第5章摩擦

由此可知，要维持物块平衡，作用力F1的值应满足的条件是:
G tan(θ − ϕ m ) ≤ F1 ≤ G tan(θ + ϕ m )
§5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题
[例5-2]
已知:均质棱柱体重G=4.8kN，其高度 h=2m， 宽度b=1m，放置在水平面上。与 水平面间的静摩擦因数 f s = 1 / 3 。以及
第5 章 摩擦
§5–1 摩擦及其分类 §5–2 滑动摩擦 §5–3 摩擦角和自锁现象 §5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题 §5–5 滚动摩阻的概念
第4章 空间力系
本章重点： 滑动摩擦的概念，摩擦角和自锁，有摩擦时物 体平衡。 本章难点： 摩擦角和自锁。
第5 章 摩擦
§5–1 摩擦及其分类 §5–2 滑动摩擦 §5–3 摩擦角和自锁现象 §5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题 §5–5 滚动摩阻的概念
§5–3 摩擦角和自锁现象
二、自锁现象
对于千斤顶，螺母相当于斜 面上的滑块，加于螺母的轴向 载荷，相当物块的主动力合力。 因此要使螺纹自锁，必须 使螺纹的升角α小于或等于摩 擦角ρ 。螺纹的自锁条件是： α≤ρ 若螺旋千斤顶的螺杆与螺母之间的摩擦因数为fS＝0.1， ρ ＝5 ° 42’。为保证螺旋千斤顶自锁，一般取螺纹升角 α＝ 4°～4°30’。
解方程，得：
F1min sin θ − f s cos θ = G cosθ + fs sin θ
F1min =
考虑到 fs = tanϕm
sin θ − tan ϕm cosθ G = G tan(θ − ϕm ) cosθ + tan ϕm sin θ
§5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题
[例5-1]
§5–1 摩擦及其分类
工程实际中，物体的接触面不会完全光滑，摩擦总会存在。 有利：刹车制动，皮带传动等。 摩擦 有弊：零件的磨损，能量消耗等。 滑动摩擦 摩擦 按物体间相对 运动状态 按物体间 滚动摩擦 动滑动摩擦 静滚动摩擦 静滑动摩擦
摩擦
接触面状况 本教材只讲工程中常用的简单近似的摩擦理论 。
F1max =
G B FS A F
d
fs G FN (1 / 3) × 4.8 = = 1.6 kN cos θ + f s sin θ (4 / 5) + (1 / 3) × (3 / 5) Gb F = 棱柱体将绕B点倾倒的条件是d = b/2,因此: 2max 2h × cos θ 4.8 × 1 故保持棱柱体平衡的最大拉力为 = = 1.5 kN 2 × 2 × (4 / 5)
tan α 而： f s = tan ρ 得： f s ≥ ∴ tan ρ ≥ tan α
FR
α
ρ
FRA
即：物体平衡 → → ρ ≥ α
§5–3 摩擦角和自锁现象
二、自锁现象
若 ρ ≥ α → →物体平衡，接触面可提供与法 线成θ 角的全反力。 ρ ≥ α是物体平衡的充要条件。 与主动力无关而与摩擦角有关的平衡条件称 为自锁条件。 如果作用于物体的
§5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题
[例5-1]
已知:重为G的物块放在倾角为θ的斜面上，θ大于摩擦角。 物块与斜面间的摩擦因数为fs。有一水平力F1使物块保持静 止。 试求：F1的取值范围 。
G F1
§5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题
[例5-1]
解：根据题 意，如F1的 值太小，物 块将下滑； 如F1的值过 大，又将使 物块上滑， 所以需分两 种情形加以 讨论。
第5 章 摩擦
§5–1 摩擦及其分类 §5–2 滑动摩擦 §5–3 摩擦角和自锁现象 §5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题 §5–5 滚动摩阻的概念
§5–3 摩擦角和自锁现象
一、摩擦角
一般 平衡 临界 状态
讨论物体间静摩擦 性质的几何特点。
FN
α
r r r 全反力： FR = FN + Fs
ρ FR FN r FN : 法向反力 r Fs : 切向反力( 摩擦力)
一般平衡状态 临界平衡状态
fs：静摩擦因数，为常数，由材料和
0≤Fs≤Fmax
静摩擦力大小和方向 由平衡方程确定。 方向恒与物体相对滑动 的趋势方向相反。
Fmax＝fsFN
§5–2 滑动摩擦
一、静摩擦力
3. 动滑动摩擦力
F' = f FN
FN：法向反力（正压力） f ：动摩擦因数，为常数，由材料决定。一般 f < fs。 摩擦因数：无量纲比例系数静摩擦因数和动摩擦因数与接 触物体材料的性质、接触面的状态（如光洁度、温度、湿 度、润滑情况等）等因素有关，一般由实验测定，可在有 关工程手册中查到。
FR
α
ρ
全部主动力的合 力作用线在摩擦
角之外，无论该力 多小，物体一定会 滑动。
ρ
α
FR
FRA
当 α≥ρ 时，由于接
触面只能提供摩擦角范围内 的全反力，不能保证与主动 力共线。→ → 物体滑动。
§5–3 摩擦角和自锁现象
例：
在一个可以调整倾角的斜面上放一重为P的物体，物体与斜 间的摩擦因数为fs，试求物体开始下滑时斜面的倾角α。
d
G B FS F A
FN
§5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题
[例5-2]
二是不绕角点B 倾倒，这就要求法向约束力FN 的作用线距中心点的距离 d ≤ b / 2 。 对棱柱体列平衡方程： ∑ Fx = 0, F cos θ − Fs = 0
∑ Fy = 0,
∑ M B ( F ) = 0,
d
G B FS F A
′ = f s FN 2 Fmax
′ Fmax
补充物理方程： 考虑到 f s = tan ϕ m
解得： F1max
F1max
sin θ + tan ϕm cosθ = G = G tan(θ + ϕm ) cosθ − tan ϕm sin θ
sin θ + fs cos θ = G cos θ − fs sin θ
求解考虑摩擦时的平衡问题的几个特点：
（3）已知有摩擦求主动力。由于物体平衡时摩擦力有一定的 范围(即0≤FS≤Fmax＝fSFN)，所以主动力的值也有一定的范围。 （4）工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时可 列补充方程Fmax＝fSFN 。有时为了计算方便，也先在临界状 态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。
求解考虑摩擦时的平衡问题的几个特点：
（1）受力分析时，必须考虑摩擦力，其方向与假设无摩擦时 物体在其他力的作用下的滑动方向相反。 （2）已知主动力，讨论物体状态。可设物体处于一般平衡，此 时摩擦力的大小和方向可由平衡方程确定。但一定符合 FS≤Fmax 。 Fmax ＝fSFN，否则物体运动。
§5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题
摩擦力：
作用于相互接触处； 方向与相对滑动的相对滑动趋势的方向相反； 大小根据主动力的情况，用不同的计算方法计算。
§5–2 滑动摩擦
一、静摩擦力
1.静滑动摩擦力：当两物体有相对 滑动趋势时，在接触面上有阻碍物 体相对滑动趋势的力。 Fs
FN
G P
实验:
（1）P为零时，物体没有运动趋势，摩擦力Fs为零。 （2）P 较小时，物体有运动趋势，但仍静止(平衡)，摩 擦力Fs 不为零。由平衡方程确定静摩擦力大小。
第5 章 摩擦
§5–1 摩擦及其分类 §5–2 滑动摩擦 §5–3 摩擦角和自锁现象 §5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题 §5–5 滚动摩阻的概念
§5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题
考虑具有摩擦的物体或物体系统的平衡问题，其解法与平 面任意力系在原则上并无差别,只是在进行受力分析时要考虑摩 擦力。而且具有摩擦的平衡问题的解往往以不等式的形式给出 一个平衡范围。
θ = arctan(3 / 4)
求：（1） F=1.2kN时，棱柱体是否处于 平衡状态；（2）能保持棱柱体平衡的力F 的最大值 。 1、棱柱体的受力如右图所示，要 保持棱柱体平衡，必须满足如下两个条件： 一是不发生滑动，要求静摩擦力小于等于 最大摩擦力，即 Fs ≤ Fmax = f s FN ， 解：
斜面上物体的自锁条件（即不下滑的条件）： α≤ρ
§5–3 摩擦角和自锁现象
二、自锁现象
工程实际中常应用自锁原理设计一些机构或夹具，如千 斤顶、压榨机、圆锥销等，使它们始终保持在平衡状态下工 作。也可应用这个原理，设法避免发生自锁现象。 斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。
螺纹可看成为绕在圆柱体上的斜面，升角α就是斜面的倾角。
FN + F sin θ − G = 0
b b G − FN − d − Fh cos θ = 0 2 2
FN
可解得 Fs =
而棱柱体与地面间的最大摩擦力为
4 F = 0.96 kN FN = G − F sin θ = 4.08 kN 5
d = 0.382 m
Fmax = fs FN = 1.36 kN
f s FN Fs Fmax = = f s = tan ρ tan α = ≤ FN FN FN
α
FRA
ρ FRA
所以有：
α ≤ρ FRA
ρ
FRA
α
接触点的全约束反力作用线只 能在摩擦角以内。
FN
Fmax
§5–3 摩擦角和自锁现象
二、自锁现象
如果作用于物体的全部主动力的合力作用线 在摩擦角之 内，无论该力多大，物体总能保持平衡，这种现象称为自锁。 证明： 设接触面的摩擦角为ρ ，主动力FR与法向夹角为α 。 水平主动力：FRsinα， 法向主动力：FR cosα ＝法向反力 若平衡：FRsinα ≤Fmax＝ fsFN = fsFRcosα
2、再求不致使物块向上滑动的F1的最大 值F1max。这时物块处于临界状态，有向 上滑动趋势，摩擦力向下，如图所示。 对物块列出平衡方程： ′ − G sin θ = 0 F1max cos θ − Fmax ∑ Fx = 0,
∑ Fy = 0, − F1max sin θ + FN2 − G cosθ = 0
{ 湿摩擦
干摩擦
动滚动摩擦
第5 章 摩擦
§5–1 摩擦及其分类 §5–2 滑动摩擦 §5–3 摩擦角和自锁现象 §5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题 §5–5 滚动摩阻的概念
§5–2 滑动摩擦
基本概念
两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动 或相对滑动趋势时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力，即滑 动摩擦力。
来自百度文库
§5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题
[例5-1]
1、先求恰能维持物块不致下滑所需的F1最小值F1min。这时物块仍 有下滑趋势，摩擦力向上，其受力情况如图所示。 对物块列平衡方程：
y
F1min Fmax FN1 G
∑ Fx = 0, F1min cosθ + Fmax − G sin θ = 0
x
∑ Fy = 0, − F1min sin θ + FN1 − G cosθ = 0 补充极限情况下物理方程 Fmax = f s FN1
结果分析: 静摩擦力Fs小于最大摩擦力，棱柱体不会滑动。又 由于d小于b/2=0.5m，棱柱体不会倾倒。所以，当F=1.2kN时 棱柱体处于平衡状态。
§5–4 考虑摩擦时物体的平衡问题
[例5-2]
2、为求保持棱柱体平衡的最大拉力Fmax，可分别求 出棱柱体即将滑动时的临界拉力F1max和即将绕B点 倾倒时的临界拉力F2max，较小者即为所求。 棱柱体将要滑动的条件为： Fs = f s FN 代入前面公式, 可求得:
Fs
Fmax FRmax
摩擦角：临界状态时，全反力与法线的夹角。用ρ 表示。 f s FN Fmax 摩擦角的正切 = = fs tan ρ = 由图可知: FN FN 等于摩擦因数。
§5–3 摩擦角和自锁现象
一、摩擦角
摩擦角ρ 与摩擦因数 fs 一样也是表示材料表面性质的一个常量。 摩擦角：临界状态时，全反力与法线的夹角。用ρ 表示。 一般平衡 Fs≤ Fmax Fmax FN
§5–3 摩擦角和自锁现象
例：
（1）物体受力如图。 解： （2）列平衡方程： ∑ Fx = 0 Fmax y O α P α FN x
− P sin α + Fmax = 0
y
∑F
=0
− P cos α + FN = 0
Fmax = f s FN
解得： tanα = f s
即：α＝arctanf s ＝ρ
∑F
x
=0
→
Fs = F
（3）当主动力P 增加到某个数值，物体处于将动未动的临 界平衡状态。这时的摩擦力称为最大静滑动摩擦力Fmax。
§5–2 滑动摩擦
一、静摩擦力
2.最大静摩擦力 最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力(即法向反力)成正比。 静摩擦定律 FN：正压力。 接触面状况决定。实验测定。
Fmax＝fsFN 综上所述：