计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式专题培训课件

（3）奇偶性
Tn(x)当n为奇奇数函时数为，且只 次含 幂x;的 当n为偶数时， 为且 偶只 函含 数x的偶次
利用数学归纳法证明：
1）当 0和 n 1n时 0(， x)1T0x ,T 1(x)x，结 2）假 2 设 为 当 奇 n(n (偶 x))只 数含 时 )次 x ，
3）则对n1的情况，由递推公式 Tn1(x) 2xTn(x) Tn1(x)

0(k

1,2, … , n)
图为T11(x)的零点，一共有11个
x11 x 10 x 9 x 8
x7
cosπ
cos 15π cos 13π
22
22
x6
cos π 2
x5
cos
9π 22
x4 x3 x2 x1
cos 7π cos 5π cos 3π cos π
22
22
22
22
x kco (2 s 2 1 k 2) ,( π k 1, … 2 ,1 , 1)
切比雪夫多项式的前几项：
T0(x ) cos(01) T1(x )cos(ax rc)cxos T 2(x)cos(2 sa xr )2 c2 x c 1 o
T 3 (x )cos(3 sa xr )4 c3 x c 3 ox
课堂练习：推出T4(x)
切比雪夫多项式的性质
（1）基本递推关系 T T 0 n (1 x (x ) 1 )2 , T x n 1 ((T x x ))T x n1,(x)(. 2.11
一致逼近性质的插值多项式。
切比雪夫多项式的(简单)定义： 表达 式 1： x1 对
T n (x)cos(s nxa n) r,0 c,c1 …o,2 称为切比雪夫多项式。 由三角表达式定 (2.10)
义的多项式
切比雪夫多项式的表达式
若令 cx osθ ，则 T n (x)cos(0 n θ θ)π , .
Tn(x)在 1,[1]上有的 n个 零不 点同 xk co(s22k 1 n)π , (k1,2 …,,n)
证：将xk

cos(2k 1)π, 2n
(k

1,2,…, n)
代入Tn(x)的表达式，得到
Tn(x)
cos[narccso(cos(2k 1)π)] 2n

cos[(2k 1)π] 2
T n 1(x 2 ) cos s(θ n co θ s ) 1( c)n o θ 2x n(T x-T )n1(x)
（2）正交性
0,mn,
1
1
1 1x2Tm (xn()x T)d π x π/m ,m 2 ,nn00.,
(2.1
证：令 cxosθ ，则
T n(x)的最 n的 高 系 次 n 数 1,幂 (n 为 x 1.2 ) 证明： a记 rcθ c则 osx, T n1(x )cos [1 (n )θ c ]os[(θn)θ]
cos(nθθs )c in o(snθθ )si
co s1 () n θ cos(θ n s θi) nc(o θ n
1 1
1 1x2T m (xn ()x T)d π 0c xo 1s c(o 2 θ ( m n sd θ θc))o c
πcos(mcθo)s(nθ )d 0
来自百度文库
根据积化和差公式：
cos((n m 2 1 θ [θ c )o )n c s ) o c (θ m o s n s( )
得知：情况a）如 为果 奇n数，则n2(xT)只含n的偶， 次方 Tn1(x)只含x的偶方 数， 次从而左n端 1(xT)只含x的偶； 次 情况b）如果n为，偶则数2xn(Tx)只含x的奇， 次Tn方 1(x) 只含x的奇次方，左从端而 nT1(x)只含x的奇次方
（4）切比雪夫多项式的零点
计算方法最佳一致
逼近多项式-切比 雪夫多项式
内容
1. 函数逼近的基本概念 2. 切比雪夫多项式 3. 最佳一致逼近多项式 4. 切比雪夫多项式在函数逼近中的应用 5. 利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多
项式的例子
函数逼近的基本概念
第3章 函数逼近与曲线拟合
§1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。
函数逼近问题： 对于函数类A中给定函的数
f(x),要求在另一类较简单便的于计算的函
数类
BA
B
A
中找一个函数p(,x使) p(x)与f(x的) 误差在某
种度量意义下达到最. 小
定1 理(Weaisesrf)s(若 tx rC ) [b a],则 ,ε0, 多项式 使p得 (x),
b. Bernstan多项式
lnim Bn(f, x) f(x)
收敛到f(x)较慢， 不常用。
在[0,1]上一致成 立。该证明于1912年出 给。
ε的数值
y
y=L (x)
一致逼近的几何意义
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切比雪夫多项式
切比雪夫(Chebyshev)多项式
• 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。 • 切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳
|f(x p ) (|x ε )对 , 于一 x切 ba成
证明：伯恩斯坦的构性造证明：Bernstein多项式
Bn(f, x)

n k0
f
k n
Pk(x)
(1.3)
其中Pk(x)
knxk (1
a. 定理1具有重要
x)nk , 使得 的理论意义；
接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直
线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆
弧的等距的点的集合。
（5）切比雪夫多项式的极值点
Tn(x)在 1[,1]上有 1n个不同的极值点
x k

coskπ, n
(k
0,1,… 2,n)
当m≠n:
πcos(mθ )(cnoθs)θd 0
1π [co n s ) (c θ m o s n()θ m θ 0 ]d 20
当m=n≠0
π cos(n m θθ θ 1 )π [ ) d c co o s s 1( θ ]2 d π n
0
20
2
当m=n=0
πcos(m(θn)θcθo )dsπ 0