实变函数第三章复习题及解答

第三章 复习题

一、判断题

1、对任意n E R ⊆，*m E 都存在。（√ ）

2、对任意n E R ⊆，mE 都存在。

（× ） 3、设n E R ⊆，则*m E 可能小于零。

（× ） 4、设A B ⊆，则**m A m B ≤。（√ ）

5、设A B ⊆，则**m A m B <。

（× ） 6、*

*1

1()n n n n m S m S ∞∞===∑ 。（× ）

7、*

*11()n n n n m S m S ∞∞==≤∑ 。（√ ）

8、设E 为n

R 中的可数集，则*0m E =。（√ ）

9、设Q 为有理数集，则*0m Q =。（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I =

=。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则*m I =+∞。（√ ）

12、设E 为n R 中的有界集，则*

m E <+∞。

（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。

（× ） 14、E 是可测集⇔c E 是可测集。（√ ）

15、设{n S }是可测集列，则1n n S ∞= ，1n n S ∞= 都是可测集。（√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ）

17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ）

18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ）

19、若E =∅，则*

0m E >。

（× ） 20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。

（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ）

22、在n

R 中必存在测度为零的无界集。（√ ）

23、若A ，B 都是可测集，A B ⊆且mA mB =，则()0m B A −=。

（× ） 24、∅和n R 都是可测集，且0m ∅=，n mR =+∞。

（√ ） 25、设12,E E 为可测集，则12()m E E −≥12mE mE −。

（× ） 26、设12,E E 为可测集，且12E E ⊇，则12()m E E −=12mE mE −。

（× ） 二、填空题

1、若E 是可数集，则*m E = 0 ；E 为 可测 集；mE = 0 。

2、若12,,,n S S S 为可测集，则1

n i i m S = 小于或等于 1

n i i mS =∑；若12,,,n S S S 为两两不相交的可测集，则1n i i m S = 等于 1

n i

i mS =∑。 3、设12,E E 为可测集，则122()m E E mE −+ 大于或等于 1mE ；若还有2mE <+∞，则 12()m E E − 大于或等于 12mE mE −。

4、设12,E E 为可测集，且12E E ⊇，2mE <+∞，则12()m E E − 等于 12mE mE −。

5、设0x 为E 的内点，则*

m E 大于 0。

6、设P 为康托三分集，则P 为 可测 集，且mP = 0 。

7、m ∅= 0 ，n mR = +∞ 。

8、叙述可测集与G δ型集的关系 可测集必可表示成一个G δ型集与零测集的差集 。

9、叙述可测集与F σ型集的关系 可测集必可表示成一个F σ型集与零测集的并集 。 三、证明题

1、证明：若E 有界，则*

m E <+∞。 证明：因为E 有界，

所以，存在一个有限区间I ，使得E I ⊂，从而m E m I I ∗∗≤=<+∞。

2、证明：若*0m E =，则E 为可测集。

证明：对任意A E ⊂，c B E ⊂，因为*0m E =，可得*

0m A =，所以， *****()m B m A B m A m B m B ≤∪≤+=，

从而***()m A B m A m B ∪=+，所以，E 为可测集。

3、证明：有理数集Q 为可测集，且0mQ =。

证明：因为有理数集Q 可数集，从而0m Q ∗=，所以，Q 为可测集，且0mQ m Q ∗==。

4、证明：若E ，F 都是可测集，且mE <+∞，E F ⊆，则()m F E mF mE −=−；若mE =+∞，则上面的结论还是否成立。

证明：因为()F F E E =−∪，且()F E E −∩=∅，所以，()mF m F E mE =−+。又mE <+∞，所以，()m F E mF mE −=−。

若mE =+∞，则上面的结论不一定成立。

5、若1R 中的区间为可测集，则1R 中的开集为可测集。

证明：由1R 中开集的结构得，1R 中的开集或为空集，显然是可测集；或为至多可数个互不相交的开区间的并集，而区间是可测集，至多可数个可测集的并集还是可测集，所以，它还是可测集。综上所述，结论成立。