极限函数.ppt

lim (1 x) 1 lim e ln(1 x) 1
x0
x
x0
x
e ln(1 x) 1 ln(1 x)
lim
x0 ln(1 x)
x
公式的综合应用
例8
lim( x e x )1/ x
lim 1 ln[1( xe x 1)]
e x0 x
e2
x0
lim(cos x e x
1)1/ x2
x0
n 2n
3
例6 求 lim(3 2x)x1 x1 3
解：原式 lim[1 2(1 x)]x1 x1
1
lim[(1 2) 2 ]6 e 6
0
例7 求
sin 1
lim
x
x ln(1 x) ln x
sin 1
解：原式
lim
x
ln(1
x 1
)
x
x sin 1
lim
x
x
ln(1
x 1
)
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD,
于是有 sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1,
x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin 2 x 2( x)2 x2 , 22 2
lim (1 1 )x lim (1 1)t
x x
t t
lim (1 1 )t t t 1
lim (1 1 )t 1(1 t t 1
1) t 1
e.
lim (1 1 )x e x x
令t 1, x
lim(1
1
x)x
lim(1
1)t
e.
x0
t
t
1
lim(1 x) x e
2、函数极限运算法则
定理4 若 lim f ( x), lim g( x) 均存在，则
x x0
x x0
1) lim [ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x)
x x0
x x0
x x0
2) lim [ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x)
（a0≠0，b0≠0，m,n>0).
解： 1）m=n,
原式
a0 lim x b0
a1 b1
1
x 1
x
an bn
1
xn 1
xn
a0 b0
2）m>n,
原式
lim
x
a0
x
nm
b0
axn1m
b1
1 x
an
bm
1 xm
x
m
0
3）m<n，原式=∞.
例
求
lim
x
2x3 7x3
n1
x
n
而 lim (1 1 )n1 lim (1 1 )n lim (1 1 ) e,
n n
n n n n
lim (1 1 )n n n 1
由夹挤准则
lim (1
n
1 )n1 lim (1
n1
n
n
1
)1 1
e,
lim (1 x
1)x x
e.
用变量代换可求出 lim (1 1 )x e 令 t x, x x
e
lim (cos
x0
xe x2
x
1)
e1/2
x0
0 ln(1 4 / x) ln(1 1 / x)
lim x[ln(1 4 / x) ln(1 1 / x)] lim
5
x
x
1/ x
23 1 3
7. 3
x2
例2
求
lim
x1
x
2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x 2 2 x 3) 0, x1 又 lim(4x 1) 3 0, x1
lim x2 2x 3 0 0. x1 4x 1 3
商的法则不能用
lim 4x 1 . x1 x 2 2 x 3
. 5
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x3 1 x2 3x
5
lim x 3 lim 1
x2
x2
lim( x 2 3x 5)
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0n
a1
x n1 0
an
f ( x0 ).
2. 设
f (x)
P( Q(
x x
) )
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x)
原式 lim u lim 1 1 u0 sin u u0 sin u / u
(2) lim(1 1 )x e
x
x
xn
(1
1 )n 单调递增, n
且 lim (1
n
1 )n n
e
设 n x n 1,
则 (1 1 )n (1 1 )x (1 1 )n1, x与n同时趋向+
lim x 2 x 2 2 2 x2 x 2 x 7 3 3
例4
求
lim
x1
(
x
3 3
1
1) x1
(型)
解:
原式
lim
x1
3
(x2 (x3
x 1)
1)
lim
x1
(
x (x
2)(x 3 1)
1)
lim
x1
(x x2
x
2) 1
1
例5
lim
x
a0 xn axn1 an b0 xm b1 xm1 bm
x
x2 1),
lim (1 x)n 1 , n N .
x0
x
解：原式
5(1
lim 2 x0 3 1
x) (1 x 3 1
x)
x
lim
x0
5 2
3（1 x)3 3 (1 3 1 x 3 1 x
x)3
5（3 1 x 3 1 x) (3 (1 x)2 3 1 x 3 1 x 3 (1 x)2
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
x0
lim cos x 1, 又 lim1 1, lim sin x 1.
x0
x0
x0 x
例3
1)
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 lim x0
2 x2
1
lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
2
x x0
x x0
x x0
证明: lim f ( x) g( x) lim e g( x)ln f ( x)
x x0
x x0
令u g( x)ln f ( x)
lim e u e Bln A AB .
uB ln A
极限存在准则、两个重要极限
极限存在准则 P36 两个重要极限
1、极限存在准则
数列极限的夹挤准则
x x0
x x0
x x0
lim kf ( x) k lim f ( x)
x x0
x x0
（k为常数）
3) 当 lim g( x) 0 时， x x0
f (x)
lim
lim f ( x) / lim g( x).
x x0 g( x) x x0
x x0
3、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 和准则 称为夹挤准则.
C
2、两个重要极限
B
(1) lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
x
sin 1 x
1
lim x
x
ln(1 1 )x
x
1 1 ln e
其他几个重要极限:
lim loga (1
x0
x
x)
lim
x0
loga
(1
x)1/ x
1/ lna
ln(1 x)
lim
1
x0 x
lim a x 1 ln a (令 : u a x 1) x0 x
lim e x 1 1 x0 x
极限
极限的概念 极限运算法则 求极限方法举例
1、极限的定义
无穷小量：是指绝对值不断增大的量的倒数
lim 0
xx0
变量y在某个变化过程中以常数A为极限：是指在这个变化过程中 变量y可以表示成常数A与无穷小的和的形式
lim f (x) A f (x) A , (其中lim 0)
xx0
xx0
x0
例4 求 lim (1 1 )x . x x
解 原式 lim [(1 1 ) x ]1
x x
lim x (1
1 1
) x
1. e
x
例5 求 lim(3 x)2x .
x 2 x
解
原式 lim[(1 1 ) x2 ]2 (1 1 )4
x
x2
x2
e2.
1
又 lim (1 xe x ) x , lim (1 1 )5n .
lim f [( x)] lim f (u) A.
x x0
ul
说明:
1. lim f [( x)] lim f (u) A 又称变量代换法
x x0
令u( x) ul
2. 幂指函数的极限运算
设 lim f ( x) A, lim g( x) B, 则 lim f ( x)g( x) AB .
lim 2
x0
3 1 x 3 1 x
15 2
3、复合函数极限运算法则
定理 设函数y=f(u)及u=(x)构成复合函数y= f [(x)], 在x0某个去心邻域, 若
lim ( x) l , lim f (u) A
x x0
ul
且(x) l , 则复合函数y= f [(x)]在 xx0时 的极限为
3x2 4x2
5 1
.
解
x
时,
分子,分母的极限都是无穷大.(
型
)
先用x 3去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
例
lim
x5
""
lim
1 x
5 x2
x 2x 2 9
x
2
9 x2
lim (
x
1 x
5 x2
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
0
lim (2
x
9 x2
)
2
又例
lim
2x2
9
""
lim
2
9 x2
x x 5
x
1 x
5 x2
由上例知，lim x 5 0 lim 2x 2 9
x 2x 2 9
x x 5
练习
求 lim
5x
,
x0 3 1 x 3 1 x
lim ( x2 x
准则Ⅰ 如果数列xn , yn 及zn 满足下列条件:
(1) yn xn zn (n 1,2,3 )
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
可以推广到函数的极限.
准则Ⅰ′
如果当
x
U
0
(
x 0
)
(或
x
M )时,有
(1) g( x) f ( x) h( x),
x
1
sin lim(
2
)2
2 x0 x
1 2
12
1. 2
2
又 2) lim x , 3) lim arcsin x
x0 tan 5x
x0 x
2) 原式 lim x cos5x 1 lim 5x lim cos5x 1
x0 sin 5x
5 x0 sin 5 x x0
5
3) 设 u=arcsinx x→0时u→0,
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
P(x0 ) Q( x0 )
f ( x0 ).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例3
求
lim
x 1
x
2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去趋向于零的因子x 1后再求极限.
x2 1
( x 1)( x 1)
lim
x1
x2
2x
3
lim
x1
(x
3)( x
1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
又例 : 求 lim x 7 3 ( 0 型 )
x2 x 2 2
0
解：原式 lim ( x 7 3)( x 7 3) x 2 2 x2 ( x 2 2)( x 2 2) x 7 3