飞行器常用坐标系学时

③从过渡坐标系 S′′ − ox′′y′′z′′ 转动滚转角 φ
⎡ x⎤ ⎡1
⎢ ⎢
y
⎥ ⎥
=
⎢⎢0
⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣0
0
cosφ − sinφ
0 ⎤ ⎡ x′′⎤
sin
φ
⎥ ⎥
⎢ ⎢
y′′⎥⎥
cosφ ⎥⎦ ⎢⎣ z′′⎥⎦
到机体坐标系Sb (oxb yb z b ) ，即
一定要注意变换的次序。 先偏航，再俯仰， 再滚转
地面坐标系的转动角速度在机体坐标系各轴上的分量。 ① 角速度 p ，与机体轴oxb 重合一致； ② 角速度 q，与机体轴oyb 重合一致；
③ 角速度r ，与机体轴ozb 重合一致。
应当注意：上述三个角速度分量，在有些教材中分别表述成 滚转角速度、俯仰角速度和偏航角速度，其实是不准确的。 这样容易被理解成滚转角速度 φ ，俯仰角速度 θ 和偏航角速
sin β cos β
0
sinα cos β ⎤
−
sin
α
sin
β
⎥ ⎥
cosα ⎥⎦
从地面坐标系到机体坐标系的转换
①从地面坐标系 Sg 转动偏航角ψ 到过渡坐标系 S′ − ox′y′z′ ，即
⎡ x′⎤ ⎡ cosψ
⎢ ⎢
y′⎥⎥
=
⎢⎢−
sinψ
⎢⎣ z′⎥⎦ ⎢⎣ 0
sinψ cosψ
0
顺时针旋转的转换矩阵
Lpq
=
⎡ xq ⎤
⎢ ⎣
yq
⎥ ⎦
=
⎡cosα ⎢⎣ sin α
− sinα ⎤ ⎡ xp ⎤
cosα
⎥⎦
⎢ ⎣
y
p
⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
yq xq
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ cosα ⎢⎣− sinα
sinα ⎤ ⎡ yp ⎤
cos
α
⎥ ⎦
⎢ ⎣
x
p
⎥ ⎦
转换矩阵的性质
预备知识 基元旋转
稳定系和气流系的关系
稳定系绕立 轴向右转一 个侧滑角即 得气流系
航迹系和气流系的关系
航迹系Ox轴和气流坐 标系相同，航迹系绕 纵轴转动一个航迹滚 转角得到气流系
航迹系和地面系的关系
地面系绕立轴转一 个航迹方位角，再 绕横轴转一个航迹 倾斜角得航迹系
5个轴系之间的关系
机体坐标系的角速分量
机体坐标系的三个角速度分量 p ，q ，r 是机体坐标系相对于
飞机的运动参数和常用坐 标系及飞机的操纵机构
1.常用坐标系（5种） 2.飞机的运动参数定义 3.常用坐标系之间的变换 4.欧美系和苏式坐标系的区别和联系 5.常规飞机的操纵机构和操纵舵面极性
刚体飞行器的空间运动可以分为两部分：质心 运动和绕质心的转动。描述任意时刻的空间运动需 要六个自由度：三个质心运动和三个角运动。
苏式坐标系也是右手坐标系，与欧美系不同 的是：oy轴向上，oz轴垂直于oxy平面向右
航迹轴系
yh
yd 铅垂面
θ yq
γs
xh(V)
θ
ψs xd
O
ψs γs
zd
水平面 zh
O:飞机质心
Oxh :沿速度矢 Oxhyh:铅垂面
(指向上为正)
Ozh:水平面内
zq
机体轴系
yd
yt 铅垂面
ϑ
飞机对称面
γ
基元旋转，坐标系绕它的一个轴旋转
绕 ox 轴的旋转矩阵 沿ox轴正向看是顺时针旋转
但坐标排列次序相反
⎡1 0
0⎤
T (φ ) = ⎢⎢0
cosφ
sin
φ
⎥ ⎥
⎢⎣0 − sinφ cosφ ⎥⎦
沿
绕 oy 轴的旋转矩阵 oy轴正向看是顺时针旋转
沿
绕 oz 轴的旋转矩阵 oz 轴正向看是顺时针旋转
稳定坐标轴系 和机体轴差一 个迎角，机体 系绕Oy轴向下 转一个迎角得 稳定系，稳定 系再绕立轴向 右转一个侧滑 角即得气流系
5.航迹坐标轴系
①原点O取在飞机质心处，坐标系与飞 机固连
②xk轴与飞行速度V重合一致 ③zk轴在位于包含飞行速度V在内的铅
垂面内，与xk轴垂直并指向下方 ④yk轴垂直于Oxkzk平面并按右手定则
但坐标排列次序相反
⎡cosθ 0 − sinθ ⎤
T
(θ
)
=
⎢ ⎢
0
1
0
⎥ ⎥
⎢⎣sinθ 0 cosθ ⎥⎦
⎡ cosψ sinψ 0⎤
T (ψ ) = ⎢⎢− sinψ cosψ 0⎥⎥
⎢⎣ 0
0 1⎥⎦
转换矩阵的计算和旋转顺序的选择原则
转换矩阵的计算 坐标系之间的转换矩阵可以通过若干个基元矩阵依次左乘得
① 航迹倾斜角γ —速度矢量与
地平面 og xg yg之间的夹角；
② 航迹方位角χ —速度矢量在
地平面og xg yg 的投影与
o
g
x
轴的夹
g
角；
③ 航迹滚转角 μ — ozw 轴与包
含 oxw 轴的垂直平面的夹角。
气流角
是由飞行速度矢量与机体坐标系之间的关系确定的
① 迎角α ，也称攻角—飞机速度矢量在飞机对称面的投影 与oxb 轴的夹角，以速度投影在 oxb 轴下为正，当 φ = 0 时
⎡ xs ⎤ ⎡ cosα 0 sinα ⎤ ⎡ x⎤
⎢ ⎢
ys
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
0
1
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
y ⎥⎥
为什么？
⎢⎣ zs ⎥⎦ ⎢⎣− sinα 0 cosα ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦
②再从稳定坐标系 Ss (os xs ys zs ) 转动侧滑角β 到气流坐标系Sw (ow xw yw zw )，即
一、常用坐标系（欧美系）
1.地面坐标系 S g (og xg yg zg ) og 地面任意点，og xg水平面任意方向，og zg 垂直地面指 向地心，og xg yg水平面（地平面），符合右手规则。
地面坐标系常用于指示飞机的方位， 近距离导航和航迹控制
2.机体坐标系 Sb (obxb ybzb )
0 0
⎤ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎢
xg yg
⎤ ⎥ ⎥
1⎥⎦ ⎢⎣ zg ⎥⎦
②从过渡坐标系 S′ − ox′y′z′ 转动俯仰角 θ 到过渡坐标系 S′′ − ox′′y′′z′′，即
⎡ x′′⎤ ⎡cosθ 0 − sinθ ⎤ ⎡ x′⎤
⎢ ⎢
y′′⎥⎥
=
⎢ ⎢
0
1
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
y′⎥⎥
⎣⎢ z′′⎥⎦ ⎢⎣sinθ 0 cosθ ⎦⎥ ⎣⎢ z′⎦⎥
度 ψ ，而 p 只有在俯仰角θ 为零且偏航角也为零时才等
于φ ， q 只有在飞机无滚转且无偏航时才等于θ ， r 只有
在无滚转或无偏航时才等于ψ 。
机体坐标系的角速度分量与姿态角变化率之间的关系
⎧
p = φ −ψ sinθ
⎪ ⎨
q
=
θ
cosφ
+ψ
cosθ
sin
φ
⎪⎩r = −θ sinφ +ψ cosθ cosφ
O
ψγ
xt
ϑ
ψ
xd O:飞机质心
Oxt :沿对称面
水平面
内参考线 (指向 机头为正)
Oyt:对称面内
⎡ xw ⎤ ⎡ cos β sin β 0⎤ ⎡ xs ⎤
⎢ ⎢
yw
⎥ ⎥
=
⎢⎢−
sin
β
cos β
0⎥⎥
⎢ ⎢
ys
⎥ ⎥
⎢⎣ zw ⎥⎦ ⎢⎣ 0
0 1⎥⎦ ⎢⎣ zs ⎥⎦
③由机体坐标系到气流坐标系的转换阵为
⎡ cosα cos β Sαβ = ⎢⎢− cosα sin β
⎢⎣ − sinα
到
旋转顺序的选择原则 选择旋转顺序是一个工程问题，下列原则： 使Euler角有明确的物理意义角有明确的物理意义 遵循工程界的传统习惯遵循工程界的传统习惯 使Euler角可测量角可测量
Байду номын сангаас
机体坐标系和气流坐标系之间的转换
①从机体坐标系 Sb (oxb ybb zb )转动迎角 α 到稳定坐标系 Ss (os xs ys zs ) ，即有
由地面坐标系到机体坐标系的转换矩阵为
⎡
cosθ cosψ
Sψθφ = ⎢⎢(sin φ sinθ cosψ − cosφ sinψ )
⎢⎣(cosφ sinθ cosψ + sinφ sinψ )
cosθ sinψ (sinφ sinθ sinψ + cosφ cosψ ) (cosφ sinθ sinψ − sinφ cosψ )
α =θ −γ
② 侧滑角 β —飞机速度矢量与飞机对称面的夹角，当φ = 0 时，β = χ −ψ。
迎角不同于飞机的姿态角
5个轴系之间的关系
地面系和机体系的关系
定义了三个欧拉 角，由地面系先绕 立轴右转偏航角， 再绕横轴转俯仰， 再绕纵轴转滚转得 机体系
稳定系和机体系的关系
稳定坐标轴系 和机体轴差一 个迎角，机体 系绕横轴向下 转一个迎角得 稳定系
o 飞机质心位置，oxb 取飞机设计轴指向机头方
向，ozb 处在飞机对称面垂直oxb 指向下方， oyb 垂直oxb zb面指向飞机右侧，符合右手规则。
机体坐标系常用来 描述飞机的气动力 矩和绕质心的转动
横轴
纵轴
立轴
俯仰
滚转
偏转
3.气流坐标系 Sw(owxw ywzw) ，也称速度坐标系 ow飞机质心位置，ow xw 取飞机速度方向且重合， ow zw 处在飞机对称面垂直 owxw 指向下方，ow yw垂直 面 oxwzw指向飞机右侧，符合右手规则。
② 偏航角ψ —机体轴oxb 在地平面og xg yg平面的投影与 og xg 轴

的夹角，ψ
③ 滚转角φ
与o —
gozzgb轴轴方与向包一含致ox，b 轴垂的直垂于直地平平面面的,右夹偏角航，为φ正与；
oxb轴方向一致，右滚转为正。
欧拉角(姿态角)
航迹角
航迹角是由气流坐标系于地面坐 标系之间的关系确定的 。
作用在飞机上的重力、推力和气动力及其相应 的力矩产生原因各不相同，选择合适的坐标系来方 便的描述飞机的空间运动状态是非常重要的。
在一般情况下，由于飞机均在大气层内飞行， 其飞行高度有限，为了简化所研究问题的复杂性， 有必要进行下列合理假设：
①忽略地球曲率，即采用所谓的“平板地球假设”；
②认为地面坐标系为惯性坐标系。
⎢⎣sin γ cos χ cos μ + sin χ sin μ
cosγ sin χ sin γ sin χ sin μ + cos χ cos μ sin γ sin χ cos μ − cos χ cos μ
− sin γ ⎤
cos γ
sin
μ
⎥ ⎥
cosγ cos μ ⎥⎦
苏式坐标系及其姿态角定义
− sinθ ⎤
sin
φ
cosθ
⎥ ⎥
cosφ cosθ ⎥⎦
地面坐标系与气流坐标系的转换
采用和从地面坐标系到机体坐标系类似的转 换次序，先转出航迹方位角，再旋转出航迹 倾斜角，最后得航迹滚转角，得到从地面坐 标系到气流坐标系的转换方向余弦阵
⎡
cosγ cos χ
Sγχμ = ⎢⎢sin γ cos χ sin μ − sin χ cos μ
⎧ ⎪
θ = q cosφ − r sinφ
⎪⎨φ = p + (r cosφ + q sinφ) tanθ
⎪ ⎪ ⎩
ψ
=
1
cosθ
(r cosφ
+ q sinφ)
当 θ = 0 时，上面的公式是奇异的
如何解决？
用四元数（Quaternion）法计算
机体坐标系的速度分量
机体坐标系的三个速度分量( u ，v ，w)是飞行 速度 V 在机体坐标系各轴上的分量。
① u ：与机体轴 oxb 重合一致；
② v ，与机体轴 oyb 重合一致；
③ w ，与机体轴 ozb 重合一致。
常用坐标系之间的转换
为了方便地描述飞机的空间运动状态，必须选择合适的坐标 系。通常将作用在飞机机体上的力和力矩分别投影到机体坐 标系中来分析飞机的角运动，而气流坐标系主要通过两个气 流角和来描述飞机相对于气流的位置，进而确定作用在飞机 上空气动力的大小。如果选机体坐标系来描述飞机的空间转 动状态，则推力可以直接在机体坐标系中表示，而气动力则 要有气流坐标系转换到机体坐标系，重力则需要从地面坐标 系转换到机体坐标系，这样才能够使得作用在不同坐标系中 的力统一到所选定的坐标系中，进而建立沿各个坐标轴的力 的方程以及绕各轴的力矩方程。所以，坐标系之间的转换是 建立飞机运动方程不可缺少的重要环节。
确定
航迹系Ox轴和气流坐标系相同，航迹系 绕Ox轴转动一个航迹滚转角得到气 流系，地面系绕OZ轴转一个航迹方 位角，在绕Oy轴转一个航迹倾斜角 得航迹系
飞机的运动参数
1.姿态角（Euler角）
飞机的姿态角是由机体坐标系和地面坐标系之间的 关系确定的
θ①与 o俯yb轴仰方角θ向—一机致体，轴俯仰oxb角与抬地头平为面正og；xg y平g 面的夹角，φ = 0 时
速度坐标系常用来 描述飞机的气动力
若无侧滑，则气 流系横轴和机体 系横轴一致
4.稳定坐标轴系(Stability coordinate frame)Ss------Oxsyszs①原点O取在飞机质心处，坐标系与飞机固连② xs轴与飞行速度V在飞机对称平面内的投影重合一致③zs 轴在飞机对称平面与xs轴垂直并指向机腹下方,与气流系 Zw一致 ④ys轴与机体轴yb重合一致