坐标系与参数方程

（2016·全国高考真题）在直角坐标系 xOy 中，圆C 的方程为(x 6)2 y2 25 ．
（Ⅰ）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
x t cos
（Ⅱ）直线
l
的参数方程是
y
t
sin
（t
为参数）,
l
与C
交于
A,
B
两点，|
AB
|
10 ，
求 l 的斜率．
（2）曲线 M 由 M1 ，M2 ，M3 构成，若点 P 在M 上，且| OP | 3 ，求P 的极坐标.
参数方程
1、消元
x＝12＋t2t2， y＝11－ ＋tt22
x
t
1 t
y
t
1 t
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点 M(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝_x_0＋__t_c_o_s_α__， y＝_y_0_＋__ts_i_n_α__
(2)极坐标与直角坐标的互化
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标
系．设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标
是
(ρ
，
θ)
，
则
它
们
之
间
的
关
系
为
：
x＝__ρ_co_s__θ__， y＝__ρ_si_n_θ____；
ρ2＝_x_2_＋__y_2 __，
tan___________.
为参数)．
（2019·全国高考真题）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
1 1
t t
2 2
，
（t
为参数），
y
4t 1t
2
以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
2 （t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极
y 31t
2
轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2cos .
（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 的直角坐标为 (5, 3) ，直线l 与曲线 C 的交点为 A ，B ，求 MA MB 的
值.
1、尽量不要用两个参数方程
3
与曲线C1 , C2
交于不
同于原点的点 A, B 求 AB .
（2019·全国高考真题）在极坐标系中，O 为极点，点 M (0,0)(0 0) 在曲线
C : 4sin 上，直线 l 过点 A(4,0) 且与OM 垂直，垂足为 P.
（1）当0
=
3
时，求
0
及
l
的极坐标方程；
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.
（2019·全国高考真题）如图，在极坐标系Ox 中，A(2,0)，B( 2, ) ，C( 2, ) ，D(2, ) ，
4
4
弧
»AB
，B»C
，C»D
所在圆的圆心分别是(1,
0)
，(1,
2
)
，(1,
)பைடு நூலகம்
，曲线M1
是弧
»AB
，曲线M
2
是弧 B»C ，曲线 M3 是弧C»D .
（1）分别写出 M1 ， M2 ， M3 的极坐标方程；
（2018·全国高考真题）在直角坐标系
xOy
中，曲线C
的参数方程为xy
2cos 4sin
（
为参
x 1tcos
数），直线
l
的参数方程为
y
2
tsin
（t
为参数）.
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为1,2 ，求l 的斜率．
x5 3t
(2015 湖南)已知直线l :{
坐标系
1、伸缩平移
2．极坐标系 (1)极坐标系的概念 ①极坐标系：
如图所示，在平面内取一个定点O，点 O 叫做极点，自极 点 O 引一条射线Ox，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位 、一 个 角度单位 (通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向)，这样就建立了一个极坐标系．
②极坐标：
一般地，没有特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实 数．
1 1 -2
2
O
x
| AB | 12 22 - 212 cos1 2
圆心为 0 ，0 半径 r 为的圆的极坐标方程为
2 02 - 2 0 cos 0 r2
过极点，倾斜角为 α 的 直线 过点(a,0)，与极轴垂直 的直线
过 点 a，π2 ， 与 极 轴 平 行的直线
θ＝α(ρ∈R) 或 θ＝α＋π(ρ∈R) ρcos θ＝a－π2＜θ＜π2
2、与直线的定点有关的问题用直线的参数方程
3、与圆有关的距离（长度）问题可转化为圆心 到直线（点）与半径的关系
4、与椭圆有关的距离（长度）问题用椭圆的参 数方程
（2013·全国高考真题）选修 4—4：坐标系与参数方程
x 4 5cost
已知曲线
C1
的参数方程为{ y
5
5sin
t
（t
为参数），以坐标原点为极点，x
轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ=2sinθ． （Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
ρsinθ＝a(_0＜θ＜π)
（2011·全国高考真题）在直角坐标系中，曲线C1 的参数方程为
x
y
2 cos 2 2sin
(
为参
数
)M
是曲线 C1 上的动点，点P
满足OuuPuv
uuuuv 2OM .
（1）求点 P 的轨迹方程C2 ；
（2）在以 D 为极点， x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
3．常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
圆心在极点，半径为 r 的圆
圆心为(r,0)，半径为 r 的圆
圆心为r，π2，半径为 r 的圆
极坐标方程 ρ＝r(0≤θ＜2π) ρ＝2rcos θ－π2≤θ≤π2 _ρ_＝2rsinθ(0≤θ＜π_)
两点A 1 ，1 ，B 2 ，2 间的距离公式
A 1 ，1
B 2 ，2
(t 为参数)．
(2)圆心在点 M(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝_x_0＋__r_c_o_s_θ___， y＝_y_0＋__r_s_i_n_θ___
(θ 为参数)．
(3)椭圆
x2 m2
y2 n2
1m
0,
n
0
的参数方程为
x＝_m__co_s__φ_， y＝__n_si_n_φ___
(φ