第8章 正交试验设计的方差分析例题

8.3.2 考虑交互作用的三水平正交试验的方差分析（因学时有限和正交表太大L27(313)，不讲解！只讲解二水平情况，因为二水平会，三水平自然也会！）

例8-4 运动发酵单细胞菌是一种酒精生产菌。为了确定其发酵培养基的最佳配方，进行了四因素三水平正交试验，试验指标为酒精浓度（g/ml）。表8-12给出了因素水平表，要求考察交互作用A×B、A×C和A×D。查附表7可得，本试验应选用L27(313)正交表，表头设计应按照“L27(313)二列间的交互作用表”进行。本例只考虑一级交互作用（p=1），所以每个三水平交互作用应占(m-1)P=(3-1)1=2列，即A ×B、A×C，和A×D在L27(313)正交表中各占二列。

表8-12 因素水平表

表头设计时应避免混杂，试验方案及试验结果见表8-13。

由交互作用表可知，将因素A、B安排在第1、2列之后，第3、4列为A×B交互作用列；再将C安排在第5列后，A×C交互作用在第6、7列；最后将D安排在第9列，则A×D交互作用类落在第8、10列（当然也可将D安排在第8列，则第9、10列为A×D交互作用列）。

表8-13 试验方案及结果分析 L27(313)

一、计算（计算过程省略）

1.计算各列各水平的K ij 值(K 1j ,K 2j ,K 3j )和K 2

ij (K 21j ,K 22j

,K 23j ) 各列各水平对应的试验数据之和K 1j ,K 2j ,K 3j ,及其平方和K 21j , K 22j ,

K 23j ,列于表8-13中,例如

K 1A =

∑=9

1

i i

X

=0.20+0.50*2+1.50+1.10+1.20*2+1.60*2=9.40=K 11 ，

K 2

11= 88.36

K 2A =∑=9

1i i X =0.40+0.50+……+6.15=33.05= K 21 ， K 221=1092.30

K 3A =∑=9

1

i i X =0.40+0.30+……+2.80=25.80= K 31 ， K 231 =665.64

表示A ×B 的有两列,即第3,4列,计算后可知 K 13 =32.75, K 23 =17.90; K 33 =17.60 K 14 =26.40; K 24 =24.55, K 34 =17.30

2.计算各列的偏差平方和(S j )及其自由度(f j ) 由式(8-4),可知:

S j =CT Q n

T K r j m i ij -=-∑=2

2

11 r=n/m=27/3=9;

CT=T 2/n=1/27×68.252=172.52

所以 S j =9

1

52.17291312=-∑=i ij K ( K 1j 2+K 2j 2+K 3j 2)-172.53

S A =S 1=9

1(K 112 +K 212+K 312)-172.52 =9

1(88.36+1092.30+665.64)-172.52 =32.62

S B =S 2=……=67.90, S 3=……=16.67 , S 4=……=5.14 所以S A ×B =S 3+S 4=21.81

S c =S 5=……=2.48, S 6=……=3.04, S 7=……=3.60 所以S A ×C =S 6+S 7=6.64

S 8=……=5.13 ; S 10=……=1.21 所以S A ×D =S 8+S 10=6.34 S D =S 9=……=7.43

S 11=……=2.33,S 12=……=0.35,S 13=……=0.55 所以S e =S 11+S 12+S 13=3.23

因为第j 列的自由度为 f j =m-1=3-1=2,(j=1,2,……13)，所以 f A = f B = f C =f D =2

f A ×B = f 3 +f 4=2+2=4, f A ×C = f 6 +f 7 =2+2=4 f A ×D = f 8 +f 10 =2+2=4, f e = f 11 +f 12 +f 13 =2×3=6 验算:

① S T 的验算

Q T =∑=n

i i x 12=0.2²+0.5²+…+2.8²=320.98

S T =Q T －CT=320.98-172.52=148.46

另外S T =∑=k

j j S 1

=32.62+67.90+…+0.55=148.45

② f T 的验算 f T =n-1=27-1=26

另外 f T =13f i =13×(m-1)=13×(3-1)=26 ∴计算过程无误.

3.计算方差 V j =j

j f S

V A =S A /f A =32.62/2=16.31 同理可得

V B =33.95,V C =1.24,V D =3.72 V A ×B =5.45,V A ×C =1.66,V A ×D =1.59 Ve=0.538 ∵e

j

V V 均大于2,且f e =6＞1, ∴无需校正Ve!

二、显著性检验 （计算过程省略） 1. 计算 F j

F A = V A /Ve=16.31/0.538=30.32, ∵F j =V j /Ve,

∴同理可得, F B =63.10, F A ×B =10.13, F C =2.30, F A ×C =3.09 2.查 F ɑ

F ɑ(f 因,fe)=f ɑ(2,6),F ɑ(f 交,fe)=F ɑ(4,6)

当ɑ=0.05时,查得 F 0.05(2,6)=5.14, F 0.05(4,6)=4.53; 当ɑ=0.01时,查得 F 0.01(2,6)=10.92, F 0.01(4,6)=9.15. 3.显著性检验