15欧拉图与哈密顿图

定理2(充分条件): 设G＝<V, E>是无向简单图. 若对任意两个不相邻顶点u,vV, 均有 d(u)+d(v)|V|-1, 则G中存在哈密顿路； 若对任意两个不相邻顶点u,vV, 均有 d(u)+d(v)|V|, 则G是哈密顿图.
推论: n阶无向简单图G中, n>2, (G)n/2, 则G是
哈密顿图.
图中任意两个顶点的度数之和为4, 顶点数为6, 即有4<6, 但它是哈密 顿图.
定理3. n(n2)阶竞赛图都有哈密顿路.
例2. 某地有5个风景点，若每个风景点均有2条 道路与其他风景点相通. 问游人可否经过每个 风景点恰好一次而游完这5处？
思路：利用定理2，图中存在哈密顿路，故可 以.
15.3 最短路问题与旅行商问题
例1. 判断下列图形是否为欧拉图或半欧拉图.
前者是半欧拉图, 后者是欧拉图. 定理1. 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图且 无奇度顶点. 定理2. 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通图 且恰有两个奇度顶点. 注: 两个奇度顶点即为欧拉通路的端点.
例2. 判断下列图形是否为欧拉图或半欧拉图. 欧拉图 半欧拉图 都不是
例4. 判断下列有向图是否欧拉图或半欧拉图.
都不是 半欧拉图
欧拉图
一笔画问题:从某点出发,不间断地画完整个图. 即在图中找出欧拉通路（回路）.
Fleury算法: (1) 任取v0∊V(G), (2) 设Pi=v0e1v1e2eivi,
若E(G)-{e1,e2,ei}中没有与vi关联的边, 则计 算停止; 否则在vi关联的边中优先选择非桥的边 添加. (3) 令i=i+1, 返回(2).
第十五章 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图 15.2 哈密顿图 15.3 最短路问题与旅行商问题
15.1 欧拉图
定义1. 通过无向(有向)图中所有边恰好一次的 通路(回路)称为欧拉通路(回路). 定义2. 具有欧拉回路的图称为欧拉图. 定义3. 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为 半欧拉图.
此图无欧拉通路, 也无欧拉回路.
旅行商问题: 一个商人希望去访问n个城市中的每一个, 开始 和结束于城市v1. 任意两个城市间都有一条直接 通路, 我们记城市vi到城市vj的距离为W(i,j). 设计一个算法, 找出商人能走的最短路径.
图论问题: G=<V,E,W>是n阶无向完全图, 其中 W是从E到R+的函数, 对V中任意三点vi,vj,vk满 足W(vi,vj)+W(vj,vk)≥W(vi,vk) 求出赋权图上的最短哈密顿圈.
(3) 重复(2)直至路径包含图中所有顶点.
(4) 加入始点和最后顶点间的边即得圈.
总距离是44 最小哈密顿圈, 43
最短路问题: 给出一个连接各城镇的铁路网络, 在这个网络的 两个指定城镇之间确定一条最短路线.
图论问题: G=<V,E,W>是n阶无向(有向)图, 其 中W是从E到R+的函数(即直接相连的城镇之间 的铁路距离). 求出赋权图上两个指定点之间具有最小权的路.
例1. 对下面有向图求顶点v0到其余顶点的最短路.
例2. 举行一个国际会议, 有A,B,C,D,E,F,G七人, 已知： A会讲英语； B会讲英语和汉语； C会讲英语、意大利语和俄语； D会讲日语和汉语； E会讲德语和意大利语； F会讲法语、日语和俄语； G会讲法语和德语. 试问应如何安排这七人座位使得每个人都能和 他身边的人交谈？
解：用点代表人，两人能交谈则连边.
旅行商问题至今无有效算法,但已找到近似算法. 最邻近算法为旅行商问题找到近似解.
பைடு நூலகம்
最邻近算法:
(1) 选任意点作为始点, 找出一个与始点最近的 点, 形成一条边的初始路径.
(2) 设x表示最新加到这条路径上的点, 从不在 路径上的所有点中, 选一个与x最邻近的点, 把 连接x与此点的边加到这条路径中.
v1
4
v3
5
4
2
v0 1
5
4
6
v4
v2 7
3
v5
迭代次数 v0 v1 v2 v3 v4 v5 记录
0 0 v0
1
4.0 1.0 v2
2
4.0
7.2 8.2 v1
3
8.1 6.1 8.2 v4
4
8.1
8.2 v3
5
8.2 v5
最短路权 0 4 1 8 6 8
生长点 v0 v0 v0 v1 v1 v2
基本思想：能不走桥就不走桥
15.2 哈密顿图 定义1. 经过无向(有向)图中所有顶点恰好一次 的路(圈)称为哈密顿路(圈). 定义2. 具有哈密顿圈的图称为哈密顿图. 定义3. 具有哈密顿路但不具有哈密顿圈的图 称为半哈密顿图. 例1. 判断下列图形是否哈密顿图或半哈密顿图.
半哈密顿图 哈密顿图
都不是
例3. (蚂蚁比赛问题)甲、乙蚂蚁分别位于下图 中的结点a, b处, 并设图中边长度是相等的. 甲、乙进行比赛: 从它们所 在的顶点出发, 走过图中所 有边最后到达顶点c处. 如果 它们速度相同, 问谁先到达 目的地? 乙
定理3. 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通 图且每个顶点入度与出度相等. 定理4. 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向 连通图且除了两个顶点外, 其余顶点入度与出 度相等; 这两个特殊顶点: 一个顶点的入度比出 度大1, 一个顶点的出度比入度大1.
问题转化为在图中找一条哈密顿回路. ABDFGECA即可.
哈密顿图的判定 定理1(必要条件): 设无向图G=<V, E>是哈密顿 图, V1是V的任意非空子集, 则p(G-V1)≤V1. 推论: 设无向图G=<V, E>是半哈密顿图, V1是V 的任意非空子集, 则p(G-V1)≤V1+1.
在Peterson图中, 虽然对任意顶 点集V1, 都满足p(G-V1)|V1|,但 它不是哈密顿图.