高二数学向量的坐标表示及其运算

1 j
*1.向量的正交分解表示法: a O A x i y j .
*2.向量的坐标表示法的具有唯一性,确定性;
*3.向量的坐标与其终点的坐标是形同而意不同,应 注意加以区分;
*4.由向量的坐标的意义,容易得知: i (1 , 0); j (0 , 1); 0 (0 , 0).
a *单位向量的计算公式: a 0 . a
*提示: *有于向量的基础知识的具体内容可以阅读 课本后(P137)的附录部分.
**向量作为一种常见的数学概念. 它是即有大小又 有方向的.前面已学习了其“形”的相关知识,本 节 开始就要研究其“数”的相关知识---向量的坐 标 .基本单位向量的意义: 在平面直角坐标系内,方 *1. 向与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量就叫 做基本单位向量.分别记作为: i 和 j .
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 y y A（x,y） 置由a唯一确定。 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标；反过来， x
a j O i x
点A的坐标（x,y)也就是向量OA
的坐标。因此，在平面直角坐标 系内，每一个平面向量都可以用 一对实数唯一表示。
*3.任意向量的坐标的意义:
Y
a
A (x,y)
N (0,y)
由平行四边形法则可得:
O 1 M (x,0) a O A O M O N ; X i O M x i; a O A x i y j; O N y j; (x , y) . (平移) *感悟: 任意向量 a 位置向量 O A x i y j; (唯一确定) 有序实数对(x,y) 向量 a 的坐标. 记作: a (x ,y).
*感悟: 由上述法则实现了由向量的作图法运算(形) 转化为向量的坐标法运算(数),化繁为简. *5.向量模的计算公式:
a x1 y 1 .
2 2
*(向量坐标的探求问题)* *例题1: 如图所示,写出向量 a ,b ,c 的坐标.
Y
2 1 -2 -1 O -1
a
1
A
*策略:
*例题3: 已知向量 a (4, 1), b (5, 2).求 2a 3b 的 坐标.
*感悟: 本例是利用坐标法进行向量运算的,简单方 便.当然也可利用正交分解法进行验证.
*例题4: 已知平面内两点P,Q的坐标分别为(-2,4)和 (2,1).求 PQ 的单位向量 a0 .
(1)写出向量 AC, BC的坐标;
(2)若四边形ABCD是平行四边形,求D的坐标.
Y
C(-1,3)
*感悟: *本例是向量坐标计算公式 的应用问题.体会向量坐标表 示法能使解题过程简便易行.
D(x,y)
A(2,1)
B(பைடு நூலகம்3,2)
O
*问题? 题(2)改为若A,B,C,D 四点构成平行四边形的 X 四个定点,结果又如何?
*总结: 求任意向量的单位向量的方法步骤为:
①确定任意向量的坐标 a (x,y); 2 2 ②计算模 a x y ; ③计算 a0
1 x2 y2 (x, y).
**课本P57:练习8.1(1):
1,2,3;
*提示: 代数法证明三点共线的充要条件是:
AC // BC 的公共点 C为AC与BC
Y
*问题? 如何用基本单位向量来 表示任意一个向量 a 呢?
1 j O
i
1
X
*2.位置向量的定义:
Y
a
A
j
1
a
O
i
1
X
对于平面内的任意向量 a ,可将向量的起点置于坐 ,那么 标原点O,作 O A a O A就叫做 位置向量.
在平面上，如果选取互相垂直的向量时， 会为我们研究问题带来方便。

(3)当 λ 0 时,0 a 0;
(4)任何实数λ与零向量的乘积为 零向量. λ 0 0.
*两个非零向量平行的充要条件:a//b b λa ,(λ 0)
**单位向量的定义及其计算公式: *把模为1的向量叫做单位向量.
*对于任意的非零向量 a ,与它同方向的单位向 量叫做向量 a 的单位向量.记作:a 0 .
2 b X
c
-2
B
**探求一个任意向量坐标可 以通过其对应的位置向量 求得.
*问题? 对于直角坐标平面内的任意两点P,Q,如何利 用点P和点Q的坐标来表示出向量 PQ坐标?
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*5.直角坐标系内任意向量坐标计算公式.
O P PQ O Q
*4.向量运算的坐标运算法则. *若设:λ是一个实数, a (x1,y1 ) ,b (x2 ,y 2 ) .
*利用向量的正交分解法与坐标法的相互转换,容 易证明: a b (x1,y1 ) (x2 ,y 2 ) (x1 x2 ,y1 y 2 ). a (x1,y1 ) (x1 ,y1 ).
Y
Q (x2,y2)
PQ O Q O P
(x2 ,y 2 ) (x1 ,y1 )
O
P (x1,y1)
X
PQ (x2 - x1,y 2 - y1 )
*注意: *任意向量坐标等于终点坐标减去起点坐标.
*并有: 0 PP (0 ,0).
*例题2: 如图,平面上三个点A,B,C,的坐标分别为: (2,1),(-3,2),(-1,3).
(二期课改)
**实数与向量的乘积的意义:
*实数λ与非零向量 a 的乘积是一个向量,记作: λa. *对向量 λa 的模和方向规定如下: (1) λa λ a; a
3a (2)当 λ 0 时,λa 与 a 的方向相同; 当 λ 0 时,λa 与 a 的方向相反;
请根据你在这节课所学的知识谈谈你的收获与体会 .