双曲线定义及其标准方程

双曲线的定义及其标准方程

1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差: 12||||2PF PF a -=或2

1||||2PF PF a -=,即:

12||||||2PF PF a -=，其中0>a 动点的轨迹会发生什么变化呢

①若21212F F a MF MF ==-，则轨迹是______________________； 若21122F F a MF MF ==-，则轨迹是________________________； ②若21212MF MF a F F -=<，则______________________；

③在1202||a F F <<条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做____________.

（1）当c a 22<时，双曲线 （2）当c a 22=时，射线 （3）当c a 22>时，无轨迹

*

2、概念形成

双曲线定义

定义：平面内到两定点21,F F 的距离的_______________等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点21,F F 叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离12||F F 叫做焦距. 双曲线定义中的注意点

在概念的理解中要注意： ；

（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21F F . （2）当12||||2PF PF a -=时，动点的轨迹是与2F 对应的双曲线的一支，

21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支.

3、双曲线的标准方程的推导

可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程． 如图8-12建系，设c F F 221=，取过点21F F 、的直线为x 轴，线段

21F F 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则)0,(F )0,(21c c F 、-，设

M （x ，y ）

）是所求轨迹上的点.

依已知条件有a MF MF 221±=-，221)(y c x MF

++=，222)(y c x MF +-=，

22)(y c x ++∴a y c x 2)(22±=+--，

移项得：22)(y c x ++22)(2y c x a +-+±=， 平方得：222)()(y c x a cx a +-=-± （*） —

再平方得：)()(2

2

2

2

2

2

2

2

c a a y a x c a -=+-，

即)()(2

2

2

2

2

2

2

2

a c a y a x a c -=--，令)0(2

2

2

>>-=b c a c b

则2

2

2

2

2

2

b a y a x b =-，即122

22=-b

y a x

综上：焦点在x 轴上双曲线的标准方程是12222=-b

y a x ①，其中)0(2

22>>+=a c b a c ，

焦点)0,(F )0,(21c c F 、-.

◆同样如果双曲线的焦点在y 轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样

的呢

焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a 、b 的意义同上，那么只要将方程①的x 、y 互换，就可以得到焦点在y 轴上双曲线的标准方程是

12

222=-b

x a y ，其中)0(2

22>>+=a c b a c ，焦点),0(F ),0(21c c F 、-.

【例1】 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值

③ <

④

12422=-y x ②12

22

2=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y （12

32222=-x y ）

—

【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到

)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程

.

解：

(

【例3】 已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点)24,3(1-P ，)5,4

9(2P ，在此双曲线上，求双曲线的标准方程

)

(

【例3】已知双曲线

116

92

2=-y x 的右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上的左支上且|PF 1||PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小.

】

【例4】已知F 1、F 2是双曲线14

22

=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2 =90°，求△F 1PF 2的面积.

解：

\

练习题：

1.已知点F 1（0，-13）、F 2（0，13），动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（ ）

=0 =0(x ≤-13或x ≥13) =0(|y|≥13) D.以上都不对

2.在方程mx 2－my 2

=n 中，若mn ＜0，则方程的曲线是（ ） *

A.焦点在x 轴上的椭圆

B.焦点在x 轴上的双曲线

C.焦点在y 轴上的椭圆

D.焦点在y 轴上的双曲线

3.已知双曲线的方程为22

22b

y a x -=1,点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦

点F 2，|AB |=m ,F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（ ） +2m +2m +m +4m 】