计量经济学 时间序列讲解
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• 对于具有季节性波动的时间序列，不管是确定 性趋势还是随机趋势都要先消除季节波动再进 行预测。具体见数据平滑与季节性调整。
一般的p阶自回归过程AR(p)是
Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p + t
(*)
(1)如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则称(*) 式为一纯AR(p)过程（pure AR(p) process），记为
(2) (X i X )2 / n 依概率收敛： Plim((X i X )2 / n) Q n
2 数据非平稳与“虚假回归”问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)：
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p +t (2)如果t不是一个白噪声，通常认为它是一个q 阶的移动平均（moving average）过程MA(q)：
t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 该式给出了 一个纯MA(q)过程（pure MA(p) process）。
在现实经济生活中： 情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
二、时间序列数据的平稳性
时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列 数据的平稳性问题。
假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …） 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果 满足下列条件：
模型 1：
m
X t X t1 i X ti t i 1
（*）
模型 2：
m
X t X t1 i X ti t i 1
（**）
模型 3：
m
X t t X t 1 i X t i t i 1
另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋 势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随 机误差项问题。
为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和 Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（Augment DickeyFuller ）检验。
ADF检验是通过下面三个模型完成的：
检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3 进行检验时，有各自相应的临界值。
五、单整、趋势平稳与差分平稳随机 过程
⒈单整
•所谓单整指一个可通过差分而稳定的数列，可以理解为 通过差分整合起来（平稳）。
•如果一个序列通过D-1次差分不是平稳序列，而D次时成 为平稳序列，则称该序列D阶平稳，也称为D阶单整 （integrated of D ),称为I（D）。
•如果一个序列经过不论经过多少次差分都无法成为一个 平稳序列，则称非单整序列。
•随机游走序列
•
Xt=Xt-1+t
•经差分后等价地变形为
•
Xt=t
• 由于t是一个白噪声，因此差分后的序列{Xt}是平稳的。
平稳
• 差分平稳：大多数序列可以差分实现平 稳；
• 趋势平稳：如果非平稳是时间趋势导致 的，则可以通过消除趋势来取得平稳。
对应于（**）式，则是>0或 =0。
• 因此，针对式 Xt=+Xt-1+t 我们关心的检验为：零假设 H0：=0。 备择假设 H1：<0
上述检验可通过OLS法下的t检验完成。
然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样 本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。
Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量 服从的分布（这时的t统计量称为统计量），即DF 分布（见表9.1.3）。
注意：序列类型与预测方法
• 对于有确定性趋势的时间序列可以通过建立确 定性趋势模型进行预测，见第二章非线性模型 内容。本章不讨论。
• 对于提取过确定性趋势的剩余随机时间序列或 纯粹的随机时间序列可以通过建立随机时间序 列进行预测。
• 如果该随机序列平稳，则用ARMA模型；如果 该序列非平稳，则用ARIMA模型。
第二节 随机时间序列分析模型
一、时间序列模型的基本概念 二、随机时间序列模型的平稳性判断 三、随机时间序列模型的识别 四、随机时间序列模型的估计与预测 五、随机时间序列模型的检验
一、时间序列模型的基本概念
1、时间序列模型的基本概念
随机时间序列模型（time series modeling）是指仅用它的 过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为
2、ADF检验
进一步的问题：在上述使用
Xt=+Xt-1+t 对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由 具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。
但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程 生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行 估计均会表现出随机误差项出现自相关（autocorrelation）， 导致DF检验无效。此时需将因变量自回归项加入模型。
由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值 的偏态分布。
• 因此，可通过OLS法估计
Xt=+Xt-1+t 并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著 性水平下的临界值比较： = -1
如果：t<临界值，则拒绝零假设H0： =0， 认为时间序列不存在单位根，是平稳的。(注 意：此时运用的是T左尾单侧检验，所以与正 常的T检验判断相反！）
（2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间 的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为 来预测未来。
这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。
二、平稳性判断
• 如果一个序列进行相关性分析时，其相 关系数很快趁向于零，那么该序列就是 平稳的；如果其自相关系数明显拖尾， 则是非平稳的。但并不完全准确。
自相关拖尾表明数据是非平稳的
截尾表示序列是平稳的
ARMA结构
• ar(1) ar(2) ma(1) ma(2) ma(3)
四、随机时间序列模型的估计
模型 识别
内容回顾：
• 什么是虚拟变量？ • 它有什么作用？ • 引入虚拟变量的方式有几种？各在什么
情况下引入？ • CHOW（邹）检验需要首先判断出什么
点？如何操作？其检验的原理是什么？ CHOW检验的自由度如何确定？
第四章 时间序列
第一节 时间序列的平稳性及其检验 第二节 时间序列模型的识别、估计、预测 第三节 协整分析与误差修正模型
该序列常被称为是一个白噪声（white noise）。 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由
定义,一个白噪声序列是平稳的。
三、平稳性检验的图示判断
• 给出一个随机时间序列，首先可通过该 序列的时间路径图来粗略地判断它是否 是平稳的。
• 一个平稳的时间序列在图形上往往表现 出一种围绕其均值不断波动的过程；
将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动 平均（autoregressive moving average）过程ARБайду номын сангаасA（p,q）：
Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q
该式表明：
（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过 程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随 机扰动项来解释。
• 而非平稳序列则往往表现出在不同的时 间段具有不同的均值（如持续上升或持 续下降）。
Xt
Xt
t
t
(a)
(b)
图 9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图
四、平稳性的单位根检验
序列类型
• 白噪声： • 随机游走 • 带漂移项的随机游走 • 趋势平稳过程 • 确定性趋势非平稳
xt t xt xt1 t , when 1 xt xt1 t xt 0 1t t xt 0 1t xt1 t
• 可以直接用ADF进行进行更为准确地判 断。
GDP的Q检验
ADF判断
三、随机时间序列模型的识别
所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一 个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随 机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯 AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。
所使用的工具主要是时间序列的自相关函数 （autocorrelation function，ACF）及偏自相关函 数（partial autocorrelation function， PACF ）。
对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外， 运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的。
单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍 应用的一种检验方法。
1、DF检验
我们已知道，随机游走序列
Xt=Xt-1+t 是非平稳的，其中t是白噪声。 而该序列可看成是随机模型
Xt=Xt-1+t 中参数=1时的情形。
也就是说，我们对式
Xt=Xt-1+t
（*）
做回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt有
一个单位根。
• （*）式可变形式成差分形式：
Xt=( -1)Xt-1+ t
=Xt-1+ t
(**)
检 验 （ * ） 式 是 否 存 在 单 位 根 =1 ， 也 可 通 过 （**）式判断是否有 =0(若等于零就存在单位 根,如果小于零则不存在单位根,即数列是平稳的 )。
1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数；
2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数；
3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数；
平稳列就是一列水平的数据,有趋势就不是平稳
例：一个最简单的随机时间序列是一具有零均值 同方差的独立分布序列：
Xt=t ， t~N(0,2)
一般地:
• 检验一个时间序列Xt的平稳性，可通过检验 带有截距项的一阶自回归模型
Xt=+Xt-1+t
（*）
中的参数是否小于1。
或者：检验其等价变形式
Xt=+Xt-1+t
（**）
中的参数是否小于0（为什么不检验=1？） 。
注：请证明，（*）式中的参数>1或=1时，时间序
列是非平稳的;
ARMA结构规则
• 当自相关系数截尾时，有n个自相关系数大于 临界时，就会有n个MA滞后项；
• 当偏自相关系数截尾时，有n个偏自相关系数 大于临界时，就会有n个AR滞后项；
• 当自相关系数拖尾时，无MA滞后项；当偏自 相关系数拖尾时，无AR滞后项。
• 拖尾：相关系数逐渐减少现象； • 截尾：相关系数突然减少现象。
Xt=F(Xt-1, Xt-2, …, t) 建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题： (1)模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期 (3)随机扰动项的结构 例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（ t =t），模型将是一个1阶自回归过程AR(1)：
Xt=Xt-1+ t 这里， t特指一白噪声。
一、问题的引出：非平稳变量与经典 回归模型
1.经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。 • 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致
性”要求被破怀。 • 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变
量，只能有一个均值。因变量无此限制。 • 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0
（***）
• 模型3 中的t是时间变量，代表了时间序列随时 间变化的某种趋势（如果有的话）。
• 检验的假设都是：针对H1: <0,检验 H0：=0， 即存在一单位根。模型1与另两模型的差别在于 是否包含有常数项和趋势项。
• 实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。
何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根， 为平稳序列，何时检验停止(只要证明<0则无需再 证明) 。否则，就要继续检验，直到检验完模型1 为止。
一般的p阶自回归过程AR(p)是
Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p + t
(*)
(1)如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则称(*) 式为一纯AR(p)过程（pure AR(p) process），记为
(2) (X i X )2 / n 依概率收敛： Plim((X i X )2 / n) Q n
2 数据非平稳与“虚假回归”问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)：
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p +t (2)如果t不是一个白噪声，通常认为它是一个q 阶的移动平均（moving average）过程MA(q)：
t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 该式给出了 一个纯MA(q)过程（pure MA(p) process）。
在现实经济生活中： 情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
二、时间序列数据的平稳性
时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列 数据的平稳性问题。
假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …） 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果 满足下列条件：
模型 1：
m
X t X t1 i X ti t i 1
（*）
模型 2：
m
X t X t1 i X ti t i 1
（**）
模型 3：
m
X t t X t 1 i X t i t i 1
另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋 势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随 机误差项问题。
为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和 Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（Augment DickeyFuller ）检验。
ADF检验是通过下面三个模型完成的：
检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3 进行检验时，有各自相应的临界值。
五、单整、趋势平稳与差分平稳随机 过程
⒈单整
•所谓单整指一个可通过差分而稳定的数列，可以理解为 通过差分整合起来（平稳）。
•如果一个序列通过D-1次差分不是平稳序列，而D次时成 为平稳序列，则称该序列D阶平稳，也称为D阶单整 （integrated of D ),称为I（D）。
•如果一个序列经过不论经过多少次差分都无法成为一个 平稳序列，则称非单整序列。
•随机游走序列
•
Xt=Xt-1+t
•经差分后等价地变形为
•
Xt=t
• 由于t是一个白噪声，因此差分后的序列{Xt}是平稳的。
平稳
• 差分平稳：大多数序列可以差分实现平 稳；
• 趋势平稳：如果非平稳是时间趋势导致 的，则可以通过消除趋势来取得平稳。
对应于（**）式，则是>0或 =0。
• 因此，针对式 Xt=+Xt-1+t 我们关心的检验为：零假设 H0：=0。 备择假设 H1：<0
上述检验可通过OLS法下的t检验完成。
然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样 本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。
Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量 服从的分布（这时的t统计量称为统计量），即DF 分布（见表9.1.3）。
注意：序列类型与预测方法
• 对于有确定性趋势的时间序列可以通过建立确 定性趋势模型进行预测，见第二章非线性模型 内容。本章不讨论。
• 对于提取过确定性趋势的剩余随机时间序列或 纯粹的随机时间序列可以通过建立随机时间序 列进行预测。
• 如果该随机序列平稳，则用ARMA模型；如果 该序列非平稳，则用ARIMA模型。
第二节 随机时间序列分析模型
一、时间序列模型的基本概念 二、随机时间序列模型的平稳性判断 三、随机时间序列模型的识别 四、随机时间序列模型的估计与预测 五、随机时间序列模型的检验
一、时间序列模型的基本概念
1、时间序列模型的基本概念
随机时间序列模型（time series modeling）是指仅用它的 过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为
2、ADF检验
进一步的问题：在上述使用
Xt=+Xt-1+t 对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由 具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。
但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程 生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行 估计均会表现出随机误差项出现自相关（autocorrelation）， 导致DF检验无效。此时需将因变量自回归项加入模型。
由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值 的偏态分布。
• 因此，可通过OLS法估计
Xt=+Xt-1+t 并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著 性水平下的临界值比较： = -1
如果：t<临界值，则拒绝零假设H0： =0， 认为时间序列不存在单位根，是平稳的。(注 意：此时运用的是T左尾单侧检验，所以与正 常的T检验判断相反！）
（2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间 的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为 来预测未来。
这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。
二、平稳性判断
• 如果一个序列进行相关性分析时，其相 关系数很快趁向于零，那么该序列就是 平稳的；如果其自相关系数明显拖尾， 则是非平稳的。但并不完全准确。
自相关拖尾表明数据是非平稳的
截尾表示序列是平稳的
ARMA结构
• ar(1) ar(2) ma(1) ma(2) ma(3)
四、随机时间序列模型的估计
模型 识别
内容回顾：
• 什么是虚拟变量？ • 它有什么作用？ • 引入虚拟变量的方式有几种？各在什么
情况下引入？ • CHOW（邹）检验需要首先判断出什么
点？如何操作？其检验的原理是什么？ CHOW检验的自由度如何确定？
第四章 时间序列
第一节 时间序列的平稳性及其检验 第二节 时间序列模型的识别、估计、预测 第三节 协整分析与误差修正模型
该序列常被称为是一个白噪声（white noise）。 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由
定义,一个白噪声序列是平稳的。
三、平稳性检验的图示判断
• 给出一个随机时间序列，首先可通过该 序列的时间路径图来粗略地判断它是否 是平稳的。
• 一个平稳的时间序列在图形上往往表现 出一种围绕其均值不断波动的过程；
将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动 平均（autoregressive moving average）过程ARБайду номын сангаасA（p,q）：
Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q
该式表明：
（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过 程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随 机扰动项来解释。
• 而非平稳序列则往往表现出在不同的时 间段具有不同的均值（如持续上升或持 续下降）。
Xt
Xt
t
t
(a)
(b)
图 9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图
四、平稳性的单位根检验
序列类型
• 白噪声： • 随机游走 • 带漂移项的随机游走 • 趋势平稳过程 • 确定性趋势非平稳
xt t xt xt1 t , when 1 xt xt1 t xt 0 1t t xt 0 1t xt1 t
• 可以直接用ADF进行进行更为准确地判 断。
GDP的Q检验
ADF判断
三、随机时间序列模型的识别
所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一 个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随 机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯 AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。
所使用的工具主要是时间序列的自相关函数 （autocorrelation function，ACF）及偏自相关函 数（partial autocorrelation function， PACF ）。
对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外， 运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的。
单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍 应用的一种检验方法。
1、DF检验
我们已知道，随机游走序列
Xt=Xt-1+t 是非平稳的，其中t是白噪声。 而该序列可看成是随机模型
Xt=Xt-1+t 中参数=1时的情形。
也就是说，我们对式
Xt=Xt-1+t
（*）
做回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt有
一个单位根。
• （*）式可变形式成差分形式：
Xt=( -1)Xt-1+ t
=Xt-1+ t
(**)
检 验 （ * ） 式 是 否 存 在 单 位 根 =1 ， 也 可 通 过 （**）式判断是否有 =0(若等于零就存在单位 根,如果小于零则不存在单位根,即数列是平稳的 )。
1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数；
2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数；
3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数；
平稳列就是一列水平的数据,有趋势就不是平稳
例：一个最简单的随机时间序列是一具有零均值 同方差的独立分布序列：
Xt=t ， t~N(0,2)
一般地:
• 检验一个时间序列Xt的平稳性，可通过检验 带有截距项的一阶自回归模型
Xt=+Xt-1+t
（*）
中的参数是否小于1。
或者：检验其等价变形式
Xt=+Xt-1+t
（**）
中的参数是否小于0（为什么不检验=1？） 。
注：请证明，（*）式中的参数>1或=1时，时间序
列是非平稳的;
ARMA结构规则
• 当自相关系数截尾时，有n个自相关系数大于 临界时，就会有n个MA滞后项；
• 当偏自相关系数截尾时，有n个偏自相关系数 大于临界时，就会有n个AR滞后项；
• 当自相关系数拖尾时，无MA滞后项；当偏自 相关系数拖尾时，无AR滞后项。
• 拖尾：相关系数逐渐减少现象； • 截尾：相关系数突然减少现象。
Xt=F(Xt-1, Xt-2, …, t) 建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题： (1)模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期 (3)随机扰动项的结构 例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（ t =t），模型将是一个1阶自回归过程AR(1)：
Xt=Xt-1+ t 这里， t特指一白噪声。
一、问题的引出：非平稳变量与经典 回归模型
1.经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。 • 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致
性”要求被破怀。 • 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变
量，只能有一个均值。因变量无此限制。 • 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0
（***）
• 模型3 中的t是时间变量，代表了时间序列随时 间变化的某种趋势（如果有的话）。
• 检验的假设都是：针对H1: <0,检验 H0：=0， 即存在一单位根。模型1与另两模型的差别在于 是否包含有常数项和趋势项。
• 实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。
何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根， 为平稳序列，何时检验停止(只要证明<0则无需再 证明) 。否则，就要继续检验，直到检验完模型1 为止。