高中数学第一章坐标系1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化备课资料北师大版选修44

高中数学第一章坐标系1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化备课
资料北师大版选修44
教学建议
1.将极坐标系与直角坐标系建在一起,通过例题分析,让学生弄清两者之间的转化关系.
2.借助于例题讲解和易错辨析,使学生明确点的极坐标的不唯一性.
3.引入极坐标系的原因.
我们描述一个人所走的方向和路程,经常这样说:从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B点,再从B点向南偏西15°方向行走;我们描述某飞机的位置:飞行高度1200米,从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31'.这种位置的刻画能够给我们一个很直观的形象.因此,使用极坐标是我们生产生活的需要.
4.极坐标与直角坐标的相同点和不同点
极坐标系是用距离和角度来表示平面上的点的位置的坐标系,它由极点O与极轴Ox组成.对于平面内任一点P,若|OP|=ρ(ρ≥0),以Ox为始边,OP为终边的角为θ,则点P可用有序实数对(ρ,θ)表示.直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的,首先定义原点,接着用两条互相垂直的直线分别构成x轴和y轴.点的位置用有序实数对(x,y)来表示.
在平面直角坐标系内,点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的,但在极坐标系内,虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点P对应,但一个点P却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.也就是说平面上一点的极坐标是不唯一的.极坐标系中的点与有序实数对(ρ,θ)不是一一对应的.
备选习题
1.已知极点在点(2,-2)处,极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中,点M的极坐标为
,求点M在直角坐标系中的坐标.
解:设M(x,y),则x-2=ρcosθ=4cos=2,
∴x=2+2,y-(-2)=ρsinθ=4sin=2.
∴y=2-2=0.
∴点M的直角坐标为(2+2,0).
2.已知∠AOB=,点P在OA上,点Q在OB上,M是PQ的中点,且△POQ的面积为8,试问能否确定OM的最小值?若能,求出其最小值;若不能,请说明理由.
解:以O为极点,OB为极轴建立极坐标系,如图并设P,Q(ρ2,0),
则由题意,有ρ1ρ2sin=8,即ρ1ρ2=.
又因为S△POM=ρρ1sin=4,S△QOM=ρρ2sinθ=4,
所以两式相乘,得ρ2·ρ1ρ2sin sinθ=64.
所以ρ2=,从而当且仅当cos=1,即θ=
时,ρ2取到最小值8,故|OM|取到最小值2.。