可降价的高阶微分方程
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(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
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例4.
解初值问题
y e2y 0 y x0 0 ,
y x0 1
解: 令 y p ( y), 则 y p d p , 代入方程得 dy
积分得
1 2
p2
1 2
e
2
y
C1
利用初始条件, 得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
y A vt
B(x, y) (1,0) o x
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第七节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v
的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (–1, 0 ) 出发, 速度
大小为 2v, 方向指向A , 试建立物体 B 的运动轨迹应满
足的微分方程及初始条件.
提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
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三、y f ( y, y) 型的微分方程
令 y p ( y), 则 y d p d p dy dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
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例3. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
第三节
第十章
可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
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一、 y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
y
1
v
t x
y
s
x
1
1 y2 dx
y A vt
去分母后两边对 x 求导, 得
(0,1)
B(x, y)
①
(1,0) o x
又由于
d dt
x
1
1 y2 dx
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代入 ① 式得所求微分方程:
x
d2 dx
y
2
1 2
1 y2 0
其初始条件为
y x 1 0, y x 1 1
dy p ey dx
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得C2 1
故所求特解为 1 e y x
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内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
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思考与练习
机动 目录 上页2x cos x d x C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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二、 y f (x, y) 型的微分方程
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
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例2. 求解 解:
(1 x2 )y 2xy y x0 1, y x0 3
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
例6 例7
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作业
P292 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3; 4
故所求通解为
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例4.
解初值问题
y e2y 0 y x0 0 ,
y x0 1
解: 令 y p ( y), 则 y p d p , 代入方程得 dy
积分得
1 2
p2
1 2
e
2
y
C1
利用初始条件, 得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
y A vt
B(x, y) (1,0) o x
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第七节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v
的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (–1, 0 ) 出发, 速度
大小为 2v, 方向指向A , 试建立物体 B 的运动轨迹应满
足的微分方程及初始条件.
提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
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三、y f ( y, y) 型的微分方程
令 y p ( y), 则 y d p d p dy dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
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例3. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
第三节
第十章
可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
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一、 y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
y
1
v
t x
y
s
x
1
1 y2 dx
y A vt
去分母后两边对 x 求导, 得
(0,1)
B(x, y)
①
(1,0) o x
又由于
d dt
x
1
1 y2 dx
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代入 ① 式得所求微分方程:
x
d2 dx
y
2
1 2
1 y2 0
其初始条件为
y x 1 0, y x 1 1
dy p ey dx
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得C2 1
故所求特解为 1 e y x
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内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
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思考与练习
机动 目录 上页2x cos x d x C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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二、 y f (x, y) 型的微分方程
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
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例2. 求解 解:
(1 x2 )y 2xy y x0 1, y x0 3
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
例6 例7
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作业
P292 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3; 4