200=E ，mm 0001=l ，mm 40=h ，mm 20=b ，mm 30=d ，重物重kN 2=P ，自高度0h 处自由落下，试求：

（1） 使杆CD 中轴力达临界力时的高度0h ；

（2） 杆CD 中轴力达临界力时梁内的最大动应力max d )(σ。

(a) (b)

解：杆CD

CD C l w ∆=，EA

l F EI l F P N 3N 48)(=- 若cr N d F F K =，则

2/1st 0d )/21(1Δh K ++=，2/]1)1[(2d st 0--=K Δh mm 10405.12N st -⨯==

EA

l F Δ，mm 4.100=h 9图示结构中，C ，D 处均为球铰。刚架ABC 的横截面惯性矩

4cm 14.1147=z I ，弯曲截面系数3cm 508=W ，圆截面杆CD 直径mm 40=d ，二者材料相同，弹性模量GPa 200=E ，许用应力MPa 160][=σ，若m 1=l ，稳定安全因数3st =n ，杆CD 可视为大柔度杆。试确定许用载荷][M 值。 (a) (b)

解：CD F B F C M B l l w l ∆=+-)(,,,θθ m kN 113][⋅=M (按强度)

m kN 115][⋅=M （按稳定）

许可载荷

B D

E A C P

F ED

11 图示平面结构，刚性横梁AB 与圆横截面直径相同的杆1和2均由Q235钢制成，弹性模量GPa 200=E ，直径均为mm 26=d ，杆长mm 3001=l 。试求此结构的临界载荷cr F 。 解：杆1

1731=λ，212cr /π'λσE = 杆2

1402=λ，222cr /π''λσE = 0=∑A M ，a F a F a F 32'''cr cr cr ⨯=⨯+

12图示刚性横梁AD ，m 2.1=a ，

杆1，2均由Q235钢制成，屈服极限MPa 235s =σ，弹性模量GPa 200=E ，横截面均为圆形，直径m m 301=d ，m m 362=d 。试求结构的极限载荷u F 。

(a) (b)

解：结构的极限状态，杆1屈服，杆2失稳

杆1：kN 1.1661s ==A F B σ

杆2：3.133/42==d a λ

13对于均质梁、不同材料组合梁、材料拉压弹性模量不等梁、平面曲梁，在纯弯曲时横截面上中性轴的位置均由静力学关系式确定。试画出下列各情况下中性轴（水平方向）的位置，图中C 为形心。图a 为均质直梁弹性弯曲；图b 为均质直梁全塑性弯曲；图c 为异料组合梁弹性弯曲；图d 为-+≠E E 时的弹性弯曲；图e 为曲梁的弹性弯曲。

解：中性轴位置均由静力学关系式0d N ==⎰A

A F σ 来确定，下图中n n -表示中性轴。

14 图示结构为弹性模量E ，许用应力][σ，高h 、宽b 的矩形横截面外伸梁，受均布载荷（载荷集度q 未知）作用。试求当梁上最大正应力等于][σ时，梁AB 段中点D 的挠度值。

解：][)6//()2/(22max σσ==bh qa

15 图示两根完全相同的悬臂梁，弯曲刚度为EI ，在自由端两者有一间隙Δ，今有一重量为P 的重物从高度h 处落下，试求重物对梁的最大冲击力？假设：两梁变形均在弹形范围内，冲击物为刚体，被冲击梁质量不计，在冲击过程中，两梁共同运动。

解：当梁受到最大冲击力F d 作用时，上梁的最大

挠度为d Δ，下梁的最大挠度为ΔΔ-d ，根据能量守恒

原理，有

)()(2121d 2d 2d Δh P ΔΔk k Δ+=-+，其中33l

EI k = 即 02)(2d 2d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-Ph k ΔΔP k Δk Δ 所以 ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h R P Δk P Δk P ΔΔ222122d （1） 设两梁中间的相互作用力为F ，则