巧用数形结合思想 解决中学数学难题

＼
。
即 ｏ：２ ，ｃ＝、 ｂ ／
＝、 ｂ ／ ，
－
因此双 曲线 的离心率 ：＿ ：—／ ｃ ～ — ， ３
一
一
．
点， 知ｌ ｌ ｛ ｌ ｉ ｌ 等 已 、 、 成 差
数列 ，Ｈ 与 同 向 ，求 双 曲线 的
离心率．
【 点评】 通过本例 题，必须打破 学生将所有解析几何 问题代
１ ．错将 所 有 几 何 问题 代 数 化
例 １ 如 图 １所 示 ， 双 曲 线 的 中 心 为 原 点 ０，焦 点 在 轴 上 ， 两 条 渐 近线分别为 ｆ ，经 过 右 焦 点 Ｆ垂 直 、ｆ 于 ｆ的 直 线 分 别 交 ｆ、ｆ于 』、 两 １ 。 ２ ４
，
／
且只有一个 点，如图２ １ － ，只需 厂一 ） （１ ・
ｆ（ ） ，（ 一ｎ （ ＋１ ＜０ １ ＜０ １ ）ｎ ） ，所 以 ａ ＞１
或 ｎ １ ＜一 ．
ｌ
—
因 ｌ ｌ ｌ Ｉ ｛等 数 为ｌ ， ， 成 差 列， 所以 ｛ ｊ ｊ ｌ 有２ Ｊ ＝ ＋Ｉ ，
就 本题 而 言 ，基 于 以上 两 点 ，若 采 用代 数 方 法 求 解 ，虽 然 解 题
例２ 已 方 ｉ ＋ ∞ｓ一 ０ ０ ２， 两 知 程ｓｘ ｝ 。 ， ＜ ＜盯 有 ｎ Ｚ ｌ＝
个相异的实根 ，求实数 ｎ的取值范 围．
误 解 ：将 原 方 程 化 为 ｃｓ 一 一 ｓ 一 １ ＝０ 令 ＝ＣＳ 。 ∞。 Ｏ
２１ ０ １年
第 １ ２期 —
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ ｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒ ａ ｆ Ｃ ｉｅ ｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
Ｎ — ２ １ ０１２ ０ １
摘要 ：数 形结合 思想实现 了抽 象思维与形 象思 维之 间的转 换 ，是 中学解题常 用的思想方法之一 ，是 处理集合 、函数与方
程 、数 列 等 问题 的重 要 工 具 ，但 其 运 用并 非 万 无一 失．通 过 具 体
ｌ ｌ ｌ ｌ （Ｉ ｌ ｌ Ｉ， ２ ＋ ： － ）① ２
整 ① 可 ｔ／Ｏ＝ 理 式 得ａ Ａ ｎ Ｂ －
／ ＿ＡＯＦ ＝ ＡｏＢ ．
＝ ， 鹂 ｉ ， 争又 司 ｆ 旬
案 例，对其 造成的误 区进 行分析 ，阐述 了数 形结合在解 决高 中
数 学 问题 时 的正 确 应 用 ，并说 明如 何 利 用好 这 把 “ 刃剑 ” 双 ． 关键 词 ：数 形 结 合 思 想 ；抽 象思 维 ；形 象 思 维 ；转 换
误 区分 析
所 以
＝ ，
一
、
解 之 得 ｔ ／ＡＯ ， ａ ｎ Ｆ＝ 又 ｆ ａ ＡＡＯ ，所 以有 ： １ ｎ＿ Ｆ ：ｔ
列 、距 离 、 向量 等 相 关 信 息 ，如 果 采 用 上 述 建 立 坐 标 系 的 方 法 ２ 数 ” 与 “ ” 的转 化 不 等价 ．“ 形
求解就会 出现 两个弊端 ：（ ）由于参数过 多，就需要挖掘 更 多的 １
等量关系用以消参 ，这 无形 中增大 了解题 的难度 ；（ ）由于距 离 ２ 的 出现会 涉及 到开方运算 ，从 而导致本题 的运 算量过 大．因此 ，
，
原 方 程 在 区 间
解：设双曲线为 一｛ ：１（ ＞０ ； 。 ，ｂ＞０ ，右焦点为 ）
０一
ｆ（） ｔ ：０在 ［ 】 １内 有且 仅 有 一 个 解 ， 一， ）
即二次 函数 ｆ（） 一 ，１ 内和 轴有 ｔ在［ １ ）
一
ｃ ）（ ） ，０ ｃ＞０ ，不 妨 设 ｆ — ｙ＝ ．ｆ ＋ ＝０ １ ：６ ａ ０ ， ：６ ．
又经过右焦点 Ｆ的直线垂直于 ｚ ， ，
根 据题 意 Ａ ，所 以我 们 有 Ｂ上
收 稿 日期 ：２ １—１一 １ ０ ０ ０ Ｏ
图 ２１ 一
分 析 ： 此题 在 解 题 方 法 和 过 程 存 在 疏 漏 ，这 种 解 法 错 误 地
＂
￣ｆ ｆ（） ．ｉ ｔ ＝０在区间［ １ ） ｋＪ 一 ，１ 内有且仅 有一个解便 简单地等价 于
数wk.baidu.com 的思维定 势束缚 ，在 实际教 学中提 高对数形结合 思想 的全
图 １
面认识． 强数形结合思想应用的精确性 ，因此，我们 要注 意分 加
分 析 ：对 于 此例 题 ，我 们 自然 而 然地 想到 建 立 直 角 坐标 系 ， 析题 目中所蕴含 的信息 ，采 用最恰 当的方法解决 问题 ，而不是 利 用点 的 坐标 通 过 代数 方 法 去 处理 ． 是 ，本 题 中蕴 合 了等 差 数 盲 目地 选 择 数 形 结 合 思 想 方 法． 但
误 认 ，ｔ 与 ＝ｎａ０手 上 一 交 ， 解： 为，ａ Ｙｓ （ ）有 个 点 ＝ｎ ｉ ，
因 根 对 性 函 ｔ ｙｓ 在（Ｔ 手）交 此 据 称 ， 数 ＝ｎ与 ＝ｎ 一 ， 上 点 ａ ｉ ＇ ｉ 正 ： 实 ， 数ｙｔ 函 ＝ｉ 在０手） 解 事 上 函 ＝ｎ与 数ｙｓ （ 上 ａ ｎ ，
作者简介 ：朱立明 （９ ６ ） １８ 一 ，男，河北承德人 ，硕士研 究生，主要研究方向为数 学课程 与教 学论
７ ０
＿（ １ 厂（ ） ，然 而 ， 实 际上 ，（ １ ｆ（ ） 厂 一 ）・ １ ＜０ － ）・ １ ＜０只 是 ，（） ｔ ＝０
在 ［１ ） 一 ，１ 内有且仅有一个解的充分不必要 条件．由于对题 中的 条件 分析不全 ，未考虑端点取值 ，因而漏 了特殊的情况．
，
思路 清 晰 ，但 是 解 题 过 程 异 常 繁 琐 ， 若 强硬 地 采 用代 数 方 法 处 其 中 ￡ 一 ，１ ｅ［ ｌ ），设 ，（）＝￡ 一 啦 一下 ￡ ： １ 理，便事与愿违．如果直接利 用几何的意义寻求等量关 系，便柳 （ ，２ 内有 两 个 相 异 的 实 根 ，等 价 于 ０ 竹） 暗花 明 了．