高等数学教学课件：v-11-2

}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列{sn}有界.
（一）.比较审敛法
高等数学
形式1：设 un和vn均为正项级数，
n1
n1
且un vn (n 1, 2,),若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1
反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn un vn ,
lim
n
un
0.
发散
高等数学
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
例 级数 1 发散,
n1 n
级数
1
n2
n1
收敛,
(
1)
高等数学
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
பைடு நூலகம்
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
n1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn n ,
即部分和数列有界 un收敛.
n1
高等数学
(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
则 n sn 不是有界数列
vn发散. 定理证毕.
n1
推论: 若 un 收敛(发散)且vn kun (n N )(kun vn ),
n1
则 vn 收敛(发散).
n1
比较审敛法的不便: 须有可比较的级数.
高等数学
例1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.(
p
0)
解
设 p 1,
1 np
1, n
则P 级数发散.
y
设 p 1,由图可知
1 np
n dx x n1 p
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
y
1 xp
vn
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
推论： 设 un 为正项级数,
n1
如果
lim
n
nun
l0
(或lim n
nun
),
则级数 un 发散;
n1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n1
高等数学
例3 判定下列级数的敛散性:
高等数学
(1) sin 1 ;
n1 n
1
(2) n1 3n n ;
解
(1)
lim
n
n
sin
1 n
lim
n
sin 1
1 n
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim 3n n n 1 3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
高等数学
例4
设a1
2,an1
1 2
(an
1 an
)(n
1,2,), 证明
(1) lim an存在;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
高等数学
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
2 vn
2
即
l 2 vn
un
3l 2
第二节 常数项级数的审敛法
高等数学
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法
高等数学
1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件:
由于s1 s2 sn ，所以
部分和数列 定理
{
sn
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1 发散,
n1 n 1
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
高等数学
形式 2（比较审敛法的极限形式）:
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
设
un
是正项级数,如果
lim
n
un1 un
( 或 )
n1
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 , un
即 un1 (n N )
un
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即 un1 (n N )
un
当 1时, 取 1 ,
使r 1,
,
uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 ,
uN m
r m1uN 1,
而级数
r
u m1 N
1收敛,
m1
uNm uu收敛, 收敛
m1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un ,
an1
n
n1
n
记Sn
k 1
(ak
ak1 )
a1an1 ,
因lim an存在，故lim Sn存在, 所以级数
n
n
(an an1 )收敛,因此由比较审敛法知，
n1
级数 (
n1
an an1
1)收敛.
高等数学
(二).比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
D’Alembert, 1717--1783, 法国。
n
(
2)级
数(
n1
an an1
1)收敛.
证明（1）因an1
1 2
(an
1 an
)
an
1 an
1,
且an1
an
1 2
(an
1 an
)
an
1 a2n
2an
0,
故数列{an }递减且有下界，所以lim an存在. n
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（2） 由（1）知
a a . 0 an 1 an an1
an1
高等数学
达朗贝尔是十八世纪少数几个把收敛级数和发散 级数分开的数学家之一，并且他还提出了一种判别级数 绝对收敛的方法--达朗贝尔判别法，即现在还使用的 比值判别法；他同时是三角级数理论的奠基人。达朗 贝尔也为偏微分方程的出现做出了巨大的贡献。1746年 他发表了论文《张紧的弦振动是形成的曲线研究》， 在这篇论文里，他首先提出了波动方程，并于1750年 证明了它们的函数关系。1763年，他进一步讨论了 不均匀弦的振动，提出广义的波动方程。
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2
n1
3, 2
lim un1 u n
n
lim
n
an
不存在.
高等数学
D’Alembert, 1717--1783, 法国。
高等数学
数学是达朗贝尔研究的主要课题，他是 数学分析的主要开拓者。达朗贝尔为极限作 了较好的定义，但他没有把这种表达公式化。 波义尔做出这样的评价：达朗贝尔没有逃脱 传统的几何方法的影响，不可能把极限用严 格形式阐述；但他是当时几乎唯一一位把微 分看成是函数极限的数学家。
(
p
1)
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
o 1 234
x
高等数学
1
n dx 1 xp
1
p
1
1
(1
1 n p1
)
1
1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
高等数学
例2 证明级数
1 是发散的.