对勾函数的性质

对勾函数的图象及其性质

对勾函数，是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如 f X =X -（a .0）的

X

函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心

对称的对勾，故名对勾函数，又被称为双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为耐克函数”

* 1

问题1:已知函数f X A X

X

（1）求该函数的定义域；

（2）判断该函数的单调性和奇偶性;

（3）求该函数的值域；

（4）画出该函数的图像。

1 a

问题2:由函数f X =χ• —的图像性质类比出函数f X =x ∙-（a 0）的性质。

X X

2、 值域：1—2、.. a 丨 2、.. a, -.■ i

在正数部分仅当X= , a 取最小值2 . a ,在负数部 分仅当X= _ a 取最大值-2 .. a

3、 奇偶性：奇函数，关于原点对称

4、 单调区间： -：：，-•.. a 单调递增［-••. a ,0)］单调 递减(0,

..a ］单调递减［、、a ，+∞)单调递增

2b

问题3:如果函数f X =X- 在0,4上单调递减，在 4,

上单调递增，求实数 b 的值。

X

a

问题4:当f X =X

中的条件变为a ：：：0时，单调性怎样？

X 3

例1、求函数f X A X 在下列条件下的值域。

X

(1) -：：,0

0, ：： ; (2)0,2 ； (3) -3,-2〕； (4)1,21 ；

例2、函数f X l=X ∙a (a 0)在区间∣m,n(m 0)取得最大值6,取得最小值2,那么此函数在区间

X

〔-n,-m 上是否存在最值？请说明理由。

例3、求下列函数的值域。 练习：

X

1、 已知函数f(x)

,求该函数的定义域、值域，判断单调性和奇偶性，并画出图像;

X +1 χ2 _3

2、 求函数f(x) 2

的值域；

X 2 +3

3、 求函数f(x∏ — 在［2,5］上的最大值和最小值。

X +1

4、 函数f(x)=

~~5的值域是-二,0丨4,=,求此函数的定义域。 X —3

(1)

f(X)

(2)

X 2 3x 2 X

(3)

f(x) = X

X

1

(1) 当a 时，求fx 的最小值；

2

(2)

若f X 在1, •：：上单调递增，求实数 a 的取值范围。

5.函数f(x^ X α

满足：如果常数a>0 ,那么函数在(O, .a ］上是减函数，在［..a, •：：)上是增函数,

X

2b

(1) 如果函数y=χ (X . 0)在(0,4］上是减函数，在［4,上是增函数，求 b 的值；

X

(2)

当a=1时，试用函数单调性的定义证明函数 f(x)在

(0, 1］上是减函数；

5、 已知函数 f(x)二 2 C

X 2x a

X

C

(3)设常数c∙ ［1,9］,求函数f (X) =χ在［1, 3］上的最大值和最小值。

X

对勾函数的图象及其性质

对勾函数，是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如 f X =X -（a .0）的

X

函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心

对称的对勾，故名对勾函数，又被称为双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为耐克函数”

* 1

问题1:已知函数f X A X

X

（5）求该函数的定义域；

（6）判断该函数的单调性和奇偶性；

（7）求该函数的值域；

（8）画出该函数的图像。

解：（1）定义域：（-P,0）（0, •：：）

（2）增区间:-：：，-1 1, 1,：：

减区间:[_1,0，（0,1 ]

（3）值域：（一：：，一2] [ 2,：：）

1 a

问题2:由函数f X =χ的图像性质类比出函数 f X = x （a 0）的性质。

X X

1、定义域：X XKof

2、值域：-,-2∙. a 丨2 ； a,

在正数部分仅当X= a 取最小值 2 a , 在负数部

分仅当X=-F a取最大值-2a

3、奇偶性：奇函数，关于原点对称

4、单调区间：a单调递增[-a ,0）]单调递减

5、图

（0, 、a ]单调递减[a , +∞）单调递增

像

问题3:如果函数f X =X- 在0,4上单调递减，在4, 上单调递增，求实数b的值。

X

已知函数 f(x)二

χ2 2X a a

问题4

:当f X =χ •中的条件变为a ：： 0时，单调性怎样？

X

答：—二,0 , 0,：：

3

例1、求函数f X =X 在下列条件下的值域。

X

（1） -：：,0

0,

;

（2）0,2 ；

（3） 一3,-2〕；

（4）1,21 ；

解: （ 1）（-O c l ,-2J3 ∙U 2√'3,+Q °）； （2） 2λ∕3,址）； （3） 一4,-？ I （4）

2,3,4）

'、、2」

例2、函数f X =X α（a . 0）在区间∣m,n （m

0）取得最大值6,取得最小值2,那么此函数在区间

X

I

- n, -m 上是否存在最值？请说明理由。

解：最大值—2,取得最小值—6.

例3、求下列函数的值域。

练习：

X

1、已知函数f （x ）=

,求该函数的定义域、值域，判断单调性和奇偶性，并画出图像;

X +1

解：定义域 .x ≠-1＞；值域'yy ≠1＞。（一OCl ,-1） ,（一1,亦）,是非奇非偶函数•

解：定义域 R 值域1-1,1 ,

-：：,0 ,0,川二汕，偶函数•

6、 求函数 f （x ）=—在［2,5］ 上的最大值和最小值。

X +1

1 解：f （X ）

在［2,

5］上单调递减，

f （X ）max =

1, f （X ）min

2

7、 函数f （x ）=2^z5的值域是-：：,0】4,=,求此函数的定义域。 X -3

解：函数的定义域为

|5,3〕uq ,7I O

12八2」

(1)

f(

XrI

(2)

f (X)

2

X 2

3x 2

X

(3)

f(X)

(2) _： ：,3-2、3】3 2、3 亠.•]

(3)1-匚：,1 - 2.5，1 2., 5,：：

2、求函数

f(x)=的值域;

X +3