边际分析与效用理论
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让拉格朗日函数分别对选择变量求导，得到约束效 用最大化的一阶条件：
L x y px 0 y px L y x py 0 x py L M xpx yp y 0 xpx yp y M
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
从蕴含逻辑的定义可见，前提的真假与否，并不影 响整个命题的成立，因此，推翻一个蕴含命题，我们不 能从批评前提的真假入手。
第2讲 边际分析与效用理论
2.1 边际分析法
2.1.1 什么是边际（Margin）
边际量是指基准数量变动一个单位所导致总量的变 动量。 基准数量既可以是离散变量，也可以是连续变量。 比如，如果5个人一起进电梯，体重分别是90斤、 100斤、110斤、120斤和130斤。 这时，如果进来一个200斤的胖子……
2.1 边际分析法
边际量与平均量之间的关系
再比如，有一段平均30分钟可以行驶完的高速公路。 如果高速公路不拥挤，增加车辆不会影响车速。但随着车辆越 来越多，当第11辆汽车驶入，道路开始出现拥挤，以至于平均来看， 每辆车都减慢了5分钟，现在平均行驶时间是35分钟，但这不是第11 辆汽车所带来的边际时间量。第11辆汽车的边际时间量，等于这辆 车的平均行驶时间35分钟，加上前面10辆车每辆减慢的5分钟，即 35+5×10=85分钟。
2.2 效用理论
效用函数山与等优曲线
2.2 效用理论
2.2.2 等优曲线（无差异曲线）
根据人的选择偏好四公理，等优曲线具有4点特征： ①等优曲线的完备性。 ②从右上向左下逐次排序。
2.2 效用理论
2.2.2 等优曲线（无差异曲线）
根据人的选择偏好四公理，等优曲线具有4点特征： ③不同的等优曲线不能相交。
2.2 效用理论
2.2.3 效用函数
假设有一效用函数 其中
2.2 效用理论
2.2.3 效用函数
假设效用函数为 那么，等优曲线是什么形状呢？
第2讲 边际分析与效用理论
2.3 约束条件下的最优化模型
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.1 预算约束
已知两类商品的数量和价格，这个人拥有的预算为：
p1 x1 p2 x2 m
2.1.3 边际分析法的例子
这三个例子说明几点重要结论： 一是抽象假设完全通过逻辑推理得出可检验的命题。 二是很多假设看起来很不同，从经验检验的角度看， 其实质是一样的。科研研究不应执着于假设的具体表述 上。
2.2 效用理论
A～B
2.2 效用理论
等优曲线的形状
2.2 效用理论
2.2.2 等优曲线（无差异曲线）
约束效用最大化的二阶充分条件是：
L xx D L yx Lx L xy L yy L y L x L 0 px 1 0 py px p y 2 px p y 0 0
L y 1
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
由隐函数定理可知，从一阶条件式可解出需求函数：
2.1.4 边际分析法的例子
考虑三个关于企业行为的竞争性假说： 1. 企业最大化投入要素的净收入 ； 2. 企业最大化社会贡献函数 ； 3. 企业追求税后销售收入（或总收益）最大化。 假设收入函数是 ，成本函数是 ，税收是 ， 是从量税的 单位税率，是超出企业控制范围之外的变量。 检验
2.1 边际分析法
两个变量最值的条件
2.1 边际分析法
2.1.3 边际分析法
边际的理念可不仅仅是一种数字定义和数字游戏，而是科学的 研究方法。 假设我们从理论上构造一个函数： 从经验角度来看，这一函数关系往往很难被直接观察或检验， 经济学的分析建立于对边际数量的观察上。如果函数可导，则：
上式表示一个可证伪命题。
2.1 边际分析法
s.t.
xpx ypy M
由此构造拉格朗日函数：
L U x, y M xpx yp y
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
让拉格朗日函数分别对选择变量求导，得到约束效 用最大化的一阶条件：
1 L x U x px 0 px x 1 L y U y py 0 py y L M xpx yp y 0 xpx yp y M
x
M M M ,y , 2 px 2 py 2 px p y
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
如果市场中有代表性的消费者的效用函数是： U x2 y 2 那么，消费者在预算约束下最大化模型是：
2.4 一次齐次函数
2.4.1 欧拉定理
定义1：一个函数 当且仅当如等式成立： 被称作r次齐次函数，
在平时生活wenku.baidu.com，如果前提都不存在，我们就不会管 结论如何。但要全面表述蕴含这一逻辑命题，必须完整 说清楚所有情况。 不仅要说明如果前提成立，结论真假与否，整个命 题是否成立，而且要说明如果前提不成立，结论真假与 否，整个命题是否成立。
西方经济学
第2讲 边际分析与效用理论
2.0 回顾与评讲
2.0.2 蕴含逻辑的全部含义
2.2 效用理论
2.2.3 效用函数 收入：外部的实际收入 内部的精神收入——效用
2.2 效用理论
“存在即被感知”
2.2 效用理论
2.2.3 效用函数 收入：外部的实际收入 内部的精神收入——效用
2.2 效用理论
2.2.3 效用函数
基数效用： 指派数字 的单位刻度是一致的，是具有实际意义的， 是可检测的。 边沁的“最大多数人的最大福利” 序数效用： 指派数字 仅具有排序功能。比如， ， 。 序数性质是指函数具有单调递增变换的性质。
dz dz d z d dz dx dy x y
f xx dx f xy dy dx f yx dx f yy dy dy
f xx dx2 2 f xy dxdy f yy dy 2
第2讲 边际分析与效用理论
可得预算约束线为：
x2 m p2 p1 p2 x1
由预算约束线公式可知 x2 x2 x1 等式两边求导：
p1 p2 dx2 0 dx1 dx2 p 1 dx1 p2
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.1 预算约束
第2讲 边际分析与效用理论
预算线的变动
预算线的扩展
单变量最大值与最小值的条件
第2讲 边际分析与效用理论
2.1.2.2 两个变量的最值
z f x, y
第2讲 边际分析与效用理论
在两变量情况下，一阶全微分为： 二阶全微分为：
2
dz f x dx f y dy
f dx f dy dx f x dx f y dy dy x y x y
2.3.2 约束条件下的最优化模型
如果市场中有代表性的消费者的效用函数是：
U xy
那么，消费者在预算约束下最大化模型是： max U xy
s.t.xpx yp y M
由此构造拉格朗日函数：
L xy M xpx yp y
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
2.1 边际分析法
边际量与平均量之间的关系
以上面胖子进电梯为例。 胖子进电梯之前，5个人平均体重是110斤，进来之后6个人的平 均体重为125斤，但胖子的影响可不仅仅是这125斤。胖子进电梯之 后，还改变了之前5个人的平均体重，现在平均体重增加了15斤，5 个人共增加了75斤，因此，边际量是平均量加上对以前平均量的影 响总量，即125+75=200斤。
max f x1 , x2
s.t.g x1, x2 c
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
如果市场中有代表性的消费者的效用函数是：
U log x log y
那么，消费者在预算约束下最大化模型是： max U log x log y
第2讲 边际分析与效用理论
2.1 边际分析法
什么是边际（Margin）
偏导数
学习成绩函数 比如，想看学习时间的变化会给学习成绩带来怎样的影响， 那就必须保持其他因素不变，即：
第2讲 边际分析与效用理论
2.1 边际分析法
边际量与平均量之间的关系
式
假设开车距离是开车时间的函数即 ，两边分别求导，即： ，现对平均速度等
一次齐次函数，也叫线性齐次函数是规模报酬不变 生产函数，即
2.2 一次齐次函数
考虑Cob-Douglass生产函数 如果劳动与其他要素扩张相同的倍数t，那么，
即产出与各要素投入的扩大比例是一样的，这个生 产函数是规模报酬不变的生产函数。 Cob-Douglass生产函数的各要素的边际产出分别是：
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
约束效用最大化的二阶充分条件是：
1 x2 0 px 0 1 2 y py px
2 px py 2 2 0 x y 0 2 py
L xx D L yx Lx
L xy L yy L y
L x U xx L y U yx L px
第2讲 边际分析与效用理论
2.1.2 最优化模型
最优化就是寻求净收入最大化或成本最小化。
2.1.2.1 单变量的相对最值与绝对最值。
第2讲 边际分析与效用理论
2.1.2.1 单变量的相对最值与绝对最值。
最值情况的特点
第2讲 边际分析与效用理论
单变量最大值与最小值的条件
最大值与最小值的斜率变化
第2讲 边际分析与效用理论
第2讲 边际分析与效用理论
预算线的变动
预算线的转动
第2讲 边际分析与效用理论
预算线的变动
预算线的截断
第2讲 边际分析与效用理论
预算线的变动
预算线变陡峭
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
将效用理论与预算约束组合起来就是经济学的基本模 型——人在约束条件下最优化模型：
x1 , x2
西方经济学
第2讲 边际分析、效用理论
2.0 回顾与评讲
2.0.1 经济学基本模型刻画“经济”的含义
元假设一：理性人模型（最优化） 元假设二：人总是在约束条件下行动 经济学分析的基本模型：人在约束条件下追求自 身净收入最大化——经济
西方经济学
第2讲 边际分析与效用理论
2.0 回顾与评讲
2.0.2 蕴含逻辑的全部含义
2.2 效用理论
2.2.2 等优曲线（无差异曲线）
等优曲线具有4点特征： ④等优曲线凸向原点，即等优曲线的消费束的边际 替代率递减。
2.2 效用理论
2.2.2 等优曲线（无差异曲线）
以等优曲线表现人的选择偏好的几个实例
2.2 效用理论
2.2.3 效用函数
效用 商品、服务对消费者的有用性，是消费者的主观评价。 效用函数 人的选择偏好排序的函数，是对人的每一个先后选择 行为指派一个数字。 比如，如果某人的选择行为是 A B C D ,那么， 该人的效用函数就是 U A U B U C U D
2.1 边际分析法
边际量与平均量之间的关系
由以上例子可知，边际量是基准数量的变动 所导致总量的变动量。基准数量的变动量既可以 是离散数量，也可以是连续数量。因此，边际分 析既包括连续分析，也包括角点分析，跳跃与断 点都是边际分析；既能够处理从少到多的变化， 也能够处理从无到有的变化，所以，没有所谓 “超边际分析”。
第2讲 边际分析与效用理论
2.1 边际分析法
什么是边际（Margin）
如果基准数量的变动不是离散的而是连续的，当基准数量趋于零 时总量的变动量是收敛的，那么，边际量就是微积分中的导数概念。 比如，开车10小时一共跑了1000公里。 100公里/小时是一个平均速度。如果要知道某个瞬时速度，那 么，就必须要知道在那个时刻车子跑的距离，即：
U xy U yy py
px py 0
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
由隐函数定理可知，从一阶条件式可解出需求函数： 1 1 x ,y px py
xpx yp y M
M M 2 x ,y , 2 px 2 py M
第2讲 边际分析与效用理论
L x y px 0 y px L y x py 0 x py L M xpx yp y 0 xpx yp y M
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
从蕴含逻辑的定义可见，前提的真假与否，并不影 响整个命题的成立，因此，推翻一个蕴含命题，我们不 能从批评前提的真假入手。
第2讲 边际分析与效用理论
2.1 边际分析法
2.1.1 什么是边际（Margin）
边际量是指基准数量变动一个单位所导致总量的变 动量。 基准数量既可以是离散变量，也可以是连续变量。 比如，如果5个人一起进电梯，体重分别是90斤、 100斤、110斤、120斤和130斤。 这时，如果进来一个200斤的胖子……
2.1 边际分析法
边际量与平均量之间的关系
再比如，有一段平均30分钟可以行驶完的高速公路。 如果高速公路不拥挤，增加车辆不会影响车速。但随着车辆越 来越多，当第11辆汽车驶入，道路开始出现拥挤，以至于平均来看， 每辆车都减慢了5分钟，现在平均行驶时间是35分钟，但这不是第11 辆汽车所带来的边际时间量。第11辆汽车的边际时间量，等于这辆 车的平均行驶时间35分钟，加上前面10辆车每辆减慢的5分钟，即 35+5×10=85分钟。
2.2 效用理论
效用函数山与等优曲线
2.2 效用理论
2.2.2 等优曲线（无差异曲线）
根据人的选择偏好四公理，等优曲线具有4点特征： ①等优曲线的完备性。 ②从右上向左下逐次排序。
2.2 效用理论
2.2.2 等优曲线（无差异曲线）
根据人的选择偏好四公理，等优曲线具有4点特征： ③不同的等优曲线不能相交。
2.2 效用理论
2.2.3 效用函数
假设有一效用函数 其中
2.2 效用理论
2.2.3 效用函数
假设效用函数为 那么，等优曲线是什么形状呢？
第2讲 边际分析与效用理论
2.3 约束条件下的最优化模型
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.1 预算约束
已知两类商品的数量和价格，这个人拥有的预算为：
p1 x1 p2 x2 m
2.1.3 边际分析法的例子
这三个例子说明几点重要结论： 一是抽象假设完全通过逻辑推理得出可检验的命题。 二是很多假设看起来很不同，从经验检验的角度看， 其实质是一样的。科研研究不应执着于假设的具体表述 上。
2.2 效用理论
A～B
2.2 效用理论
等优曲线的形状
2.2 效用理论
2.2.2 等优曲线（无差异曲线）
约束效用最大化的二阶充分条件是：
L xx D L yx Lx L xy L yy L y L x L 0 px 1 0 py px p y 2 px p y 0 0
L y 1
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
由隐函数定理可知，从一阶条件式可解出需求函数：
2.1.4 边际分析法的例子
考虑三个关于企业行为的竞争性假说： 1. 企业最大化投入要素的净收入 ； 2. 企业最大化社会贡献函数 ； 3. 企业追求税后销售收入（或总收益）最大化。 假设收入函数是 ，成本函数是 ，税收是 ， 是从量税的 单位税率，是超出企业控制范围之外的变量。 检验
2.1 边际分析法
两个变量最值的条件
2.1 边际分析法
2.1.3 边际分析法
边际的理念可不仅仅是一种数字定义和数字游戏，而是科学的 研究方法。 假设我们从理论上构造一个函数： 从经验角度来看，这一函数关系往往很难被直接观察或检验， 经济学的分析建立于对边际数量的观察上。如果函数可导，则：
上式表示一个可证伪命题。
2.1 边际分析法
s.t.
xpx ypy M
由此构造拉格朗日函数：
L U x, y M xpx yp y
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
让拉格朗日函数分别对选择变量求导，得到约束效 用最大化的一阶条件：
1 L x U x px 0 px x 1 L y U y py 0 py y L M xpx yp y 0 xpx yp y M
x
M M M ,y , 2 px 2 py 2 px p y
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
如果市场中有代表性的消费者的效用函数是： U x2 y 2 那么，消费者在预算约束下最大化模型是：
2.4 一次齐次函数
2.4.1 欧拉定理
定义1：一个函数 当且仅当如等式成立： 被称作r次齐次函数，
在平时生活wenku.baidu.com，如果前提都不存在，我们就不会管 结论如何。但要全面表述蕴含这一逻辑命题，必须完整 说清楚所有情况。 不仅要说明如果前提成立，结论真假与否，整个命 题是否成立，而且要说明如果前提不成立，结论真假与 否，整个命题是否成立。
西方经济学
第2讲 边际分析与效用理论
2.0 回顾与评讲
2.0.2 蕴含逻辑的全部含义
2.2 效用理论
2.2.3 效用函数 收入：外部的实际收入 内部的精神收入——效用
2.2 效用理论
“存在即被感知”
2.2 效用理论
2.2.3 效用函数 收入：外部的实际收入 内部的精神收入——效用
2.2 效用理论
2.2.3 效用函数
基数效用： 指派数字 的单位刻度是一致的，是具有实际意义的， 是可检测的。 边沁的“最大多数人的最大福利” 序数效用： 指派数字 仅具有排序功能。比如， ， 。 序数性质是指函数具有单调递增变换的性质。
dz dz d z d dz dx dy x y
f xx dx f xy dy dx f yx dx f yy dy dy
f xx dx2 2 f xy dxdy f yy dy 2
第2讲 边际分析与效用理论
可得预算约束线为：
x2 m p2 p1 p2 x1
由预算约束线公式可知 x2 x2 x1 等式两边求导：
p1 p2 dx2 0 dx1 dx2 p 1 dx1 p2
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.1 预算约束
第2讲 边际分析与效用理论
预算线的变动
预算线的扩展
单变量最大值与最小值的条件
第2讲 边际分析与效用理论
2.1.2.2 两个变量的最值
z f x, y
第2讲 边际分析与效用理论
在两变量情况下，一阶全微分为： 二阶全微分为：
2
dz f x dx f y dy
f dx f dy dx f x dx f y dy dy x y x y
2.3.2 约束条件下的最优化模型
如果市场中有代表性的消费者的效用函数是：
U xy
那么，消费者在预算约束下最大化模型是： max U xy
s.t.xpx yp y M
由此构造拉格朗日函数：
L xy M xpx yp y
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
2.1 边际分析法
边际量与平均量之间的关系
以上面胖子进电梯为例。 胖子进电梯之前，5个人平均体重是110斤，进来之后6个人的平 均体重为125斤，但胖子的影响可不仅仅是这125斤。胖子进电梯之 后，还改变了之前5个人的平均体重，现在平均体重增加了15斤，5 个人共增加了75斤，因此，边际量是平均量加上对以前平均量的影 响总量，即125+75=200斤。
max f x1 , x2
s.t.g x1, x2 c
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
如果市场中有代表性的消费者的效用函数是：
U log x log y
那么，消费者在预算约束下最大化模型是： max U log x log y
第2讲 边际分析与效用理论
2.1 边际分析法
什么是边际（Margin）
偏导数
学习成绩函数 比如，想看学习时间的变化会给学习成绩带来怎样的影响， 那就必须保持其他因素不变，即：
第2讲 边际分析与效用理论
2.1 边际分析法
边际量与平均量之间的关系
式
假设开车距离是开车时间的函数即 ，两边分别求导，即： ，现对平均速度等
一次齐次函数，也叫线性齐次函数是规模报酬不变 生产函数，即
2.2 一次齐次函数
考虑Cob-Douglass生产函数 如果劳动与其他要素扩张相同的倍数t，那么，
即产出与各要素投入的扩大比例是一样的，这个生 产函数是规模报酬不变的生产函数。 Cob-Douglass生产函数的各要素的边际产出分别是：
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
约束效用最大化的二阶充分条件是：
1 x2 0 px 0 1 2 y py px
2 px py 2 2 0 x y 0 2 py
L xx D L yx Lx
L xy L yy L y
L x U xx L y U yx L px
第2讲 边际分析与效用理论
2.1.2 最优化模型
最优化就是寻求净收入最大化或成本最小化。
2.1.2.1 单变量的相对最值与绝对最值。
第2讲 边际分析与效用理论
2.1.2.1 单变量的相对最值与绝对最值。
最值情况的特点
第2讲 边际分析与效用理论
单变量最大值与最小值的条件
最大值与最小值的斜率变化
第2讲 边际分析与效用理论
第2讲 边际分析与效用理论
预算线的变动
预算线的转动
第2讲 边际分析与效用理论
预算线的变动
预算线的截断
第2讲 边际分析与效用理论
预算线的变动
预算线变陡峭
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
将效用理论与预算约束组合起来就是经济学的基本模 型——人在约束条件下最优化模型：
x1 , x2
西方经济学
第2讲 边际分析、效用理论
2.0 回顾与评讲
2.0.1 经济学基本模型刻画“经济”的含义
元假设一：理性人模型（最优化） 元假设二：人总是在约束条件下行动 经济学分析的基本模型：人在约束条件下追求自 身净收入最大化——经济
西方经济学
第2讲 边际分析与效用理论
2.0 回顾与评讲
2.0.2 蕴含逻辑的全部含义
2.2 效用理论
2.2.2 等优曲线（无差异曲线）
等优曲线具有4点特征： ④等优曲线凸向原点，即等优曲线的消费束的边际 替代率递减。
2.2 效用理论
2.2.2 等优曲线（无差异曲线）
以等优曲线表现人的选择偏好的几个实例
2.2 效用理论
2.2.3 效用函数
效用 商品、服务对消费者的有用性，是消费者的主观评价。 效用函数 人的选择偏好排序的函数，是对人的每一个先后选择 行为指派一个数字。 比如，如果某人的选择行为是 A B C D ,那么， 该人的效用函数就是 U A U B U C U D
2.1 边际分析法
边际量与平均量之间的关系
由以上例子可知，边际量是基准数量的变动 所导致总量的变动量。基准数量的变动量既可以 是离散数量，也可以是连续数量。因此，边际分 析既包括连续分析，也包括角点分析，跳跃与断 点都是边际分析；既能够处理从少到多的变化， 也能够处理从无到有的变化，所以，没有所谓 “超边际分析”。
第2讲 边际分析与效用理论
2.1 边际分析法
什么是边际（Margin）
如果基准数量的变动不是离散的而是连续的，当基准数量趋于零 时总量的变动量是收敛的，那么，边际量就是微积分中的导数概念。 比如，开车10小时一共跑了1000公里。 100公里/小时是一个平均速度。如果要知道某个瞬时速度，那 么，就必须要知道在那个时刻车子跑的距离，即：
U xy U yy py
px py 0
第2讲 边际分析与效用理论
2.3.2 约束条件下的最优化模型
由隐函数定理可知，从一阶条件式可解出需求函数： 1 1 x ,y px py
xpx yp y M
M M 2 x ,y , 2 px 2 py M
第2讲 边际分析与效用理论