多元二次函数凹凸性的判别方法
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i 1 i 1 r r
其中若令
1 P 1 X = 2 ， n
0 1 2 2 2 P X 1 2 r 0
i 1
所以
f (tX (1 t )Y ) tf ( X ) (1 t ) f (Y ) t (1 t ) (i i )2 ≤0
义 在
D
上 的 凸 函 数 ； 若 有 f (tX (1 t )Y ) ≤
则称函数 f ( X ) 为定义在 D 上的凹函数。 tf ( X ) (1 t ) f (Y ) ， 定理 设 n 元二次函数 f ( X ) X AX 2 X c ， 其中 A 为
Ir (1 t ) 2 ( P 1Y ) 0
所以 f ( X ) 在 D 上是凸函数。 结论 对于多元二次函数，只要求出其矩阵 A，然后判 定 A 的正定性，就可由定理知函数的凹凸性。
由于 A 是实对称矩阵，且 A 的所有顺序主子式均≥0， 所以 A 为半正定矩阵，由定理知 f ( X ) 是凹函数。
参考文献：
[1] 赵祖舜.n 元二次式的极值问题[J].数学通报,1992,(2). [2] 彭学梅.关于多元二次函数的最值问题[J].高等数学研究,2005,(3). [3] 北京大学数学系.高等代数（第二版）[M].北京:高等教育出版社,1988.
On How to Recognize Concavity and Convexity of Multiple Quadratic Function
MI Cui-lan, WANG Xin-chun
(School of Science, Hebei Polytechnic University, Hebei Tangshan 063000, China)
Abstract: The concavity and convexity of the pluralistic quadratic function is discussed with quadratic form and simple
methods are given to recognize concavity and convexity.
Key words: multiple quadratic function; concavity and convexity; sub matrix
责任编辑、校对：陈景林
- 26 -
在 D 上任取两点 X , Y D ，比较 f (tX (1 t )Y ) 和
tf ( X ) (1 t ) f (Y ) 的大小，为此先由上式求出
────────── 收稿日期：2006-03-01 作者简介：米翠兰（1963-） ，女，河北徐水人，河北理工大学理学院副教授。
- 25 -
i 1
r
1 2 1 f ( X ) X AX 2 X c ，其中 A 2 5 1 ， 1 1 2
因为
0 t 1，
t (1 t ) 0
3 ， c 7
3
2
f (tX (1 t )Y ) ≥ tf ( X ) (1 t ) f (Y )
1 1 P Y = 2 ， n
Ir ( P 1Y ) 0 0 1 2 2 2 P Y 1 2 r 0
r r
则 这时
f (tX (1 t )Y ) t 2 i2 (1 t ) 2 i2
这时
f ( X ) i2 2 X c
2 x2 x3 4 x1 6 x2 6 x3 7 的凹凸性。
同样可求出
f (tX (1 t )Y ) tf ( X ) (1 t ) f (Y )
解
t (1 t ) (i i ) 2 ≥0
f (tX (1 t )Y ) [tX (1 t )Y ]' A[tX (1 t )Y ] 2 [tX (1 t )Y ] c
Ir [ P 1 (tX (1 t )Y ) 0 0 1 P [tX (1 t )Y ] 0
i 1 i 1
这时
Ir f ( X ) ( P 1 X ) 0
0 1 P X 2X c 0
2t (1 t ) i i 2tX 2(1 t ) Y c
i 1
r
而
tf ( X ) (1 t ) f (Y ) t i2 2tX (1 t ) i2 2(1 t ) Y c
0 1 ( P Y ) 2 [tX (1 t )Y ] c 0
n
阶 非 零 实 对 称 矩 阵 ， 秩 为
r ，
又令
x1 b1 X R n1 , R n1 , c R ，则（1）若 A 半正 x b n n
定，则对任意的 X D ， f ( X ) 在 D 上是凹函数； （2）若 A 半负定，则 f ( X ) 在 D 上是凸函数。 证 （1）若 A 半正定，则存在可逆矩阵 P 使
0 Ir ，即 A ( P 1 ) 0 0 0 1 p 0 Ir P AP 0
关键词：多元二次函数；凹凸性；半正定矩阵 中图分类号：O171
文[1]讨论了多元二次函数的极值问题， 然而多元二次函 数的凹凸性问题， 无论在理论研究还是在实际应用中都占有 非常重要的地位。 本文利用二次型理论对多元二次函数的凹 凸性判别法进行了分析和探讨。 函数 f ( X ) 定义在 D 上， 凹凸定义 设 D R n 是凸集， 若 对 任 何 实 数 t (0,1) 以 及 任 意 的 点 X , Y D ， 恒 有
Leabharlann Baidu
2 [tX (1 t )Y ] c
Ir [t 2 ( P 1 X ) 0 0 1 Ir ( P X ) 2t (1 t )( P 1 X ) 0 0 0 1 ( P Y ) 0
f (tX (1 t )Y ) ≥ tf ( X ) (1 t ) f (Y ) ，则称函数 f ( X ) 为定
第 28 卷第 5 期
Ir 使 P ( A) P 0 0 ，即 0
r i 1
唐山师范学院学报
I r P AP 0 0 0
2006 年第 5 期
例 讨论函数
2 2 2 f ( X ) x1 5 x2 2 x3 4 x1 x2 2 x1 x3
i 1 r
则 所以
Ir ( P 1 X ) 0
因为
0 t 1，
t (1 t ) 0
f (X )
i2 2X c
r
f (tX (1 t )Y ) ≤ tf ( X ) (1 t ) f (Y )
由凹凸定义知， f ( X ) 在 D 上是凹函数； （2）若 A 半负定，则 A 半正定，那么存在可逆矩阵 P
第 28 卷第 5 期 Vol. 28 No.5
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
2006 年 9 月 Sep. 2006
多元二次函数凹凸性的判别方法
米翠兰，王新春
（河北理工大学 理学院，河北 唐山 063000） 摘 要：利用二次型理论讨论了多元二次函数的凹凸性，并给出了判别凹凸性的简便方法。 文献标识码：A 文章编号：1009-9115（2006）05-0025-02
其中若令
1 P 1 X = 2 ， n
0 1 2 2 2 P X 1 2 r 0
i 1
所以
f (tX (1 t )Y ) tf ( X ) (1 t ) f (Y ) t (1 t ) (i i )2 ≤0
义 在
D
上 的 凸 函 数 ； 若 有 f (tX (1 t )Y ) ≤
则称函数 f ( X ) 为定义在 D 上的凹函数。 tf ( X ) (1 t ) f (Y ) ， 定理 设 n 元二次函数 f ( X ) X AX 2 X c ， 其中 A 为
Ir (1 t ) 2 ( P 1Y ) 0
所以 f ( X ) 在 D 上是凸函数。 结论 对于多元二次函数，只要求出其矩阵 A，然后判 定 A 的正定性，就可由定理知函数的凹凸性。
由于 A 是实对称矩阵，且 A 的所有顺序主子式均≥0， 所以 A 为半正定矩阵，由定理知 f ( X ) 是凹函数。
参考文献：
[1] 赵祖舜.n 元二次式的极值问题[J].数学通报,1992,(2). [2] 彭学梅.关于多元二次函数的最值问题[J].高等数学研究,2005,(3). [3] 北京大学数学系.高等代数（第二版）[M].北京:高等教育出版社,1988.
On How to Recognize Concavity and Convexity of Multiple Quadratic Function
MI Cui-lan, WANG Xin-chun
(School of Science, Hebei Polytechnic University, Hebei Tangshan 063000, China)
Abstract: The concavity and convexity of the pluralistic quadratic function is discussed with quadratic form and simple
methods are given to recognize concavity and convexity.
Key words: multiple quadratic function; concavity and convexity; sub matrix
责任编辑、校对：陈景林
- 26 -
在 D 上任取两点 X , Y D ，比较 f (tX (1 t )Y ) 和
tf ( X ) (1 t ) f (Y ) 的大小，为此先由上式求出
────────── 收稿日期：2006-03-01 作者简介：米翠兰（1963-） ，女，河北徐水人，河北理工大学理学院副教授。
- 25 -
i 1
r
1 2 1 f ( X ) X AX 2 X c ，其中 A 2 5 1 ， 1 1 2
因为
0 t 1，
t (1 t ) 0
3 ， c 7
3
2
f (tX (1 t )Y ) ≥ tf ( X ) (1 t ) f (Y )
1 1 P Y = 2 ， n
Ir ( P 1Y ) 0 0 1 2 2 2 P Y 1 2 r 0
r r
则 这时
f (tX (1 t )Y ) t 2 i2 (1 t ) 2 i2
这时
f ( X ) i2 2 X c
2 x2 x3 4 x1 6 x2 6 x3 7 的凹凸性。
同样可求出
f (tX (1 t )Y ) tf ( X ) (1 t ) f (Y )
解
t (1 t ) (i i ) 2 ≥0
f (tX (1 t )Y ) [tX (1 t )Y ]' A[tX (1 t )Y ] 2 [tX (1 t )Y ] c
Ir [ P 1 (tX (1 t )Y ) 0 0 1 P [tX (1 t )Y ] 0
i 1 i 1
这时
Ir f ( X ) ( P 1 X ) 0
0 1 P X 2X c 0
2t (1 t ) i i 2tX 2(1 t ) Y c
i 1
r
而
tf ( X ) (1 t ) f (Y ) t i2 2tX (1 t ) i2 2(1 t ) Y c
0 1 ( P Y ) 2 [tX (1 t )Y ] c 0
n
阶 非 零 实 对 称 矩 阵 ， 秩 为
r ，
又令
x1 b1 X R n1 , R n1 , c R ，则（1）若 A 半正 x b n n
定，则对任意的 X D ， f ( X ) 在 D 上是凹函数； （2）若 A 半负定，则 f ( X ) 在 D 上是凸函数。 证 （1）若 A 半正定，则存在可逆矩阵 P 使
0 Ir ，即 A ( P 1 ) 0 0 0 1 p 0 Ir P AP 0
关键词：多元二次函数；凹凸性；半正定矩阵 中图分类号：O171
文[1]讨论了多元二次函数的极值问题， 然而多元二次函 数的凹凸性问题， 无论在理论研究还是在实际应用中都占有 非常重要的地位。 本文利用二次型理论对多元二次函数的凹 凸性判别法进行了分析和探讨。 函数 f ( X ) 定义在 D 上， 凹凸定义 设 D R n 是凸集， 若 对 任 何 实 数 t (0,1) 以 及 任 意 的 点 X , Y D ， 恒 有
Leabharlann Baidu
2 [tX (1 t )Y ] c
Ir [t 2 ( P 1 X ) 0 0 1 Ir ( P X ) 2t (1 t )( P 1 X ) 0 0 0 1 ( P Y ) 0
f (tX (1 t )Y ) ≥ tf ( X ) (1 t ) f (Y ) ，则称函数 f ( X ) 为定
第 28 卷第 5 期
Ir 使 P ( A) P 0 0 ，即 0
r i 1
唐山师范学院学报
I r P AP 0 0 0
2006 年第 5 期
例 讨论函数
2 2 2 f ( X ) x1 5 x2 2 x3 4 x1 x2 2 x1 x3
i 1 r
则 所以
Ir ( P 1 X ) 0
因为
0 t 1，
t (1 t ) 0
f (X )
i2 2X c
r
f (tX (1 t )Y ) ≤ tf ( X ) (1 t ) f (Y )
由凹凸定义知， f ( X ) 在 D 上是凹函数； （2）若 A 半负定，则 A 半正定，那么存在可逆矩阵 P
第 28 卷第 5 期 Vol. 28 No.5
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
2006 年 9 月 Sep. 2006
多元二次函数凹凸性的判别方法
米翠兰，王新春
（河北理工大学 理学院，河北 唐山 063000） 摘 要：利用二次型理论讨论了多元二次函数的凹凸性，并给出了判别凹凸性的简便方法。 文献标识码：A 文章编号：1009-9115（2006）05-0025-02