例说用二次函数求图形面积的最值
例说用二次函数求图形面积的最值
二次函数常用来解决最优化问题这类问题。而图形面积最优化问题已经走进各省市的中考试卷。下面分类予以说明。
一、围成图形面积的最值
1、 只围二边的矩形的面积最值问题
例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗
圃。
（1） 设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的
函数关系式；
（2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？
分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。
解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），
根据题意，得：x x x x y 18)18(2
+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩
⎨⎧- （2）∵x x x x y 18)18(2
+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)
1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、 只围三边的矩形的面积最值
例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠
墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？
分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式
解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（
250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252
1)250(2+-=-=； 又∵500,02
500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=2
1-＜0，∴y 有最大值，
即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)2
1(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2
625平方米。 点评：如果设养鸡场的宽为x ，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。
3、 围成正方形的面积最值
例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是
多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm
由题意得： 17)4
20()4(22=-+x x
解得： 4,1621==x x
当161=x 时，20-x=4；当42=x 时，20-x=16
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。
（2）不能
理由是：设第一个正方形的边长为xcm ，则第二个正方形的边长为
)5(4
420x x -=-cm ，围成两个正方形的面积为ycm 2，
根据题意，得：25102)5(222+-=-+=x x x x y ，
∵25102)5(222+-=-+=x x x x y 中，a= 2＞0，∴y 有最小值， 即当2
522102=⨯--=-=a b x 时，225241025244422min =⨯-⨯⨯=-=a b ac y =12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm 2.
4、 围成扇形的面积最值
例4 用长为30米的铁丝围成一个扇形,问如何围扇形的面积最大?
解: 如图3，设围成扇形的半径为R 米,则围成扇形的弧长为(30-2R)米, 扇
形的面积为y （平方米）, 根据题意，得：R R R R lR y 15)230(2
1212+-=-== ∵R R R R lR y 15)230(2
1212+-=-==中， a= -1＜0，∴y 有最大值，
即当2
15)1(2152=-⨯-=-=a b R 时，4225)1(41504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当围成的扇形的半径R 是215米时，扇形的面积最大，最大面积为4
225平方米。 二、截出图形面积的最值问题
例5 如图4,△ABC 是一块锐角三角形的余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成长方形零件PQMN ,使长方形PQMN 的边QM 在BC 上,其余两点P 、N 在AB 、AC 上。
（1） 问如何截才能使长方形PQMN 的面积S 最大？
（2） 在这个长方形零件PQMN 面积最大时，能
否将余下的材料△APN 、△BPQ △NMC 剪
下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个
与长方形零件PQMN 大小一样的长方
形？若能，给出一种拼法；若不能，试
说明理由。
分析：解题的关键是利用几何知识求得函数关系
式，再利用函数的性质加以解决问题。
解：（1）设长方形零件PQMN 的边PN=a mm ，PQ=x mm ，则AE=AD-ED=AD-PQ=（80- x ）mm ， ∵PN ∥BC ∴△APN ∽△ABC ，∴AD
AE BC PN =（相似三角形的对应高的比等于相似比） ∴x a x x a 23120,80120-=-=解得：，∵⎩⎨⎧-0
800x ＞x ＞，∴0＜x ＜80 ∴S=x x x x x a 1202
3231202+-=-
=⨯）（（0＜x ＜80） ∵S=x x x x x a 12023231202+-=-=⨯）（（0＜x ＜80）中，a=23-＜0，∴S 有最大值， 即当40)23(21202=-⨯-=-=a b x 时，2400)2
3(412004422max =-⨯-=-=a b ac s 故当截得的长方形零件PQMN 的长为60 mm ，宽为40 mm 时，长方形零件PQMN 的面积最大，
最大面积为2400mm 2。
点评：长方形零件PQMN 的面积最大时，PN 恰好是三角形的中位线。
（2）能。
理由是：
大小一样的长方形。
能拼成一个和长方形，所以从理论上说，还余料的面积也是，因此，积为，长方形零件的最大面PQMN s ABC 240024004800801202
1=⨯⨯=
▲
拼法：
1、 作△ABC 的中位线PN ，
2、 分别过P 、N 两点作BC 的垂线，垂足分别为Q 、M ，
3、 过A 作BC 的平行线，分别交QP 、MN 的延长线于G 、H 两点
因此，四边形PNGH 即为和长方形PQMN 大小一样的长方形。
例6 如图6，在直角梯形ABCD 中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG =x ，已知AB=6，CD=3，AD=4。
求：（1）四边形CGEF 的面积S 与x 之间的函数关系式；
（2）四边形CGEF 的面积S 是否存在着最小值？若存在，
求出最小值；若不存在，请说明理由。
解：（1）梯形ABCD 的面积为=
4)63(2
1⨯+⨯=18， S △AEF=21AE ×AF=21x （6-x ）=3x-2
1x 2； S △DGE=21DE ×DG=21x （4-x ）=2x-2
1x 2； S △BCF=21BF ×DA=2
1x ×4=2x ； 所以，S=18-（3x-21x 2）-（2x-21x 2）-2x =x 2-7x+18；
因为：GC ＞0、DE ＞0、AF ＞0，所以6-x ＞0、3-x ＞0、4-x ＞0、x ＞0
所以0＜x ＜3因此自变量x 的取值范围是：0＜x ＜3。
（2）因为S =x 2-7x+18=（x-
27）2+423，故当x=27时，面积有最小值，而自变量x 的取值范围是：0＜x ＜3，所以x=2
7根本不在这个范围内，因此面积不存在最小值。
三、采光面积的最值
例7 用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框。
（1） 求窗框的透光面积S （平方米）与窗框的宽x （米）之间的函数
关系式；
（2） 求自变量x 的取值范围；
（3） 问如何设计才能使窗框透过的面积最大？最大的透光面积是多
少？
分析：关键是用含x 的代数式表示出BC 的长。
解：(1) 由图示的信息，可得：3BC+2×0.5+3 x=19,
所以, BC=6 –x,所以AC=AB+BC=(6 –x+0.5)米,
所以, S=(6 –x+0.5) x= -x 2+2
13x; (2)由题意,得:x ＞0,6-x ＞0,所以0＜x ＜6,因此自变量x 的取值范围是：0＜x ＜6,
（3）∵S=(6 –x+0.5) x= -x 2+2
13x 中，a= -1＜0，∴S 有最大值，
即当413)1(22132=-⨯-=-=a b x 时，16
169)1(4)213(04422max =-⨯-=-=a b ac S 故当x=413米时，窗框的面积最大，最大面积为16
169平方米。 四、动态图形面积的最值
例8如图8，如图9，在平行四边形ABCD 中，AD =4 cm ，∠A =60°，BD ⊥AD . 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P
作直线PM ，使PM ⊥AD .
(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE
的面积；
(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的
路线运动，且在AB 上以每秒1 cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒
2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM . 设点Q 运动的
时间为t 秒(0≤t ≤10)，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的
面积为S cm 2 .
① 求S 关于t 的函数关系式；
② 求S 的最大值.
解：(1) 当点P 运动2秒时，AP =2 cm ，由∠A =60°，知AE =1，PE
∴ S ΔAPE =2
3.
(2) ① 当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与AD 交
于点F ，则AQ =t ，AF =2t ，QF =t 2
3，AP =t +2，AG =1+2t ，PG =t 233+. ∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =2
323+t . 当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与
AD 交于点F ，则AQ =t ，AF =2t ，DF =4-2t ，QF =t 2
3，BP =t-6，CP =10-t ，PG =3)10(t -， 而BD =34，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =3343108
352-+-t t .
当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则CQ =20-2t ，QF =(20-2t
，CP =10-t ，PG =3)10(t -.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =31503302
332+-t t
.
故S 关于t
的函数关系式为22(06)(68)(810)t S t t +≤≤⎪⎪⎪=+-≤≤⎨-+≤≤⎪⎩
②当0≤t ≤6时，S 的最大值为2
37 当6≤t ≤8时，S 的最大值为36 当8≤t ≤10时，S 的最大值为36
所以当t =8时，S 有最大值为36 . ∙ 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，
保持AM 和MN 垂直， （
1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN；
（2）设BM=x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN，求此时x 的值.
二次函数之三角形面积最大值专题
432y 2+-=x x 122 1y 2++-=x x =max y 2 1ah S ABC 21=?专题一：二次函数与面积问题------类型1：三角形面积的最大值 一、知识点睛 1.点P 是抛物线 上一动点。若设点P 的横坐标为m ，则点P 的纵坐标可表示为： ，∴点P 的坐标可表示为： 2.如右图，AB ∥x 轴，BC ∥y 轴。则线段BC= ，AB= 故：“竖直方向”上的线段长 = — “水平方向”上的线段长 = — 3.二次函数的一般式为： ，顶点式为： 例如：将 化为顶点式为： ，开口向 ，顶点坐标： ∴当x= 时， 二、铅垂法（割补求面积） 坐标系中三角形面积公式： S= ?一点引铅垂线段的长?另两点的水平宽 锐角三角形中过点C 引的铅垂线 钝角三角形中过点C 引的铅垂线 锐角三角形中过点B 引的铅垂线 ah S ABC 2 1= ? 铅垂法的优点： 1.任何一点引铅垂线都可以 2.任何形状的三角形都适用 3.与三角形在第几象限无关 4.与三角形在不在坐标系无关 ah S ABC 21=?
三、典例讲解 例1.已知二次函数62 343y 2++-=x x 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 。点P 是第一象限抛物线上一动点。连结BC ，BP 和CP 。当△BCP 面积最大时，求P 点坐标。 四、小试牛刀 例2.如图，已知抛物线经过两点A(-3,0)，B(0,3)且其对称轴为直线x= -1 （1）求此抛物线的解析式 （2）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A 点B ）求△PAB 的面积最大值，并求出此时点P 的坐标。
“二次函数”面积最值问题的几种解法
“二次函数”面积最值问题的几种解法 姓名：__________ 指导：__________ 日期：__________
二次函数是初中数学的一个重点、难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。 而求三角形面积的最值问题，更是常见。今天介绍二次函数考试题型种，面积最值问题的4种常用解法。 同学们只要熟练运用一两种解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题，就好。 原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？
若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。 考试题型，大多类似于此。求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。 一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。 解法一：补形，割形法。方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。请看解题步骤。
解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。 铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。 设动点P的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。
解法三：切线法。这其实属于高中内容。但是，基础好的同学也很容易理解，可以看看，提前了解一下。
(完整word版)例说用二次函数求图形面积的最值
例说用二次函数求图形面积的最值 二次函数常用来解决最优化问题这类问题。而图形面积最优化问题已经走进各省市的中考试卷。下面分类予以说明。 一、围成图形面积的最值 1、 只围二边的矩形的面积最值问题 【例1】如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。 （1）设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； （2）当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。 【解析】（1）设矩形的长为x （米），则宽为()18x -（米）， 根据题意，得：2(18)18y x x x =-=-+； 又∵0 180x x >??->? ，∴018x << （2）∵2(18)18y x x x x =-=-+中，10a =-<，∴y 有最大值， 即当18922(1) b x a =-=-=?-时，22 max 40188144(1)ac b y a --= ==?- 故当9x =米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 2、 只围三边的矩形的面积最值 【例2】如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？ 分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式 【解析】设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为502x -?? ? ?? （米）， 根据题意，得：2501 ( )2522 x y x x x -==-+； 又∵0 5002 x x >?? ?->??，∴050x << ∵2501( )2522x y x x x -==-+中，1 02 a =-<，∴y 有最大值， 即当25 25122() 2 b x a =-=-=?-时，22max 40256251424()2a c b y a --===?- 故当25x =米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为 625 2 平方米。 点评：如果设养鸡场的宽为x ，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。 图 1 图2
二次函数的实际应用(面积最值问题含答案)
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题 知识要点： 在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． [例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动． （1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm2)是多少？ （2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm2)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案： 63 363 3360726612626262 1 )1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--?=+-=?-= [例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？ 解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米 则长为：x x 4342432-=+-(米)
二次函数面积最值问题解题思路
二次函数面积最值问题解题思路 二次函数是初中数学的重点和难点，也是中考必考的知识点。尤其是压轴题，二次函数和几何综合的题型是最大的区别。 求三角形最大面积的问题就更常见了。今天方老师介绍了二次函数测试中的四种题型，以及最大面积问题的四种常见解法。 同学们，只要熟练运用一两种解法，就可以做到炉火纯青，考试时也能轻松答题。 原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。 考题大多和这个差不多。求最大面积和最大面积的动点坐标。 一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。 解决方案1:填充和切割。该方法的关键是对所需图像的区域进行适当的切割和修复，并将其转化为有利于表达该区域的常规几何图形。请看解题步骤。 解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。 课本上没有铅锤定理，但大部分数学老师都会重点讲解，并在课堂上讲解。因为铅锤定理可以用在很多地方。这里还有一个铅锤定理的简单推导，建议大家认真理解。
解法二:铅锤定理，广泛应用于求二次函数三角形的最大面积。 设动点P的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。 方案三:切线法。这个其实属于高中内容。不过基础好的同学也比较好理解，你可以去看看，提前了解一下。 解法四:三角函数法。请仔细看上面的步骤。 总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。过点P做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。 设动点P的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点式，求出三角形面积的最大值。 只要熟练掌握解法1和解法2，在二次函数几何综合题中求最大三角形面积是非常简单的。
二次函数应用(面积最值)
二次函数应用（面积最值） 1、某广告公司设计一幅周长为20 m的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m，广告牌的面积为S m2． (1)写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式； (2)画出这个函数的大致图象(其中0≤x≤10)； (3)根据图象观察当边长x为何值时，广告牌面积S最大？ 2、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对 的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少? 3如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方 形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2． (1)求S与x的函数关系式； (2)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？ (3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明 围法；如果不能，请说明理由． 4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上，分别作 DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE＝x，DF＝y． (1)用含y的代数式表示AE； (2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值 5、如图所示，在生产中，为了节约原材料，加工零件时常用一些边角余料，△ABC为锐角三角形废料．其中BC＝12 cm，BC边上高AD＝8 cm，在△ABC上截取矩形PQMN，与BC边重合，画出草图说明P，N两点落在什么位置上，才能使它的面积最大？最大面积是多少？并求出这时矩形的长和宽． 6、如图所示，E，F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC，CD上的点，CE＝1，CF＝，直线EF交 AB的延长线于G，过线段FG上一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M，N．设HM＝x，矩形AMHN 的面积为y． (1)求y与x之间的函数关系； (2)当x为何值时，矩形AMHN的面积最大？最大面积是多少？ 7、己知：正方形ABCD的边长为4，经过AB边上一点P作平行于对角线AC、BD的直线，分别与边BC、AD交于点Q、R．设△PQR的面积为y，AP＝x，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
二次函数求面积最大值
二次函数求面积最大值 二次函数求面积最大值是高中数学中的经典问题，也是数学竞赛 中常考的知识点之一。本文将分步骤阐述二次函数求面积最大值的具 体过程和数学原理。 一、二次函数的标准形式 首先，我们需要了解二次函数的标准形式。一般情况下，二次函 数的标准形式为： y = ax² + bx + c （a ≠ 0） 其中，a、b、c分别为常数，x为自变量，y为因变量，a代表着 开口向上或向下的程度，若a > 0，则开口向上，若a < 0，则开口向下。b代表着抛物线在水平方向上的平移，c代表着抛物线的纵坐标值。 二、二次函数求解面积最大值的步骤 接下来，我们来具体阐述二次函数求解面积最大值的步骤。我们 以y = -x² + 6x为例，来说明具体的求解过程。 步骤一：求解极值 首先，我们需要求解二次函数的极值。根据二次函数的标准形式，我们可以得到二次函数的导数为： y' = 2ax + b 将二次函数y = -x² + 6x带入上式，可得到： y' = -2x + 6 令导数y' = 0，则有： -2x + 6 = 0 解得x = 3 将x = 3代入原方程y = -x² + 6x中，可得到： y = -9 因此，二次函数y = -x² + 6x在x = 3处达到极大值，极大值 为-9。 步骤二：确定积分区间
接下来，我们需要确定二次函数在哪个区间内积分。由于二次函数的对称轴为x = -b / 2a，因此我们可以通过求解对称轴的坐标得到积分区间。将二次函数y = -x² + 6x带入对称轴公式中，可得到：x = -6 / (-2) = 3 因此，积分区间为[0, 3]。 步骤三：求解面积最大值 最后，我们可以使用求定积分的方法来求解面积最大值。将二次函数y = -x² + 6x代入定积分公式中，可得到： S = ∫[0, 3](-x² + 6x)dx = [-1 / 3 x³ + 3x²] [0, 3] = 9 因此，二次函数y = -x² + 6x在[0, 3]区间内的面积最大值为9。 三、结语 通过以上的分析可以看出，二次函数求解面积最大值的关键在于确定二次函数的极值、积分区间以及求解定积分。在实际运用中，我们还可以通过变形或图像分析等方法来快速求解二次函数的面积最大值。希望本文的讲解对读者有所帮助。
二次函数四边形面积最值问题
二次函数四边形面积最值问题 在数学中，二次函数是一种非常重要的函数形式，它的图像呈现出一个开口向上或向下的抛物线形状，而且其在实际问题中的应用也非常广泛。其中一个重要的应用就是在解决四边形面积最值问题时，二次函数可以提供有效的解决方法。本文将介绍如何利用二次函数解决四边形面积最值问题。 一、四边形面积最值问题的定义 四边形面积最值问题是指，在给定的四边形中，找出一个能够使其面积最大或最小的方法。这种问题在实际中非常常见，例如建筑物、设计图、地形图等等。在解决这种问题时，我们需要利用数学中的相关知识和方法来求解。 二、二次函数的定义和性质 二次函数是指形如 y=ax^2+bx+c 的函数，其中 a、b、c 为常数，且 a 不等于零。它的图像呈现出一个开口向上或向下的抛物线形状，具有以下性质： 1、当 a>0 时，图像开口向上，表示函数在 x 轴左右两侧的函数值逐渐增大；当 a<0 时，图像开口向下，表示函数在 x 轴左右两侧的函数值逐渐减小。 2、当 a>0 时，函数的最小值为 c-b^2/4a，此时函数的最小值点为 (-b/2a, c-b^2/4a)；当 a<0 时，函数的最大值为 c-b^2/4a，此时函数的最大值点为 (-b/2a, c-b^2/4a)。 3、函数的对称轴为 x=-b/2a，即函数图像关于直线 x=-b/2a 对
称。 三、利用二次函数解决四边形面积最值问题的方法 在解决四边形面积最值问题时，我们可以利用二次函数的性质来求解。具体方法如下： 1、将四边形的面积表示为一个二次函数。 对于一个给定的四边形，我们可以将其面积表示为一个关于其中一个变量的二次函数，例如对于一个梯形，其面积可以表示为 S=(a+b)h/2，其中 a、b、h 为梯形的上底、下底和高，将其化简后可得 S=(a/2)h+(b/2)h，将其表示为关于 h 的二次函数可得 S=(a+b)/2*h-(ab/2)。这样，我们就可以将四边形的面积表示为一个关于其中一个变量的二次函数。 2、利用二次函数的性质求解四边形的最大或最小面积。 由于二次函数的性质，我们可以利用其最小或最大值来求解四边形的最大或最小面积。具体方法如下： （1）当四边形的面积最大时，其对应的二次函数的最大值点为四边形的最大面积。 （2）当四边形的面积最小时，其对应的二次函数的最小值点为四边形的最小面积。 通过这种方法，我们可以利用二次函数来解决四边形面积最值问题，从而得到最优的解决方案。 四、案例分析 下面以一个具体的案例来说明如何利用二次函数解决四边形面
初三数学应用二次函数求面积的最值专题辅导
应用二次函数求面积的最值 吴 复 二次函数是初中数学的重要内容之一，应用它可探求几何图形面积的最值，而这类问题又是中考及竞赛的典型题型。下面举几例，说明其应用。 例1 如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，P 为BC 边上的一个动点，QP ⊥AP 交DC 于Q 点。问：当点P 在何位置时，△ADQ 的面积最小？并求出其面积。 解：设BP=x ，则 PC=4-x ，S △ADQ =y ， 得y=42 1⨯·DQ=2DQ ， 所以y 2 14CQ ,y 21DQ -==。 可知∠B=∠APQ=∠C=90°。 因为△ABP~△PCQ ， 所以CQ BP PC AB =， 所以y 2 14x x 44-=-， 整理，得8x 2x 2 1y 2+-=。 所以当BP=2时，y 取最小值为6。 例2 若y=x 2-(k-1)x-k-1与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：由于Δ=(k-1)2+4(k+1) =（k+1）2+4＞0。 故对于任何实数k ，抛物线与x 轴总有两个交点，设这两点的横坐标分别为x 1、x 2，则 221)x x (AB -= =21221x x 4)x x (-+ =5k 2k 2++ 因为抛物线的顶点C 坐标为（2 1k -，-45k 2k 2++）， 所以S △ABC 5k 2k 2 12++=·|-|45k 2k 2++
=3 2)5 k2 k( 8 1 + +。 因为4 )1 k( 5 k 2 k2 2+ + = + +≥4， 当k=-1时等式成立， 所以S△ABC≥1 4 8 13 =。 故选（A）。 例3 如图2，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=30°，AB=DE=a。当两三角形沿着直线FC移动时，求图中阴影部分的面积的最大值。 解：设MB=x，则由已知，得 AB=a，AM=a-x，∠A=∠AMK=60°， 所以S阴影=S△ABC-S△NEC-S△AMK。 因为S△ABC= 2 1 ·3a·a， S△NEC= 2 1 ·x 3·x， S△AMK=)x a( 2 1 -·)x a( 2 3 - =2)x a( 4 3 -. 所以S阴影-2 2a 4 3 ax 2 3 x 4 3 3 + +， 所以当x= ) 4 3 3 ( 2 a 2 3 - ⨯ - 时， S阴影最大=2a 3 3 。 注：此图形为不规则形，可用面积差来表示，在三角形移动过程中，△AMK为正三角形，阴影部分的面积在改变，故需用二次函数关系式来求解。 例4 如图3，已知△ABC的面积为2400cm2，底边BC长为80cm，若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形。当D位于什么位置时，四边形BDEF的面积最大。
二次函数双动点面积最值
二次函数双动点面积最值 一、问题描述 在平面直角坐标系内，给定二次函数 $y=ax^2+bx+c$，且 $a<0$。定义该二次函数的双动点为其图像上两个不同的点 $(x_1,y_1)$ 和$(x_2,y_2)$，满足 $y=ax^2+bx+c$ 在区间 $(x_1,x_2)$ 内单调递减或单调递增。现在要求求出所有可能的双动点，并计算出其对应的面 积最大值。 二、解题思路 本题需要分别考虑二次函数的凸性和双动点的性质。具体来说，我们 可以通过求导数来判断二次函数的凸性，并通过判别式来计算二次方 程的根以确定双动点。然后，我们可以利用双动点的性质，结合微积 分知识求出面积最大值。 三、解题步骤 1. 求解二次函数的凸性 由于$a<0$，因此该二次函数开口向下。此时，当且仅当$a>0$ 时，
该二次函数在整个定义域内为凸函数；当且仅当 $a<0$ 时，该二次函数在整个定义域内为下凸函数。 因此，在本题中，我们可以通过判断 $a$ 的符号来确定该二次函数的 凸性。 2. 计算二次方程的根 由于$a<0$，因此该二次函数的图像是一个开口向下的抛物线。此时，该二次函数的双动点必然是两个不同的零点，即 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根。 根据二次方程求根公式可得： $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ 由于 $a<0$，因此 $\sqrt{b^2-4ac}$ 为实数。因此，当 $b^2- 4ac>0$ 时，该二次方程有两个不同的实根；当 $b^2-4ac=0$ 时， 该二次方程有一个重根；当$b^2-4ac<0$ 时，该二次方程无实数解。 在本题中，我们需要计算出所有可能的双动点。因此，在计算完根之后，我们需要对其进行判断：若两个根均在定义域内，则它们为一个 双动点；若其中一个根在定义域内而另一个不在，则不存在双动点；
二次函数面积最值问题
二次函数面积最值问题 一、问题概述 二次函数面积最值问题是指在给定的二次函数中，找到使其面积最大或最小的变量取值。这个问题在数学中有着广泛的应用，比如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。 二、问题分析 为了解决二次函数面积最值问题，我们需要先了解一些基本概念和公式。下面是一些常见的数学公式： 1. 二次函数的标准形式：y=ax^2+bx+c 其中a,b,c都是实数，且a≠0。 2. 二次函数的顶点坐标：(h,k) 其中h=-b/2a，k=f(h)，f(x)表示二次函数。 3. 二次函数的对称轴方程：x=h
4. 两点之间距离公式： d=sqrt[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2] 5. 矩形面积公式： S=lw 其中S表示矩形面积，l表示矩形长，w表示矩形宽。 了解了这些基本概念和公式后，我们可以开始分析如何解决二次函数面积最值问题。 三、求解方法 1. 求最大值 要求一个二次函数在给定区间内的最大面积，我们可以通过以下步骤来实现： 步骤一：将二次函数化为标准形式。
步骤二：求出二次函数的顶点坐标。 步骤三：根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽。步骤四：计算矩形面积，并比较得出最大值。 具体的，可以按照以下函数来实现： ```python def max_area(a,b,c,start,end): # 将二次函数化为标准形式 f = lambda x: a*x**2+b*x+c # 求出二次函数的顶点坐标 h = -b/(2*a) k = f(h) # 根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽 l = end-start w = abs(f(start)-k)*2 # 计算矩形面积，并比较得出最大值 S = l*w
二次函数解决面积最值问题
二次函数解决面积最值问题 运用二次函数求图形面积的最值是中考中常见的题目．题目情景的方式丰富多彩，或通过动点移动，或通过图形移动，或通过围矩形等形式呈现．解决这类问题的一般方法是建立图形面积与有关量的二次函数模型，通过配方化成顶点式，结合自变量的取值范围求得最值．我们以2010年的中考题为例进行说明． 例1．（2010四川成都改编）如图，在A B C ∆中，90B ∠= ，12m m AB =， 24m m B C =，动点P 从点A 开始沿边A B 向B 以2m m /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边B C 向C 以4m m /s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过几秒，四边形APQC 的面积最小，最小值为多少？ 解析 设运动时间为t ，四边形APQC 的面积的为S ． 则t AP 2=，t BQ 4=．所以t BP 212-=． A B C ∆的面积为：14424122121 =⨯⨯= ∙BC AB . BPQ ∆面积为：t t t t BQ BP 2444)212(21 21 2+-=-=∙， 所以四边形APQC 的面积为：144244)244(14422+-=+--t t t t ． 则108)3(414424422+-=+-=t t t S ． 整理得108)3(42+-=t S ． 又 t ≤0＜6． ∴当3=t 时，S 有最小值为108． 即经过3秒，四边形APQC 的面积最小，最小值为2 108mm ． 点评 本题通过建立移动时间与四边形面积之间的函数解析式，运用二次函数的性质进行解决． 例2．（2010包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2． 解析 设其中的一段长为x ，另一段为20－x ．两个正方形的面积和为S ，由题意知 S=224204⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，整理可以得到225)10(812+-=x S ，显然0＜x ＜10 所以当x =10时，S 有最小值，最小值是25 2． 点评 本题同建立两个正方形面积之和与其中一段长度的函数关系式，运用二次函数求的最小值． 自己试一试 如图， 东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物
二次函数面积最值问题的4种解法
二次函数面积最值问题的4种解法 解法1：求二次函数导数求解最值问题 首先，我们可以使用导数的方法来求解二次函数的面积最值问题。对于一个一般形式的二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，我们可以先求出函数f(x)的导数f'(x)。 首先，我们要求二次函数的面积最值，即求解f(x)在一些区间[a,b]上的最大或最小值。由于导数的几何意义是函数的变化率，当函数f(x)的导数f'(x)等于0时，函数f(x)在该点的变化率为0，即函数在该点达到了最值。 我们将f'(x) = 2ax + b等于0，并解得x = -b/2a。然后我们可以判断x = -b/2a是否在[a, b]的范围内，如果在范围内，则函数f(x)在该点有可能达到最值；否则，我们可以直接取区间[a, b]的两个端点a和b，计算f(a)和f(b)的值并比较，找出其中的最值。 具体步骤如下： 1. 求解导数f'(x) = 2ax + b等于0，解得x = -b/2a。 2.判断x=-b/2a是否在区间[a,b]的范围内。 a.如果x=-b/2a在区间[a,b]的范围内，则函数f(x)在该点有可能达到最值。 b.如果x=-b/2a不在区间[a,b]的范围内，则直接取区间[a,b]的两个端点a和b，并计算f(a)和f(b)的值。 3.比较f(a)、f(b)以及可能存在的f(-b/2a)的值，找出其中的最大值或最小值。
这种解法通常适用于二次函数的最值问题，可以直观地找到函数在区 间上的最值点。但需要注意的是，此方法只适用于仅有一个极值点的情况。如果一个二次函数在一个区间上有多个极值点，则需要综合其他方法来解决。 解法2：二次函数的顶点法 二次函数的顶点法也是一种常用的求解二次函数面积最值问题的方法。二次函数的标准形式为：f(x)=a(x-h)^2+k，其中(a≠0)。该形式的函数中，顶点坐标为(h,k)。因此，求解二次函数面积最值问题，可以先求解 出二次函数的顶点坐标，然后计算顶点函数值f(h)来求出最值。 具体步骤如下： 1.将二次函数转换为标准形式f(x)=a(x-h)^2+k，并确定(h,k)为顶 点坐标。 2.计算顶点函数值f(h)。 3.如果h在所考虑的区间内，则函数在该点有可能达到最值。比较 f(h)与区间端点处的函数值，找出其中的最大值或最小值。 这种解法的优势是可以通过计算顶点函数值来快速确定最值点，可以 方便地找到最值点所在的位置，但需要注意一些特殊情况，例如当二次函 数开口向下时，需要求最大值，或者当二次函数开口向上时，需要求最小值。 解法3：完全平方解法 完全平方解法也是一种求解二次函数面积最值问题的方法。对于一个 一般形式的二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以将其写成完全平
二次函数动点面积最值问题
例1如图所示，等边△ ABC 中, 线段BA,AC 移动，当移动时间 练习 1如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm,点P 从点A 出发沿 AB 边向点 B 以1cm/s 的速 度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动，如果P,Q 同时出发，分别到达B 、C 两点就停止移动。 (1 )设运动开始后第 t 秒，五边形 APQCD 的面积是 Scm 2 ，写出S 与t 函数关系式，并指出 2如图，在△ ABC 中，/ B=9 0 ° , AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 2cm/S 的速度移动，点Q 从点B 开始沿着BC 边向点C 以1cm/S 的速度移动，P,Q 分别从A,B 同时出发。 求四边形APQC 的面积y ( cm 2 )与PQ 移动时间x ( s )的函数关系式，A 以及自变 量x 的取值范围 二次函数最大面积 t 的取值范围。 (2)t 为何值时, S 最小？并求出这个最小值。 BC=10cm t 为何值时, C Q B
3如图正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与B,C重合的任意一点，连接AP,过 点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为x cm , CQ的长为y cm (1 )求点P在BC上的运动的过程中y的最大值。 1 (2)当y= __cm时，求x的值。 4 4如图所示，边长为1的正方形OABC的顶点0为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，动点D 在线段BC上移动(不与B,C重合)，连接0D，过点D作DE丄0D,交AB于点E,连接0E, 记CD的长为t。 1 (1)当t= 时，求线段DE所在直线的函数表达式。 3 (2)如果梯形CDEB的面积为S，那么S是否存在最大值？若存在，请求出最大 值，以及此时 t的值；若不存在，请说明理由。 (3)当OD2DE 2的算术平方根取最小值时， 4) 求点E 的坐标。A E
二次函数典型例题——最大值问题
二次函数典型例题——最大面积 1、如图所示，在平面直角坐标系中，Rt △OBC 的两条直角边分别落在x 轴、y 轴上， 且OB=1,OC=3,将△OBC 绕原点O 顺时针旋转90°得到△OAE ，将△OBC 沿y 轴翻折得到△ODC ，AE 与CD 交于点F. （1）若抛物线过点A 、B 、C, 求此抛物线的解析式; （2）求△OAE 与△ODC 重叠的部分四边形ODFE 的面积; （3）点M 是第三象限内抛物线上的一动点，点M 在何处时△AMC 的面积最大？最大面积是多少？求出此时点M 的坐标. 解：(1)∵OB=1，OC=3 ∴C(0，-3)，B(1，0) ∵△OBC 绕原点顺时针旋转90°得到△OAE ∴A(-3,0) 所以抛物线过点A(-3，0)，C(0，-3)，B(1，0) 设抛物线的解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠，可得 ++0-39-30a b c c a b c =⎧⎪=⎨⎪+=⎩解得12-3a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴过点A,B,C 的抛物线的解析式为2 2-3y x x =+ (2) ∵△OBC 绕原点顺时针旋转90°得到△OAE ， △OBC 沿y 轴翻折得到△COD ∴E （0，-1），D （-1,0） 可求出直线AE 的解析式为1 13 y x =- - 直线DC 的解析式为33y x =-- ∵点F 为AE 、DC 交点 ∴F （3- 4，3 -4 ） M
S 四边形ODFE =S △AOE -S △ADF = 34 （3）连接OM ，设M 点的坐标为()m n ， ∵点M 在抛物线上，∴2 23n m m =+- ∴AMC AMO OMC AOC S S S S ∆∆∆∆=+- =111393 ()(3)222222OA m OC n OA OC m n m n ⋅+⋅-⋅=-+-=-++ =2233327(3)()2228 m m m =-+=-++ 因为03m <<，所以当32m =-时，15 4n =-，△AMA’的面积有最大值 所以当点M 的坐标为(315 24 -，-)时，△AMA’的面积有最大值 2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 (2)2y mx m x =+++过点(2,4)，且与x 轴交于A 、 B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点 C .点 D 的坐标为(2,0)，连接CA ，CB ，CD . （1）求证：ACO BCD ∠=∠； （2）P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP 交B C 于点E . ①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出点E 的坐标； ②连接CP ，当△CDP 的面积最大时，求点E 的坐标.
利用二次函数求几何图形中的最值问题
利用二次函数求几何图形中的最值问题 构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明. 例1（旅顺口区中考试题）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图1），其中AF＝2，BF＝1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积. 分析设矩形PNDM的边DN＝x，NP＝y，则矩形PNDM的面积S＝xy（2 ≤x≤4），易知CN＝4－x，EM＝4－y.且有NP BC CN - ＝ BF AF （作辅助线构造相似 三角形），即 3 4 y x - - ＝ 1 2 ，所以y＝－ 1 2 x+5，S＝xy＝－ 1 2 x2+5x（2≤x≤4），此二 次函数的图象开口向下，对称轴为x＝5，所以当x≤5时，函数的值是随x的增 大而增大，对2≤x≤4来说，当x＝4时，S有最大值S 最大＝－ 1 2 ×42+5×4＝12. 小结：本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给同学们探索解题思路留下了思维空间. 例2（南京市中考试题）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2AD，线段EF＝10.在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD.令MN＝x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？ 分析因为矩形MFGN∽矩形ABCD，所以MN AD ＝ MF AB ，因为AB＝2AD， MN＝x，所以MF＝2x，所以EM＝EF－MF＝10－2x，所以S＝x(10－2x)＝－ 2x2+10x＝－2(x－5 2 )2+ 25 2 ， 所以当x＝5 2 时，S有最大值为 25 2 . 小结本题是利用相似多边形的性质，求出矩形的边之间的关系，再运用矩形的面积构造出二次函数的表达式，使问题求解. 例3（泉州市中考试题）一条隧道的截面如图3所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD.
22.3.1实际问题与二次函数1--图形面积最值问题
22.3.1实际问题与二次函数1--图形面积最值问题 编制: 校对： 目标：1.将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用. 2.通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维. 3.感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意 识和探索精神. 4.利用二次函数解决有关拱桥问题. 重点：建立二次函数的数学模型. 难点：结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 经典例式： 知识点：利用二次函数求面积的最值。 例1：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？ 【变式练习1】 1.用一段长32m的篱笆和长8m的墙，围成一个矩形的菜园。如果矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF 构成，另三边由篱笆ADEF围成，求菜园面积的最大值。 2. 利用一面墙(墙EF最长可利用25米),用砌37米长的墙的材料围成一个矩 形花园ABCD,与围墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口(如图中MN所示,不用砌墙).设边AB的长是x米，矩形花园ABCD的面积是y平方米。 (1)直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，这个矩形花园ABCD的面积y最大，并求出这个最大值； (3)当矩形花园ABCD的面积不小于128平方米时，x的取值范围。 3.某农场计划建一个养鸡场,为了节约材料,鸡场一边靠着原有的−堵墙(墙足够长),另外的部分用30米的竹篱笆围成,现有两种方案：①围成一个矩形(如左图);②围成一个半圆形(如右图).设矩形的面积为S1平方米,宽为x米,半圆形的面积为S2平方米,半径为r米,请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案.(π≈3)
初中数学：利用二次函数解决面积最值问题练习(含答案)
初中数学：利用二次函数解决面积最值问题练习（含答案） 一、选择题 1．关于二次函数y＝x2＋4x－7的最大(小)值,下列叙述正确的是( ) A．当x＝2时,函数有最大值 B．当x＝2时,函数有最小值 C．当x＝－2时,函数有最大值 D．当x＝－2时,函数有最小值 2．如图K－6－1,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是( ) 图K－6－1 A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 3．如图K－6－2所示,C是线段AB上的一个动点,AB＝1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是( ) 图K－6－2 A．当C是AB的中点时,S最小
B．当C是AB的中点时,S最大 C．当C为AB的三等分点时,S最小 D．当C为AB的三等分点时,S最大 4．如图K－6－3,在矩形ABCD中,AB＝2,点E在边AD上,∠ABE＝45°,BE＝DE,连结BD,点P在线段DE上,过点P作PQ∥BD交BE于点Q,连结QD.设PD＝x,△PQD的面积为y,则能表示y与x之间函数关系的图象大致是( ) 图K－6－3 图K－6－4 二、填空题 5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图K－6－5所示,当－5≤x≤0时,函数y 的最大值是________,最小值是________． 图K－6－5
6．已知一个直角三角形两直角边的长度之和为30,则这个直角三角形的面积最大为________． 7．如图K－6－6,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝6 cm,BC＝12 cm,动点P从点A开始沿边AB 向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果点P,Q分别从A,B同时出发,那么经过________s,四边形APQC 的面积最小.链接学习手册例2归纳总结 图K－6－6 8．如图K－6－7①,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图②是点P 运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是________． 图K－6－7 三、解答题 9．某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2)． (1)如图K－6－8①,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大？ (2)如图②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
2020年初三数学下册中考专题复习 二次函数面积最值问题(含答案)
2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题1．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标； （2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积； （3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？ 最大面积是多少？并写出此时M的坐标．
3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由； （3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接P A，PB使得△P AB的面积最大，并求出这个最大值． 4．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB． （1）求抛物线C2的解析式； （2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使P A+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由； （3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．