计算机网络和网络安全
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离散型随机变量的分布只能描述其概率特征，无 法反映出其变化情况，而随机变量的某种平均值 却可以更好地描述随机变量的变化。
随机变量所有取值的平均值称之为随机变量的数 学期望。
2020/11/15
精品课件
随机变量的数学期望（续）
定义（数学期望）设ξ为离散型随机变量，其概 率分布为：
2020/11/15
精品课件
常见的离散型分布（续）
二项分布（贝努里分布）：
B (k;n ,p )P {k} k n p kq n k k 0 ,1 ,2 , n
泊松（Poisson）分布：
P { k}ke k0 ,1 ,2 , (0 )
k!
2020/11/15
精品课件
随机变量的数学期望
计算系统与网络安全
Computer System and Network Security
2020/11/15
电子科技大学 计算机科学与工程学院
精品课件
第2章 信息安全数学基础（概率论） 概率论基础 随机变量及其分布 概率论中的几个定理 网络与信息安全中的概率论方法 总结
2020/11/15
精品课件
例：随机试验E：从一个装有编号为0，1，2，…， 9的球的袋中任意摸一球。则其样本空间 :
={ 0 ， 1 ，…， 9 }
i i 其中 i “摸到编号为 的球”， =0,1,…,9.
i i i 定义函数 ： i
，即 ( i )= ， =0，1，…，9。
2020/11/15
精品课件
随机变量及其分布
第2章 信息安全数学基础（概率论） 概率论基础 随机变量及其分布 概率论中的几个定理 网络与信息安全中的概率论方法 总结
2020/11/15
精品课件
概率论基础
子曰：君子不重则不威；学则不固；主忠信；无 友不如己者；过则勿惮改。
君子要厚重，不厚重就没有威严，所学的东西也不会坚 固；在与人相处中要以忠信为主；不能与德才不如自己 的人做朋友；如果有了过失或错误不要害怕改正。”
习惯上，分别用ω与Ω表示样本与样本空间。
2020/11/15
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概率论基础（续）
对于随机试验，常常关心样本空间的某些部分 （及一个或多个眼本）是否出现，称这种由部分 样本组成的试验结果为随机事件，简称事件，通
常用大写的字母A，B，……表示。
2020/11/15
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概率论基础（续）
“事件A与B都发生”这一事件称作事件A与B的交， 记作A∩B或(AB)
重言，重行，重貌，重好 （言重则有法，行重则有德， 貌重则有威，好重则有观 ）
学者言行貌好皆须学其庄重
2020/11/15
Leabharlann Baidu
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概率论基础（续）
进行一次试验，如果所得结果不能完全预知，但 其全体的可能结果是已知的，则称此试验为随机 试验。
随机试验的每一个可能的结果称为一个样本（或 样本点），因而一个随机试验的所有样本点也是 确定的。随机试验的全体称为样本空间。
p[x| y] p[x]p[y| x] p[y]
贝叶斯定理说明了在已知x是y的概率的条件下， 求已知y是x的概率。
2020/11/15
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第2章 信息安全数学基础（概率论） 概率论基础 随机变量及其分布 概率论中的几个定理 网络与信息安全中的概率论方法 总结
2020/11/15
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随机变量及其分布
“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A 与B的并，记作A∪B
“事件A发生而B不发生”这一事件称作事件A与B 的差, 记作 A-B
事件A不发生”这一事件称作事件A的对立事件，
记作 A
2020/11/15
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概率论基础（续）
定义（概率的经典定义）假设一个实验可以从样
本空间Ω中等概率产生一个样本。若随机事件A包 含了m个样本，则量m/n称为事件A在n次试验中发 生的概率，记作P [A]，即：
P[A]=m/n
2020/11/15
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概率论基础（续）
定义（概率的统计定义）相同条件下重复进行的n
次试验中, 事件A发生的频率稳定地在某一常数p
附近摆动, 且随n越大摆动幅度越小, 则称p为事
件A的概率, 记作P[A]。 即：
P[A]=p
2020/11/15
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概率论基础（续）
设A、B为两事件，P [ A ] > 0，把事件A发生的 条件下事件B发生的概率称之为条件概率，记为：
一般地，如果为某个随机事件，则对于某次试验， 要么发生，要么不发生，因此试验结果总可以用 以下示性函数来表示：
1 A发生 1A 0 A不发生
这就说明，不管随机试验的结果是否具有数量的 性质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对 应关系，从而使得随机试验与数值发生联系，以 便更好地研究随机试验的结果。
散型随机变量，只要知道它的一切可能取值和取这些值的概率，也就是说
知道了它的分布，也就掌握了这个离散型随机变量的统计规律。
2020/11/15
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常见的离散型分布
退化分布（单点分布）：
贝努里F(分x)布（10两点xx分布aa，0-P 1分{布 ）：a}1
0 q
1 p
P { X x } p x ( 1 p )1 x x 0 ,1
定义（分布函数）
设 是 上的随机变量，对 x
R，
称：
F (x) = P{ x}为 的分布函数。
2020/11/15
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随机变量及其分布（续）
离散型随机变量的分布函数F(X)定义为 ：
F(x)P {x}p{xi} i:xix
因此ξ的分布列也完全刻画了离散型随机变量取值的规律。这样，对于离
PA B PB A PA
2020/11/15
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概率论基础（续）
定理（全概率公式）
如果
n
Ai
，且 Ai
Aj
i1
则对Ω中任一事件B，有：
n
P[B] P[B| Ai] P[Ai] i1
2020/11/15
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概率论基础（续）
定理（贝叶斯定理）
如果 p[x] 0 ， p[ y] 0 那么：
为此，引入了随机变量的概念。
2020/11/15
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随机变量及其分布（续）
定义（随机变量）
设随机试验E的样本空间为 {} (，)
是定义在 意实
上的单值函数，若对于任
数 x 集合{:()x}
是随机事 ()
件，则称
为随机变量（Random Variable）。
2020/11/15
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随机实验举例
随机变量所有取值的平均值称之为随机变量的数 学期望。
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随机变量的数学期望（续）
定义（数学期望）设ξ为离散型随机变量，其概 率分布为：
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常见的离散型分布（续）
二项分布（贝努里分布）：
B (k;n ,p )P {k} k n p kq n k k 0 ,1 ,2 , n
泊松（Poisson）分布：
P { k}ke k0 ,1 ,2 , (0 )
k!
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随机变量的数学期望
计算系统与网络安全
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第2章 信息安全数学基础（概率论） 概率论基础 随机变量及其分布 概率论中的几个定理 网络与信息安全中的概率论方法 总结
2020/11/15
精品课件
例：随机试验E：从一个装有编号为0，1，2，…， 9的球的袋中任意摸一球。则其样本空间 :
={ 0 ， 1 ，…， 9 }
i i 其中 i “摸到编号为 的球”， =0,1,…,9.
i i i 定义函数 ： i
，即 ( i )= ， =0，1，…，9。
2020/11/15
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随机变量及其分布
第2章 信息安全数学基础（概率论） 概率论基础 随机变量及其分布 概率论中的几个定理 网络与信息安全中的概率论方法 总结
2020/11/15
精品课件
概率论基础
子曰：君子不重则不威；学则不固；主忠信；无 友不如己者；过则勿惮改。
君子要厚重，不厚重就没有威严，所学的东西也不会坚 固；在与人相处中要以忠信为主；不能与德才不如自己 的人做朋友；如果有了过失或错误不要害怕改正。”
习惯上，分别用ω与Ω表示样本与样本空间。
2020/11/15
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概率论基础（续）
对于随机试验，常常关心样本空间的某些部分 （及一个或多个眼本）是否出现，称这种由部分 样本组成的试验结果为随机事件，简称事件，通
常用大写的字母A，B，……表示。
2020/11/15
精品课件
概率论基础（续）
“事件A与B都发生”这一事件称作事件A与B的交， 记作A∩B或(AB)
重言，重行，重貌，重好 （言重则有法，行重则有德， 貌重则有威，好重则有观 ）
学者言行貌好皆须学其庄重
2020/11/15
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概率论基础（续）
进行一次试验，如果所得结果不能完全预知，但 其全体的可能结果是已知的，则称此试验为随机 试验。
随机试验的每一个可能的结果称为一个样本（或 样本点），因而一个随机试验的所有样本点也是 确定的。随机试验的全体称为样本空间。
p[x| y] p[x]p[y| x] p[y]
贝叶斯定理说明了在已知x是y的概率的条件下， 求已知y是x的概率。
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第2章 信息安全数学基础（概率论） 概率论基础 随机变量及其分布 概率论中的几个定理 网络与信息安全中的概率论方法 总结
2020/11/15
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随机变量及其分布
“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A 与B的并，记作A∪B
“事件A发生而B不发生”这一事件称作事件A与B 的差, 记作 A-B
事件A不发生”这一事件称作事件A的对立事件，
记作 A
2020/11/15
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概率论基础（续）
定义（概率的经典定义）假设一个实验可以从样
本空间Ω中等概率产生一个样本。若随机事件A包 含了m个样本，则量m/n称为事件A在n次试验中发 生的概率，记作P [A]，即：
P[A]=m/n
2020/11/15
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概率论基础（续）
定义（概率的统计定义）相同条件下重复进行的n
次试验中, 事件A发生的频率稳定地在某一常数p
附近摆动, 且随n越大摆动幅度越小, 则称p为事
件A的概率, 记作P[A]。 即：
P[A]=p
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概率论基础（续）
设A、B为两事件，P [ A ] > 0，把事件A发生的 条件下事件B发生的概率称之为条件概率，记为：
一般地，如果为某个随机事件，则对于某次试验， 要么发生，要么不发生，因此试验结果总可以用 以下示性函数来表示：
1 A发生 1A 0 A不发生
这就说明，不管随机试验的结果是否具有数量的 性质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对 应关系，从而使得随机试验与数值发生联系，以 便更好地研究随机试验的结果。
散型随机变量，只要知道它的一切可能取值和取这些值的概率，也就是说
知道了它的分布，也就掌握了这个离散型随机变量的统计规律。
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常见的离散型分布
退化分布（单点分布）：
贝努里F(分x)布（10两点xx分布aa，0-P 1分{布 ）：a}1
0 q
1 p
P { X x } p x ( 1 p )1 x x 0 ,1
定义（分布函数）
设 是 上的随机变量，对 x
R，
称：
F (x) = P{ x}为 的分布函数。
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随机变量及其分布（续）
离散型随机变量的分布函数F(X)定义为 ：
F(x)P {x}p{xi} i:xix
因此ξ的分布列也完全刻画了离散型随机变量取值的规律。这样，对于离
PA B PB A PA
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概率论基础（续）
定理（全概率公式）
如果
n
Ai
，且 Ai
Aj
i1
则对Ω中任一事件B，有：
n
P[B] P[B| Ai] P[Ai] i1
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概率论基础（续）
定理（贝叶斯定理）
如果 p[x] 0 ， p[ y] 0 那么：
为此，引入了随机变量的概念。
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随机变量及其分布（续）
定义（随机变量）
设随机试验E的样本空间为 {} (，)
是定义在 意实
上的单值函数，若对于任
数 x 集合{:()x}
是随机事 ()
件，则称
为随机变量（Random Variable）。
2020/11/15
精品课件
随机实验举例