15-成像系统2-透镜的点扩散函数

§3.2 透镜的傅里叶变换性质：小结
我们特别关注物在透镜前, q=f, d0=f 的特殊情形。此时
x y U ( x, y ) c t ( x0 , y0 ) exp j 2 f x0 f y0 dx0 dy0

c
当d0=0时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都 是等价的。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光 源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之 间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都 是夫琅和费型。
透镜的作用
:透镜将照明光波变换成会聚球面波, 会聚点是照明点 光源的共轭像点.从而在此会聚点处(注意:不是物本身 的像点)得到物的F.T., 但比例尺度改变.
xf x f ( f d0 ) f0 1 x f ( f d0 ) f0 1 2 2 2 I ( x f ) I 0 sinc L sinc L 4 sinc L ( f d ) ( f d ) 4 ( f d ) 0 0 0
2
f
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
1 x0 y0 L=1cm, t ( x, y) 1 cos2f 0 x0 rect rect 2 L L f0=100周/cm
x’-y’
∑p d0
x0-y0
∑0
xf-yf 强度分布: S’
假定L=1cm, f0=100周/cm, =0.6mm。 画出焦平面上沿 xf 轴的强 度分布。标出各衍射分量之间的距离和各个分量的宽度（第一个 零点之间）的数值。 x’-y’ x0-y0 xf-yf
∑p ∑0
S’ f
d0
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
变换的尺度问题
对应于物的同一空频分量, 变换的尺度随波长和焦距而变
2
2 > 1
f2 > f1
1
f1 f2
xf = f fx,
y f = f fy
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
3、透镜的孔径效应
透镜光瞳函数为P(x, y) 物体紧靠透镜：有效物函数为 t ( x0 , y0 ) Px0 , y0 物在透镜后: 透镜形成会聚球面波, 在物面上形成投影光瞳函数:
x y I ( x, y ) T , (q d ) (q d ) 0 0
2
f
L2 T ( fx, f y ) 2
1 1 f , f f f , f f f , f x y x 0 y x 0 y sincLf x sincLf y 2 2
2பைடு நூலகம்
f0=100, (q-d0) =3.610-3
I0
-0.36
-3.610-3
t ( x0 , y0 ) f
x
x y , fy f f
用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在 透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦 面称为频谱面。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质 物理解释
后焦面上光场分布与频谱的对应关系
物分布t (x0,y0)是一个复杂结构, 含有 多种空频成分.它调制入射的均匀平 面波,使透射光场携带物体的信息. 透射光场的角谱代表物函数的频谱, 即含有向不同方向衍射的许多平面 波. 其中向 角方向衍射的平面波分 量经过透镜后聚焦到(0, yf)点. 由几何关系易见: 后焦面上(0, yf)点的复振幅,对应空频为 yf = ftan fsin (fx =0, fy = yf /f) 的平面波分量的振幅 = fcosb (近轴近似) 和位相. 推广之, 任意 (xf, yf)点的复振幅, 对应空频 方向余弦 为 (fx =xf /f, fy = yf /f) 的平面波分量的振 此平面波分量的空频 幅和位相. fy = cosb = yf /f ∴ 透镜的后焦面是物体的频谱面. #
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方，平面波照明
x’-k y’ 2 2 U ' ( x0 , y0 ) c exp j ( x0 y0 )t ( x0 , y0 ) 透镜前|后平面 2( f d 0 )
P1 | P2
x0 - y0
x-y
z S’
Ul’
x, y
1 x0 y0 L=1cm, t ( x, y) 1 cos2f 0 x0 rect rect 2 L L f0=100周/cm
强度分布:
x y I ( x, y ) T (q d ) , (q d ) 0 0
1 x0 y0 L=1cm, t ( x, y) 1 cos2f 0 x0 rect rect 2 L L f0=100周/cm
解：由几何关系可知，在物面上投影光瞳大于物体尺寸，故可 不考虑透镜孔径的效应。 单位振幅的单色平面波垂直照明，q=f, 透镜后焦面上出现物体的 傅里叶变换，但有一个二次位相因子。 复振幅分布： U ( x, y) c' exp j x’-y’
1 T ( f x , f y ) I 0 sincLf x sincLf y sincL( f x f 0 )sincLf y 2 1 sincL( f x f 0 )sincLf y 2
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
t (x0,y0)
∑0: 输入面
∑p
输出面
d0
f
第三步：由x0-y0平面传输到观察平面x-y上造成的场分布为（利 用 Fresnel衍射的F.T.表达式，注意 z=f-d0 ）：
U ( x, y ) exp( jkz) k exp[ j ( x 2 y 2 )] j z 2z k 2 2 x y U ' ( x , y ) exp[ j ( x0 y0 )] 0 0 f , f 2z y x z z
∑p
∑0: 输入面
输出面
d0
f
1 k 第一步：直接写出∑0 2 2 U ( x0 , y0 ) exp j ( x0 y0 ) f d0 前表面的光场分布： 2( f d 0 ) 第二步：写出∑0后 1 k 2 2 U ' ( x0 , y0 ) exp j ( x0 y0 )t ( x0 , y0 ) 表面的光场分布： f d0 2( f d 0 )
2 2


k 2 2 x y U ( x , y ) exp[ j ( x y 0 0 0 0 0 )] f , f 2 z y x z z
菲涅耳衍射的F.T. 表达式（空域）
U ( x f , y f ) c' T ( f x , f y )
fx
xf
f
fx xf
f
, fy
yf
f
xf yf
数学表达式： U ( x f , y f ) c' T ( f x , f y )
fx
f
, fy
f
会聚球面波的 复振幅表达式
U ( x, y ) exp( jkz) k exp[ j ( x 2 y 2 )] j z 2z
exp( jkz) exp jz ( f x f y )
2
1 1 沿fx轴: T ( f x ,0) I 0 sinc Lf sinc L ( f f ) sinc L ( f f ) x x 0 x 0 2 2
∵f0>>1/L, ∴
1 1 2 2 T ( f x ,0) I 0 sinc Lf x sinc L( f x f 0 ) sinc2 L( f x f 0 ) 4 4
k 透镜的 F.T. 性质 透镜的复振 t ( x , y ) exp[ j ( x 2 y 2 )] 2f 幅透过率：
物体放在焦距为 f 的透镜的前焦面， 物函数t(x ,y )的准 0 0 用波长为 的单色平面波垂直入射 确的傅里叶变换 照明，在透镜后焦面上得到： 变换的空频坐标与后焦面 空间坐标 xf, yf 的关系：
2 2
q =f
将 fx
xf
( f d0 )
代入,并取 =0.6mm:
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
1 x0 y0 L=1cm, t ( x, y) 1 cos2f 0 x0 rect rect 2 L L f0=100周/cm xf 将 fx 代入,并取 =0.6mm: ( f d0 )
∑p
d0

k x y 2 2 ( x y )T , 2(q d 0 ) (q d 0 ) (q d 0 )
x0-y0
∑0
xf-yf 强度分布:
S’
x y I ( x, y ) T (q d ) , (q d ) 0 0
, fy
yf
f
a0 k 2 2 U ( x, y ) exp( jkz) exp j ( x y ) z 2z
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2.物在透镜后方,平面波照明
x’-y’
透镜前|后平面 P1 | P2
x0 - y0
t (x0,y0)
x-y
z S’
Ul’
q q P x0 q d , y0 q d 0 0
有效物函数为
x’-y’
∑p
x0-y0
x-y
S’
∑0
q q t ( x0 , y0 ) P x0 q d , y0 q d 0 0
d0 q
在频谱面上得到有效物函数的傅里叶变换。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方
对于平面波照明，得到：
x2 y2 x0 y0 U ( x, y ) cexp jk T ( f x , f y ) f x , fy 2 f d 0 ( f d0 ) ( f d0 )
对于球面波照明，得到：
k x y 2 2 U ( x, y) c' exp j ( x y )T , 2 ( q d ) ( q d ) ( q d ) 0 0 0
仍为物体的F.T., 但 1.仍有二次位相因子 2. 频谱面取值fx =xf /qd0), fy = yf / qd0), 随距离d0 而变. 通过调整d0, 可改变频谱的尺度
物在透镜前: 投影光瞳函数更复杂一些，暂不讨论。
例题
单位振幅的单色平面波垂直照明一个直径为5cm,焦距为80cm 的透镜。在透镜的后面20cm的地方，以光轴为中心放置一个余弦 型振幅光栅，其复振幅透过率为
1 x0 y0 t ( x, y) 1 cos2f 0 x0 rect rect 2 L L
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
透镜的后焦面是输入物体的频谱面
透镜后焦面上不同位置的点,对应物体衍射光场的不同空 间频率分量 x0 fx2 xf
fx2> fx1
fx1
f
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
透镜的后焦面是输入物体的频谱面
F.T.
F.T.
频谱点出现在与空间条纹结构垂直的方向上.
§3.2 透镜的傅里叶变换性质