数学中两个著名的反例
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第一次数学危机
公元前五世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆是数”——任何数都可以表示为整数或整数的比.他的门徒希伯索斯发现一个反例：当正方形边长为整数1时，对角线的长就无法用整数表示！从而引发第一次数学危机.希伯索斯因为没有按毕达哥拉斯“保持沉默”的要求，把这个问题公之于众，结果被投尸大海，葬身鱼腹，造成历史上震惊数学界的无理数发现惨案.
著名的反例
公元1640年，法国著名数学家费尔马发现：
3120
2=+，
51212=+，
171222=+， 2571232=+，
655371242=+……
而3、5、17、257、65537都是质数，于是费尔马猜想：对于一切自然数n ，122+n 都是质数，可是，到了1732年，数学家欧拉发现：125
2+＝4294967297＝641×6700417.这说明了122+n 是一个合数，从而否定了费尔马的猜想.。