等差数列前n项和课件.ppt
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n
2
+得：
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+„+(an+a1).
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=„=an+a1，所以式可化为： 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ „ +(a1+an) = n(a1+an).
2.根据下列条件，求相应的等差数列an 的前n项和S n . (1)a1 5, a10 95, n 10.
10× (5 + 95) 解：S10 = = 500. 2 (2)a1 100, d 2, n 50. 50× （50 - 1) 解：S50 = 50×100 + × (-2)= 2 550. 2 (3)a1 14.5, d 0.7, an 32. 26× (14.5 +32) 32 - 14.5 S26 = = 604.5. 解：n = + 1 = 26, 2 0.7
B.-4 C.-2 D.2
分析：利用等差数列的前n项和公式及通项公式求
出首项及公差.
解析：选A.由
8 7 S8 4a3 8a1 d 4 (a1 2d ),由a7 2 a1 6d 2 2
联立解得
a1 10, d 2 ，所以
.
a9 a1 8d 10 16 6
可知，当n > 1时， an = Sn - Sn-1 1 1 1 2 = n + n -[（n - 1）+ （n - 1）]= 2n - . 2 2 2
2
当n = 1时， 1 3 a1 = S1 = 1 + ×1 = ，也满足上式. 2 2 1 所以数列an 的通项公式为an = 2n - . 2 3 由此可知，数列an 是一个首项为 ，公差为2的等差数列. 2
1.（2016·全国高考）已知等差数列 ｛an｝前9项的 和为27， ，则 （ ） （A）100（B）99（C）98（D）97 分析：利用等差数列的前n项和公式及通项公式求
出首项及公差，选c.
1.（2013·安徽高考）设Sn为等差数列｛an｝的前n 项和， S A.-6
8
4a3 , a7 2 ，则a9=（ ）
费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每
年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001
年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的
总投入是多少？
解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校 通” 工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建 其中，
立一个等差数列{an} ，表示从2001年起各年投入的资金，
技巧方法： 此例题的目的是建立等差数列前n 项和与方程组之间的联系.已知几 个量，通过解方程组，得出其余的 未知量.
让我们归 纳一下！
1 例3 已知数列a百度文库 的前n项和为Sn n n，求这个数 2 列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首
2
项与公差分别是什么？
解：根据Sn = a1 + a2 + … + an-1 + an与 Sn-1 = a1 + a2 + … + an-1 （n > 1），
1.等差数列前n项和Sn公式的推导； 2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用.
n( a1 a n ) n( n 1) Sn ,S n na1 d. 2 2
说明：两个求和公式的使用——知三求一.
课后作业：
1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2＝3，a6＝11， 求 S7.
[ 解析]
7a1＋a7 7a2＋a6 73＋11 方法一：S7＝ ＝ ＝ ＝49. 2 2 2
a1＝1， 解得 d＝2，
a2＝a1＋d＝3， 方法二： a6＝a1＋5d＝11.
则 a7＝1＋6×2
＝13， 7a1＋a7 71＋13 ∴S7＝ ＝ ＝49. 2 2
多少个 (a ? 共有n个 (a 1+a n) 1+a n)
n(a1 an ) Sn . 因此， 2
这种求和的 方法叫倒序 相加法！
探究点2：等差数列的前n项和公式的其他形式
（a1 an ) n Sn 2
（n 1) n d Sn na1 2
an a1 ( n1) d
n≤3 n≥4
1+2+3+„+98+99+100=？ 高斯10岁时曾很快算出这一结 果，如何算的呢？ 高斯
(1777—1855）
德国著名数学家
1+2+3+· · · +100=?
带着这个问题，我们进入本节课的学习！
探究点1：等差数列的前n项和公式 下面来看1+2+3+„+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +„+98+99+100 作 + + + + + + + 加 反序S100=100+99+98+„+ 3+ 2 + 1 法 // // // // // \\ \\ 2S100=101+101+101+„+101+101+101 100个 101 ? 多少个 101
2.3 等差数列的前n项和
1.通过教学使学生理解等差数列的前n项和公式的
推导过程，并能用公式解决简单的问题.(重点）
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊 到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式 的运用体会方程的思想．（难点）
数列的前 n 项和 一般地， 我们称 a1＋a2＋a3＋„＋an 为数列{an}的前 n 项和， 用 Sn 表示． (1)记法：Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an. (2)an 与 Sn 的关系：若数列的前 n 项和为 Sn，则通项公式
2
技巧方法： 这个例题给出了等差数列通项公式的另一个求法. （ , S 1 n=1） 已知前n项和S n，可求出通项an （ . 1 n 2） S n S n 这种用数列S n的公式来确定an的方法对于任何数列 都是可行的，而且还要注意a1不一定满足由 S n S n1 an 求出的通项表达式，所以最后要验证 首项a1是否满足已求出的an .
a1 = 500,d = 50.
那么，到2010年（n = 10），投入的资金总额为 10× （10 - 1） S10 = 10×500 + ×50 = 7 250（万元）. 2
答：从2001 2010年，该市在“校校通”工程中的总 投入是7 250万元.
本题的设计意图： 培养学生的阅读能力，引导学生从中提取 有效信息.通过对生活实际问题的解决，让学生 体会到数学源于生活，又服务于生活，提高他们
2 S An Bn n
d d A , B a1 2 2
例1
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小
学实施 “校校通”工程的通知》.某市据此提出 了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用 10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园 网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经
2. 已知{an}为等差数列，an＝10－3n，求|a1|＋|a2|＋„＋|an|.
[ 解析]
由题意， 知 a1＝10－3×1＝7， 由于 an 有正也有负，
10 当 an＝10－3n≥0 时，n≤ 3 ， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋„＋|an|
a1＋a2＋„＋an ＝ a1＋a2＋a3－a4－a5－„－an
1 所以S100= (1+100)×100 =5 050 2
总 ？ 和
首 尾 项 1 ？ ？ ？ ( ＋ ） 项 项 数 2
n(a1 an ) Sn 2
这就是等差 数列前n项和 的公式！
以下证明{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则
n(a1 an ) Sn . 2 证：Sn= a1+ a2 + a3 + „ +an-2+an-1+an, 即S = an+an-1+an-2+„+ a3+ a + a1,
学习数学的兴趣，同时又提高学生运用数学知识
解决实际问题的能力，促进了理论与实践的结合，
对新知进行巩固，使教师及时收到教学反馈.
例2
已知一个等差数列 an 前10项的和是310，前20
项的和是1 220.由这些条件能确定这个等差数列的前n
项和的公式吗？
分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可 得到两个关于 a1与d的二元一次方程，由此可以求得 a1 与d，从而得到所求前n项和的公式.
S1n＝1， an＝ Sn－Sn－1n≥2.
即学即练 设数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2，则 a8 的值为( A．15 C．49 B．16 D．64 )
[ 答案]
[解析]
A
解法一：S8＝82＝64，S7＝72＝49，
a8＝S8－S7＝64－49＝15. 解法二：∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. ∵a1＝1 也适合 an＝2n－1，∴an＝2n－1. ∴a8＝2×8－1＝15.
解：由题意知S10 = 310，S20 = 1 220, n（n - 1） 将它们代入公式Sn = na1 + d， 2 10a1 + 45d = 310， 得到 20a1 + 190d = 1 220.
解这个关于a1与d的方程组，得到 a1 = 4，d = 6, n（n - 1） 所以Sn = 4n + ×6 = 3n2 + n. 2
2
+得：
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+„+(an+a1).
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=„=an+a1，所以式可化为： 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ „ +(a1+an) = n(a1+an).
2.根据下列条件，求相应的等差数列an 的前n项和S n . (1)a1 5, a10 95, n 10.
10× (5 + 95) 解：S10 = = 500. 2 (2)a1 100, d 2, n 50. 50× （50 - 1) 解：S50 = 50×100 + × (-2)= 2 550. 2 (3)a1 14.5, d 0.7, an 32. 26× (14.5 +32) 32 - 14.5 S26 = = 604.5. 解：n = + 1 = 26, 2 0.7
B.-4 C.-2 D.2
分析：利用等差数列的前n项和公式及通项公式求
出首项及公差.
解析：选A.由
8 7 S8 4a3 8a1 d 4 (a1 2d ),由a7 2 a1 6d 2 2
联立解得
a1 10, d 2 ，所以
.
a9 a1 8d 10 16 6
可知，当n > 1时， an = Sn - Sn-1 1 1 1 2 = n + n -[（n - 1）+ （n - 1）]= 2n - . 2 2 2
2
当n = 1时， 1 3 a1 = S1 = 1 + ×1 = ，也满足上式. 2 2 1 所以数列an 的通项公式为an = 2n - . 2 3 由此可知，数列an 是一个首项为 ，公差为2的等差数列. 2
1.（2016·全国高考）已知等差数列 ｛an｝前9项的 和为27， ，则 （ ） （A）100（B）99（C）98（D）97 分析：利用等差数列的前n项和公式及通项公式求
出首项及公差，选c.
1.（2013·安徽高考）设Sn为等差数列｛an｝的前n 项和， S A.-6
8
4a3 , a7 2 ，则a9=（ ）
费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每
年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001
年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的
总投入是多少？
解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校 通” 工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建 其中，
立一个等差数列{an} ，表示从2001年起各年投入的资金，
技巧方法： 此例题的目的是建立等差数列前n 项和与方程组之间的联系.已知几 个量，通过解方程组，得出其余的 未知量.
让我们归 纳一下！
1 例3 已知数列a百度文库 的前n项和为Sn n n，求这个数 2 列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首
2
项与公差分别是什么？
解：根据Sn = a1 + a2 + … + an-1 + an与 Sn-1 = a1 + a2 + … + an-1 （n > 1），
1.等差数列前n项和Sn公式的推导； 2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用.
n( a1 a n ) n( n 1) Sn ,S n na1 d. 2 2
说明：两个求和公式的使用——知三求一.
课后作业：
1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2＝3，a6＝11， 求 S7.
[ 解析]
7a1＋a7 7a2＋a6 73＋11 方法一：S7＝ ＝ ＝ ＝49. 2 2 2
a1＝1， 解得 d＝2，
a2＝a1＋d＝3， 方法二： a6＝a1＋5d＝11.
则 a7＝1＋6×2
＝13， 7a1＋a7 71＋13 ∴S7＝ ＝ ＝49. 2 2
多少个 (a ? 共有n个 (a 1+a n) 1+a n)
n(a1 an ) Sn . 因此， 2
这种求和的 方法叫倒序 相加法！
探究点2：等差数列的前n项和公式的其他形式
（a1 an ) n Sn 2
（n 1) n d Sn na1 2
an a1 ( n1) d
n≤3 n≥4
1+2+3+„+98+99+100=？ 高斯10岁时曾很快算出这一结 果，如何算的呢？ 高斯
(1777—1855）
德国著名数学家
1+2+3+· · · +100=?
带着这个问题，我们进入本节课的学习！
探究点1：等差数列的前n项和公式 下面来看1+2+3+„+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +„+98+99+100 作 + + + + + + + 加 反序S100=100+99+98+„+ 3+ 2 + 1 法 // // // // // \\ \\ 2S100=101+101+101+„+101+101+101 100个 101 ? 多少个 101
2.3 等差数列的前n项和
1.通过教学使学生理解等差数列的前n项和公式的
推导过程，并能用公式解决简单的问题.(重点）
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊 到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式 的运用体会方程的思想．（难点）
数列的前 n 项和 一般地， 我们称 a1＋a2＋a3＋„＋an 为数列{an}的前 n 项和， 用 Sn 表示． (1)记法：Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an. (2)an 与 Sn 的关系：若数列的前 n 项和为 Sn，则通项公式
2
技巧方法： 这个例题给出了等差数列通项公式的另一个求法. （ , S 1 n=1） 已知前n项和S n，可求出通项an （ . 1 n 2） S n S n 这种用数列S n的公式来确定an的方法对于任何数列 都是可行的，而且还要注意a1不一定满足由 S n S n1 an 求出的通项表达式，所以最后要验证 首项a1是否满足已求出的an .
a1 = 500,d = 50.
那么，到2010年（n = 10），投入的资金总额为 10× （10 - 1） S10 = 10×500 + ×50 = 7 250（万元）. 2
答：从2001 2010年，该市在“校校通”工程中的总 投入是7 250万元.
本题的设计意图： 培养学生的阅读能力，引导学生从中提取 有效信息.通过对生活实际问题的解决，让学生 体会到数学源于生活，又服务于生活，提高他们
2 S An Bn n
d d A , B a1 2 2
例1
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小
学实施 “校校通”工程的通知》.某市据此提出 了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用 10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园 网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经
2. 已知{an}为等差数列，an＝10－3n，求|a1|＋|a2|＋„＋|an|.
[ 解析]
由题意， 知 a1＝10－3×1＝7， 由于 an 有正也有负，
10 当 an＝10－3n≥0 时，n≤ 3 ， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋„＋|an|
a1＋a2＋„＋an ＝ a1＋a2＋a3－a4－a5－„－an
1 所以S100= (1+100)×100 =5 050 2
总 ？ 和
首 尾 项 1 ？ ？ ？ ( ＋ ） 项 项 数 2
n(a1 an ) Sn 2
这就是等差 数列前n项和 的公式！
以下证明{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则
n(a1 an ) Sn . 2 证：Sn= a1+ a2 + a3 + „ +an-2+an-1+an, 即S = an+an-1+an-2+„+ a3+ a + a1,
学习数学的兴趣，同时又提高学生运用数学知识
解决实际问题的能力，促进了理论与实践的结合，
对新知进行巩固，使教师及时收到教学反馈.
例2
已知一个等差数列 an 前10项的和是310，前20
项的和是1 220.由这些条件能确定这个等差数列的前n
项和的公式吗？
分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可 得到两个关于 a1与d的二元一次方程，由此可以求得 a1 与d，从而得到所求前n项和的公式.
S1n＝1， an＝ Sn－Sn－1n≥2.
即学即练 设数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2，则 a8 的值为( A．15 C．49 B．16 D．64 )
[ 答案]
[解析]
A
解法一：S8＝82＝64，S7＝72＝49，
a8＝S8－S7＝64－49＝15. 解法二：∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. ∵a1＝1 也适合 an＝2n－1，∴an＝2n－1. ∴a8＝2×8－1＝15.
解：由题意知S10 = 310，S20 = 1 220, n（n - 1） 将它们代入公式Sn = na1 + d， 2 10a1 + 45d = 310， 得到 20a1 + 190d = 1 220.
解这个关于a1与d的方程组，得到 a1 = 4，d = 6, n（n - 1） 所以Sn = 4n + ×6 = 3n2 + n. 2