高考数学解题方法与技巧讲解---解决多元变量的最值问题

高考数学解题方法与技巧讲解

---解决多元变量的最值问题

[经验分享]

在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手．对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题．因此，要学会并掌握解决多元变量的最值问题，常见的办法有3种，（1）代入减元（2）等量减元（3）换元减元（4）整体减元，下面分别介绍：

一、代入减元

例1设x，y是正实数，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．

解由2x＋8y－xy＝0得y＝

2x

x－8

，因为x，y是正实数，所以x>8，所以

x＋y＝x＋

2x

x－8

＝x＋

2(x－8)＋16

x－8

＝x＋2＋16

x－8

＝(x－8)＋16

x－8＋10≥2(x－8)·16

x－8

＋10＝18，

当且仅当x－8＝16

x－8

，即x＝12时取等号．

所以当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.

点评此题是一道学生经常见到的求多元变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解

法，但可能是学生比较容易想到的解法．它的优点是由前面的等式可以得到y＝2x

x－8

，

代入x ＋y 中，从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的．

二、等量减元

例2 设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2

－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )

A ．0

B ．1 C.94 D ．3

答案 B

解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)

则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3

≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫1y －12＋1≤1. 点评 此题是2013年山东高考理科第12题，作为选择题压轴题，其难度在于如何寻

求多元变量x ，y ，z 之间的关系，进而达到减元的目的．其实，由xy z 变到

xy x 2－3xy ＋4y 2就已经应用到了代入消元，再由xy x 2－3xy ＋4y 2

变到1x y ＋4y x －3

仍然用到了整体消元的思想(把x y 当做整体)，从而寻求到了xy z 取最大值时变量x ，y ，z 之间的关系．最后由2x ＋1y －2z 变

到－1y 2＋2y 应用到了x ，y ，z 之间的等量关系进行减元，从而达到求出最值的目的．这是一道典型的利用减元的方法求多元变量最值的例题．

三、换元减元

例3 已知θ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2，不等式2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ－m ＋1≥0恒成立，求实数m 的取值范围．

解 原问题等价于：当θ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2时， 不等式m ≤2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ＋1恒成立．