行列式与矩阵幂迹的代数关系

行列式与矩阵幂迹的代数关系

计算]det[xB A +的公式 （1）递归推导法：

∑=+=i

i i x C xB A w ]det[]det[

...

]det[)(]det[)(]det[]det[)()ln (]det[21)(ln )(ln w v v w w v w ww w w w w tr tr tr tr e tr e x x x tr x tr x x +∂=∂=∂=∂=∂=∂-

001)](det[]det[)(!==+∂=∂=x i x x n x i tr i C v w w

...

2)()()()()()(3

1

1

1

1

1

1

1

11122111v ww ww ww w w ww ww w w ww w w w w v v w w ww w w v -=∂∂∂-∂∂-∂=∂∂∂+∂∂∂=∂-=∂-∂=∂∂=∂-------------x x x x x x x x x x x x x x x x x x

)()1)..(1)(()(n

m m n x tr n m m m tr ++-----=∂v

v ()

m

x m n

m m n m n x x i x i i

i

i tr tr tr n m m m tr m tr tr i C x C x )()()()1)..(1)(()()(1)(!

det ]det[100

B A v v

v v v A

B A -=+==+-----=-=∂+∂=

=+∑ （2）直接展开法

∑

∏∑∑

∏∑∑∏

∑∑∏∑∏∑∑∏∑∑∑∑∑=-+∞

==+∞

==∞===∞==∞=+=∞

=+--∑

-=+∑

-=∑=∑==∑=≡-=-=+=++≡+=+=+n

jm m m i m i m i n n

n

jm m m i m i m i n n

n

jm m i m i

n n m i m i jm m i im m i m m m m i im m i m

i i i m m i i i i m i i i i j

j i i

i

i

i j

j i i

i i

i j

j i i

i i i i j j

i i i i i i i i i i m tr x

x i m tr x

m P x m P x m x P m x P P x m i tr x m i tr x x tr x x x x x },

{)1(0

},

{)1(0

},{0}{}{0},{1

01101

1!)))((()1(]det[]det[!))(()1(!!!!)

(!1))()1((!1)

)

()1(exp())ln(exp(]det[]det[det ]det[det ]det[det ]det[B A A B A D D D D δD δD δA B A δA B A δA B A 111

按照分配

....

}!6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/{}

!5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/{}!4/)()!22/()()!22/()(3/4/{})(32{6

)}

(){(2

1]det[614222223321331123223124112415166513222221231123141554122222131443233

222

++-+-+-+-++-+++++--++-++-++-+-++=+trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD x trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD x trD trD trD trD trD trD trD x trD trD trD trD x D tr trD x xtrD x D δ

可以在∞→x 极限下，寻找D det 的关系

D

C C x C

x D

x xD n n

i n

n

i

i n det det )det(,n 0

=→→+∑=δ有阶矩阵对于

对1阶矩阵 D trD D ==det 对2阶矩阵)}(){(2

1

detD 22D tr trD -=

对3阶矩阵！

3)(23detD 3

23trD trD trD trD +-= 对

4

阶

矩

阵

!4/)()!22/()()!22/()(3/4/detD 41222221314trD trD trD trD trD trD trD +-++-=

对5阶矩阵!

5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/det 5

1

3

2

2

2

2

212311231415trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD D ++++--=

对

6

阶

矩

阵

!

6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/det 61422222332133112322312411241516trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD D +-+-+-+-++-=