统计学复习第3章+综合指标

二、全距
R
1. 全距是总体各单位标志值最大值和最小值之差, 即：R Xmax -Xmin 2. 全距的特点
① 优点： 计算方便，易于理解。 ② 缺点： 全距只考虑数列两端数值差异，它是测 定标志变动度的一种粗略方法，不能全面反映总 体各单位标志的变异程度。
三、四分位差 Q.D. 1.概念： 将总体各单位的标志值按大小顺序排列，
根据卡尔 皮尔逊经验公式，还可以推算出： M0 3Me 2 X Me X 1 ( M0 2 X ) 3
1 (3 M e M 0 ) 2
八、平均指标的运用原则
1.平均指标只能适用于同质总体。 2.用组平均数补充说明总平均数。 3.用分配数列补充说明平均数
第四节 标志变动度
三、正确运用相对指标的原则
1.注意二个对比指标的可比性。
经济内容有内在联系，总体范围以及指标口径 一致，计算方法、计算价格可比
2.相对指标要和总量指标结合起来运用。
3.多种相对数结合运用 4.在比较二个相对数时，是否适宜相除再求一 个相对数，应视情况而定。若除出来有实际意 义，则除；若不宜相除，只宜相减求差数，用 百分点表示之。(百分点 —— 即百分比中相当 于百分之一的单位)
f
Me XU
式中： XL、XU fm S m 1 Sm 1 f d
2
Sm 1 fm
表示中位数所在组的下限、上限
中位数所在组的次数 中位数所在组以下的累计次数 中位数所在组以上的累计次数 总次数 中位数所在组的组距
3.中位数的特点
① 中位数也是一种位置平均数，它也不受极端值 及开口组的影响，具有稳健性。 ② 各单位标志值与中位数离差的绝对值之和是个 最小值。
它作为一种数值平均数，受所有标志值的影响；
但较之算术平均数，X h受极端值的影响要小， X h 适用范围较小。
四、几何平均数(又称“对数平均数”)
1.简单几何平均数
X G n X1 X 2 L X n n X 式中： X n 变量值 变量值个数 连乘符号
2.加权几何平均数
- 利用平均指标可以分析现象之间的依 存关系 - 利用平均指标还可以进行数量上的推 算，还可以作为论断事物的一种数量 标准或参考
4.种类
算术平均数 数值平均数 调和平均数 几何平均数
X
Xh XG Mo
Me
众数
位置平均数 中位数
二、算术平均数
1.算术平均数的基本公式
算术平均数 总体标志总量 总体单位总数
计算时要进行对数变换，即： lg X G
lg X
n
，
X G arc(lg X G )
2.加权几何平均数
XG
f1 f 2 L f n
X 1f1 X 2f 2 L X nf n X f
f
式中： f 为各变量值的次数或权数 将公式两边取对数，则为： f lg X 1 f 2 lg X 2 L f n lg X n lg X G 1 f1 f 2 L f n X G arc(lg X G )
X
Xf f
X
f f
加权算术平均数与简单算术平均数不同在于：
加权算术平均数受两因数的影响：
-
-
变量值大小的影响。 次数多少的影响。次数大的标志值对 X 影响大； 反之，影响小。
而简单算术平均数只反映变量值大小这一 因素的影响。
4.算术平均数的数学性质
① 各个变量值与算术平均数离差之和等于零 ② 各个变量值与算术平均数离差平方之和等于最小值
众数M0=3.00(元)
② 根据组距数列确定众数 ⑴ 由最多次数来确定众数所在组； ⑵ 利用比例插值法推算众数的近似值。 例
按日产量分组(千克) 60以下 60 - 70 工人人数 (人) 10 19
70 - 80
80 - 90 90-100 100-110 110以上
50
36 27 14 8
表中70-80，即众数所在组。
M0
M0
M0
若有两个次数相等的众数，则称复众数。
M0
M0
② 在单位数很少，或单位数虽多但无明显集中趋势时， 计算众数是没有意义的。 下三图无众数：
2.众数的计算方法 ① 根据单项数列确定众数；
例
某种商品的价格情况
价格 (元)
2.00 2.40 3.00 4.00 合计
销售数量 (千克)
20 60 140 80 300
即X M e M 0
如图： f
X Me M0
2. 当总体分布呈非对称状态时
(1). 如果分布右偏，则 X M e M 0
如图：f
M0
Me X
X
(2). 如果分布左偏，则 X M e M 0
如图： f
X
Me
M0
X
所以
如果 (X-M 0 ) 0 ， 则说明分布右偏(或上偏) 如果 (X-M 0 ) 0 ， 则说明分布左偏(或下偏) 如果 (X-M 0 ) 0 ， 则说明分布对称
计算众数的近似值：
下限公式： 上限公式： 公式中： X L、 X U 1 2 d 表示众数组的下限、上限； 表示众数组次数( f 2 )与下一组次数之差( f1 )； 表示众数组次数( f 2 )与上一组次数之差( f 3 )； 众数组的组距。 1 f 2 f1 2 f2 f3 M0 X L M0 XU 1 1 2 2 1 2 d d
标志总量—— 说明总体中某个标志值总和的量。
按其反映的时间状况不同可分为：
时期指标 —— 反映现象在某一时期发展过程的总
数量。(可连续计数，与时间长短有关，是累计 结果)
时点指标 —— 反映现象在某一时刻的状况。
(间断计数，与时间间隔无关，不能累计)
三、 总量指标的计算 计算原则： 1.现象的同类性。
加量、减少量等。
作用 : 总量指标能反映一个国家的基本国情和
国力，反映某部门、单位等人、财、 物的基本数据 。 总量指标是进行决策和科学管理的依据 之一 。
总量指标是计算相对指标和平均指标的来自基础，这两个指标是总量指标的派生 指标 。
二、 总量指标的分类
按其反映的内容不同可分为：
-
总体单位总量 —— 说明总体的单位数数量。
2.简单算术平均数
3.加权算术平均数
X
式中：
X n
Xf X f
式中：
X —— 算术平均数 X —— 各单位的标志值 n —— 总体单位数 ∑—— 总和符号
X —— 算术平均数
X —— 各组数值 f —— 各组数值出现的次 数(即权数)
在掌握比重权数的情况下，可以直接利用权数 系数来求加权算术平均数，其公式为：
不同种类的实物总量指标的数值不能加总.
2.明确的统计含义。
3.计量单位必须一致。
同类现象总量指标数值,其计量单位必须一 致才能加总。
根据总量指标所反映的社会经济现象 性质不同，计量单位分三种形式：
(1) 实物单位 (2) 价值单位(货币单位) (3) 劳动单位
第二节 相对指标
一、相对指标的概念 是两个有联系的绝对指标之比。 相对指标的数值表现形式： 二、相对指标的种类及其计算
即：
XM
e
min 或
XM
e
f min
③ 对某些不具有数学特点或不能用数字测定的现 象，可以用中位数求其一般水平。
七、各种平均数之间的相互关系
（一）X、 X h、 X G 三者的关系
表示为： X h X G X
(二） X、 M0 Me 三者的关系 1.当总体分布呈对称状态时，三者合而为一,
一、标志变动度的意义、作用和种类
1.概念： 标志变动度是指总体中各单位标志值差 别大小的程度，又称离散程度或离中程度。 2.作用：
① 标志变动度是评价平均数代表性的依据。 ② 标志变动度可用来反映社会生产和其他社会经济活动过程的均衡性 或协调性，以及产品质量的稳定程度。
3.种类 即测定标志变动度的方法,主要有： 全距、四分位差、平均差、标准差、离散系数 等。 全 距 R 四分位差 Q.D. 平 均 差 A.D. 标 准 差 S.D.(σ) 离散系数 Vσ
△ 众数的特点 众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中
最频繁出现的变量值，而不受各单位标志值的影响， 从而增强了对变量数列一般水平的代表性。不受极 端值和开口组数列的影响。
众数是一个不容易确定的平均指标，当分
布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则 无众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数 的位置也不好确定。
△ 算术平均数的特点
算术平均数适合用代数方法运算，因此运用 比较广泛； 易受极端变量值的影响，使 X 的代表性变小； 受极大值的影响大于受极小值的影响； 当组距数列为开口组时，由于组中点不易确 定，使 X 的代表性也不很可靠。
三、调和平均数(又称“倒数平均数”) 调和平均数是各个变量值倒数 的算术平均数的倒数。
六、中位数 Me
1.概念： 将总体中各单位标志值按大小顺序排列， 居于中间位置的那个标志值就是中位数。
2.中位数的计算方法
① 由未分组资料确定中位数 n1 中位数的位置 2
( n为总体单位数)
⑴ n为奇数时，则居于中间位置的那个标志值就是中位数。 ⑵ n为偶数时，则中间位置的两个标志值的算术平均数为中位数。
② 由单项数列确定中位数 ③ 由组距数列确定中位数
下限公式(较小制累计时用)
f
Me X L 2
S m 1 fm
164 79 d 80 2 10 80.83(千克) 36 164 49 d 90 2 10 80.83(千克) 36
上限公式(较大制累计时用)
然后将数列分为四等分，形成三个分割点(Q1、Q2、 Q3)，这三个分割点称为四分位数，(其中第二个四 分位数Q2就是数列的中位数Me)。 四分位差 Q.D.=Q3-Q1 2.计算：
① 根据未分组资料求Q.D.
n1 Q1的位置 ， 4 ( n为变量值的项数) 3( n 1) Q3的位置 4
第三章
综合指标
综合指标从它的作用和方法特点的角度可概括 为三类：
绝对指标 相对指标 平均指标
第一节 总量指标(绝对指标) 一、总量指标的概念和作用
概念：
总量指标是反映社会经济现象一定时间、地点、
条件下总的规模、水平的统计指标。
总量指标一般表示现象总量，其表现形式是绝对
数，是一个有名数。
总量指标也可表现为总量之间的绝对差数，如增
相对指标的数值表现形式： 有名数 - 人口密度：人/平方公里 - 平均每人分摊的粮食产量：千克/人
无名数，分以下几种:
-
-
系数或倍数：是将比的基数抽象化为1； 成数：是将比的基数抽象化为10； 百分数：是将比的基数抽象化为100； 千分数：是将比的基数抽象化为1000。
二、相对指标的种类及其计算 实际完成数 计划完成相对数 100% 计划数
结构相对数 总体某部分数值 总体全部数值 100%
比例相对数
总体中某部分数值 总体中另一部分数值
比较相对数
某条件下的某类指标数值 另一条件下的同类指标数值
100%
强度相对数
某一总量指标数值 另一性质不同但有一定联系的总量指标数值
报告期水平 基期水平 100%
动态相对数
f lg X f
△ 几何平均数的特点
如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法 计算 X ； 受极端值的影响较 X 和 X h小； 它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总 标志值是各单位标志值的连乘积。
G
五、众数
M0
1.概念：在总体中出现次数最多的那个标志值就是众数。 由定义可看出众数存在的条件： ① 只有总体单位数比较多，而且又有明显的集中趋势时才 存在众数。
第三节 平均指标
一、平均指标的意义和作用 1.概念 平均指标是指在同质总体内将各 单位某一数量标志的差异抽象化，用以 反映总体在具体条件下的一般水平。 2.特点 - 数量抽象性 - 集中趋势代表性
3.作用
- 比较作用
a.
b.
利用平均指标可以进行同类现象在不 同空间的对比。 利用平均指标可以进行同一总体在不 同时间上的比较。
其计算方法如下：
1 (1).先计算各个变量值的倒数，即 X
1 X (2).计算上述各个变量值倒数的算术平均数，即 n
(3).再计算这种算术平均数的的倒数，就是调和平均数, 即
Xh n
n


1 X
1 X
在加权的情况下： h X
f 1 X f
△ 调和平均数的特点
如果数列中有一标志值等于零，则无法计算 X h ；