混合样本方差的优良性
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ｆ １ ］ ） ， 而此分 布 族具 有许 多 良好 的性质 ， 其 中一 个重 要 的性质 就是 积分 的计 算 与求偏 导 的运算 可 以交换 次序． 受此 性质 的启 发 ， 证 明了混 合样 本方 差是 总体 方差 的一 致 最小方 差 无偏估 计 ， 即在 无偏 估计 类 中 ， 如果 以方 差最 小作 为衡 量标 准 ， 则混 合样 本方 差是 最好 的．
性 知 Ｖａ ｒ （ Ｔ（ Ｘ）＋ 志 （ Ｘ） ） 一 （ （ Ｘ） ） 忌 。 ＋ ２ ｃ ｏ ｖ（ （ Ｘ） ， Ｔ（ Ｘ） ） ＋ Ｖａ ｔ （ Ｔ（ Ｘ） ） ≥ Ｖａ ｒ （ 丁（ Ｘ） ），
即
必要 性． 设 （ ｘ） 是 ０的任一 无偏 估计 ， 对任 意 常数 志， 考 虑 丁（ Ｘ） ＋ （ Ｘ）， 由 Ｔ（ Ｘ）的一 致
言
实 际中 ， 我们经 常需 要处 理 两个 正态 总体 均值 的比较 问题 ， 例如 检验 两种 类 型的纸 箱 的平均 抗断 强
度是 否相 等 、 品种 改 良后小 麦 的平均 亩产 量是 否显 著 提高 等． 通 常来 讲 ， 总体 的方 差均 未知 ， 如果 通过 检 验可 以认 为两 个方 差相 等 ， 一般 采用 混合 样本 方 差 作 为 总体 方 差 的估 计 ， 然后作 ｔ 检 验． 直 观上 混 合 样
２ 主 要 结 果
假设 Ｘ ＝ ＝ ＝（ Ｘ ， Ｘ ， …， Ｘ ）与 ｙ 一 （ ｙ ， ｙ ， …， Ｙ ）分 别 是 来 自 两 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体 Ｎ（ ， ） ， Ｎ（ 。 ， ）的简单 随机 样本 ， 样 本方 差分 别用 Ｓ ，Ｓ ； 表示 ，其 中
［ 关 键 词 ］ 混 合 样 本 方 差 ；无 偏 ；一致 最 小 方 差 无 偏 估 计
［ 中 图分 类 号 ］ Ｏ２ １ ２ ． １ ［ 文献标识码］Ｃ ［ 文章 编 号 ］ １ ６ ７ ２ — １ ４ ５ ４ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ６ — ０ １ ２ ３ — ０ ４
１ 引
１ ２ ４
从 而
一
大 学 数 学
第３ １卷
Ｅ
Ｅｆ 一１ ） Ｓ ＋ Ｅ（ ７ １ —１ ） Ｓ ； — — — Ｉ ＿ ——一
一
二 车 Ⅲ ＋ 一 ２
一 ，
即Ｓ ：是 ａ 。 的无偏 估计 ．
事 实上 ， ｓ ：是无偏 估计 中最 好 的一个 ， 即一 致最 小方 差 无偏 估 计． 为 了证 明这个 结 论 ， 首 先 引入 下
本方 差综 合 了两个 样 本提供 的信息 应该 比采 用单 个样 本方 差要 好 ， 但是 对其 优越 性 ， 教材 中鲜有 严格 的
论证 ．
本 文将 对混 合样 本方 差在 实 际应用 中的优越 性作 出详 细 说 明． 首先， 利 用统 计 中的基 本定 理证 明 了 混 合样 本方 差是 总体 方差 的无 偏估 计． 其次 ， 注 意到 样本 的密 度 函数 是指 数 型 分 布族 （ 其定 义 参 见 文献
Ｖａ ｔ （ （ Ｘ） ） 志 ＋ ２ ｃ ｏ ｖ（ （ Ｘ） ， Ｔ（ Ｘ） ） 是≥ ０
恒成 立． 因此 抛物线 的顶 点 走一一
一 ０， 得 ｃ 。 ｖ （ （ ｘ） ， Ｔ（ ｘ） ） 一 ０．
充分 性 ． 设 （ Ｘ） 是 ０ 的 任 一 无 偏 估 计 ， 只 需 证 Ｖａ ｒ （ （ Ｘ） ） ≥ Ｖ ａ ｔ （ Ｔ（ Ｘ） ） ．容 易 知 道 ， （ Ｘ） 一 丁（ ｘ）是 ０的 无 偏 估 计 ．从 而
列 判断 一个无 偏估 计是 一致 最小 方差无 偏估 计 的等价 条件 ． 引理 ２ ． ２ ｌ ｌ 设 Ｔ（ Ｘ） 是 ０ 的无 偏估计 ， Ｖａ ｒ （ 丁（ Ｘ） ） ＜Ｃ ｘ ３， 则 丁（ Ｘ）为 ０的 ＵＭＶＵＥ的充 要 条件 是 对 ０的任一 无偏 估计 （ Ｘ）， 若 Ｖａ ｔ （ （ Ｘ） ） ＜ 。 。， 则 Ｃ Ｏ Ｖ （ （ Ｘ） ， Ｔ （ Ｘ） ） 一 ０． 证
～ （ ｍ－１ ） ，
～ （ ｎ－ －１ ）， 有
Ｅ 二
。
一 ｍ一１ ，Ｅ 翌 二 墅一 一１
．
［ 收 稿 日期 ］ ２ ０ １ ５ — ０ ４ — １ ０
［ 基 金 项 目］ 山 东 省 高 校 科 研 计 划 项 目（ Ｊ １ ３ Ｌ Ｉ Ｏ ６ ） ； 国 家 自然 科 学 基 金 （ １ １ ４ ０ １ ５ １ ３ ）
Ｖａ ｔ（ １ （ Ｘ））一 Ｖａ ｔ（ １ （ Ｘ）一 Ｔ（ Ｘ ）＋ Ｔ（ Ｘ））
一
∑
Ｖａ ｒ （ （ Ｘ）一 Ｔ（ Ｘ） ） ＋ Ｖａ ｔ （ ． ｒ ＝ （ ） ） ＋ ２ ｃ ｏ ｖ （ ￣ １ （ Ｘ ）一 Ｔ（ Ｘ） ， Ｔ（ Ｘ） ）
［ 摘 要 ］ 常 见 的 教 科 书 中通 常 采 用 混合 样 本 方 差 作 为 方 差 相 等 的 两 个 正 态 总 体 方 差 的 估 计 ， 而 对 其 优
良性 却 鲜 有 解 释． 在本文 中， 我 们 证 明 了混 合 样 本 方 差 是 总体 方 差 的 ＵＭＶＵＥ， 即一致最小方差无偏估计．
第 ３ １卷 第 ６期
２ ０ １ ５年 １ ２月
大 学 数 学
Ｃｏ Ｉ Ｉ ＥＧ Ｅ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ ＣＳ
Ｖｏ １ ．３ １， №． ６
Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ５
混 合 样 本 方 差 的优 良性
崔艳 丽 ， 吕 文
（ 烟 台大 学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ， 山东 烟 台 ２ ６ ４ ０ ０ ５ ）
∑ （ ｘ 一叉 ）
ｓ 二 ｒ 一 ， Ｓ １
— —
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∑ （ ｙ 一 ）
．下 面首 先证 明 ｓ ：是 。的无偏 估计 ．
用ｓ ｏ ２ 表 示混 合样 本方 差 ， 其中 ｓ ｔ一 定理 ２ ． １ ｓ ：是 的无偏 估计 ．
证 由 基 本 定 理
二
性 知 Ｖａ ｒ （ Ｔ（ Ｘ）＋ 志 （ Ｘ） ） 一 （ （ Ｘ） ） 忌 。 ＋ ２ ｃ ｏ ｖ（ （ Ｘ） ， Ｔ（ Ｘ） ） ＋ Ｖａ ｔ （ Ｔ（ Ｘ） ） ≥ Ｖａ ｒ （ 丁（ Ｘ） ），
即
必要 性． 设 （ ｘ） 是 ０的任一 无偏 估计 ， 对任 意 常数 志， 考 虑 丁（ Ｘ） ＋ （ Ｘ）， 由 Ｔ（ Ｘ）的一 致
言
实 际中 ， 我们经 常需 要处 理 两个 正态 总体 均值 的比较 问题 ， 例如 检验 两种 类 型的纸 箱 的平均 抗断 强
度是 否相 等 、 品种 改 良后小 麦 的平均 亩产 量是 否显 著 提高 等． 通 常来 讲 ， 总体 的方 差均 未知 ， 如果 通过 检 验可 以认 为两 个方 差相 等 ， 一般 采用 混合 样本 方 差 作 为 总体 方 差 的估 计 ， 然后作 ｔ 检 验． 直 观上 混 合 样
２ 主 要 结 果
假设 Ｘ ＝ ＝ ＝（ Ｘ ， Ｘ ， …， Ｘ ）与 ｙ 一 （ ｙ ， ｙ ， …， Ｙ ）分 别 是 来 自 两 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体 Ｎ（ ， ） ， Ｎ（ 。 ， ）的简单 随机 样本 ， 样 本方 差分 别用 Ｓ ，Ｓ ； 表示 ，其 中
［ 关 键 词 ］ 混 合 样 本 方 差 ；无 偏 ；一致 最 小 方 差 无 偏 估 计
［ 中 图分 类 号 ］ Ｏ２ １ ２ ． １ ［ 文献标识码］Ｃ ［ 文章 编 号 ］ １ ６ ７ ２ — １ ４ ５ ４ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ６ — ０ １ ２ ３ — ０ ４
１ 引
１ ２ ４
从 而
一
大 学 数 学
第３ １卷
Ｅ
Ｅｆ 一１ ） Ｓ ＋ Ｅ（ ７ １ —１ ） Ｓ ； — — — Ｉ ＿ ——一
一
二 车 Ⅲ ＋ 一 ２
一 ，
即Ｓ ：是 ａ 。 的无偏 估计 ．
事 实上 ， ｓ ：是无偏 估计 中最 好 的一个 ， 即一 致最 小方 差 无偏 估 计． 为 了证 明这个 结 论 ， 首 先 引入 下
本方 差综 合 了两个 样 本提供 的信息 应该 比采 用单 个样 本方 差要 好 ， 但是 对其 优越 性 ， 教材 中鲜有 严格 的
论证 ．
本 文将 对混 合样 本方 差在 实 际应用 中的优越 性作 出详 细 说 明． 首先， 利 用统 计 中的基 本定 理证 明 了 混 合样 本方 差是 总体 方差 的无 偏估 计． 其次 ， 注 意到 样本 的密 度 函数 是指 数 型 分 布族 （ 其定 义 参 见 文献
Ｖａ ｔ （ （ Ｘ） ） 志 ＋ ２ ｃ ｏ ｖ（ （ Ｘ） ， Ｔ（ Ｘ） ） 是≥ ０
恒成 立． 因此 抛物线 的顶 点 走一一
一 ０， 得 ｃ 。 ｖ （ （ ｘ） ， Ｔ（ ｘ） ） 一 ０．
充分 性 ． 设 （ Ｘ） 是 ０ 的 任 一 无 偏 估 计 ， 只 需 证 Ｖａ ｒ （ （ Ｘ） ） ≥ Ｖ ａ ｔ （ Ｔ（ Ｘ） ） ．容 易 知 道 ， （ Ｘ） 一 丁（ ｘ）是 ０的 无 偏 估 计 ．从 而
列 判断 一个无 偏估 计是 一致 最小 方差无 偏估 计 的等价 条件 ． 引理 ２ ． ２ ｌ ｌ 设 Ｔ（ Ｘ） 是 ０ 的无 偏估计 ， Ｖａ ｒ （ 丁（ Ｘ） ） ＜Ｃ ｘ ３， 则 丁（ Ｘ）为 ０的 ＵＭＶＵＥ的充 要 条件 是 对 ０的任一 无偏 估计 （ Ｘ）， 若 Ｖａ ｔ （ （ Ｘ） ） ＜ 。 。， 则 Ｃ Ｏ Ｖ （ （ Ｘ） ， Ｔ （ Ｘ） ） 一 ０． 证
～ （ ｍ－１ ） ，
～ （ ｎ－ －１ ）， 有
Ｅ 二
。
一 ｍ一１ ，Ｅ 翌 二 墅一 一１
．
［ 收 稿 日期 ］ ２ ０ １ ５ — ０ ４ — １ ０
［ 基 金 项 目］ 山 东 省 高 校 科 研 计 划 项 目（ Ｊ １ ３ Ｌ Ｉ Ｏ ６ ） ； 国 家 自然 科 学 基 金 （ １ １ ４ ０ １ ５ １ ３ ）
Ｖａ ｔ（ １ （ Ｘ））一 Ｖａ ｔ（ １ （ Ｘ）一 Ｔ（ Ｘ ）＋ Ｔ（ Ｘ））
一
∑
Ｖａ ｒ （ （ Ｘ）一 Ｔ（ Ｘ） ） ＋ Ｖａ ｔ （ ． ｒ ＝ （ ） ） ＋ ２ ｃ ｏ ｖ （ ￣ １ （ Ｘ ）一 Ｔ（ Ｘ） ， Ｔ（ Ｘ） ）
［ 摘 要 ］ 常 见 的 教 科 书 中通 常 采 用 混合 样 本 方 差 作 为 方 差 相 等 的 两 个 正 态 总 体 方 差 的 估 计 ， 而 对 其 优
良性 却 鲜 有 解 释． 在本文 中， 我 们 证 明 了混 合 样 本 方 差 是 总体 方 差 的 ＵＭＶＵＥ， 即一致最小方差无偏估计．
第 ３ １卷 第 ６期
２ ０ １ ５年 １ ２月
大 学 数 学
Ｃｏ Ｉ Ｉ ＥＧ Ｅ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ ＣＳ
Ｖｏ １ ．３ １， №． ６
Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ５
混 合 样 本 方 差 的优 良性
崔艳 丽 ， 吕 文
（ 烟 台大 学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ， 山东 烟 台 ２ ６ ４ ０ ０ ５ ）
∑ （ ｘ 一叉 ）
ｓ 二 ｒ 一 ， Ｓ １
— —
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∑ （ ｙ 一 ）
．下 面首 先证 明 ｓ ：是 。的无偏 估计 ．
用ｓ ｏ ２ 表 示混 合样 本方 差 ， 其中 ｓ ｔ一 定理 ２ ． １ ｓ ：是 的无偏 估计 ．
证 由 基 本 定 理
二