高等数学 上交大 课件 PPT 第三章 微分中值定理与导数的应用

x
tan
x)
1
lim(
x
π 2
cos
x
sin cos
x x
)
lim 1 sin x lim cos x
x
π 2
cos x
x
π 2
sin x
DMU
第二节 洛必达法则
例 求 lim xx.
x0
e 解 lim xx lim exln x
x0
x0
lim x ln x
x0
1
lim x0
x ln
则F(a) F(b) (a, b) 使 F'( ) 0 f '( ) k 故结论成立.
DMU
第一节 微分中值定理
怎样用拉格朗日定理
f (x x) f (x) f (x x)x(有限增量形式)
1. 何时用：出现
f f
( x2
' (
) )
f (x1)
2. 怎样用? 用来证明不等式和等式.
或出现两个不同函数在某点的导数：f '(), F().
例 证明 证
左边
0
e x1 x1
x1 exxx222xx12xe(2x(1exx2 xx1ex)x12)'
x2 x1
(1)' x
e (1 ) 右
x
(1
)e (
exx e
x2
1 x2
(
x
x1
x
, x2 ))
DMU
第二节 洛必达法则
注: 1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. y
如,
y
o 1x
y
1 o 1 x
2) 定理条件只是充分的.
DMU
o 1x
第一节 微分中值定理
•怎样用罗尔定理证方程的根的存在性
例 已知
a0
a1 2
an n 1
0
证明: , 使得 a0 a1 an n 0
证 令 f '(x) a0 a1x an xn
1.洛必达法则（ 0 ， ）
2.
0
0，
，00
，0
，1
•定理（ 0 型未定式） 0
2) f (x)与F (x) 在(a)内可导,
3) lim f (x) 存在 (或为 )
xa F(x) lim
f (x)
lim
f (x)
xa F (x) xa F(x)
DMU
第二节 洛必达法则
证 令 f (a) F(a) 0, 在指出的邻域内任取
DMU
第二节 洛必达法则
➢
lim
x
x sin x x cos x
1 1 sin x lim x x 1 1 cos x
1(不能用罗必达法则)
x
例
求
lim
x0
tan x x x2 sin x
.
解
注意到
lim
x0
sec2 x 3x2
～
1
, 故原式
lim
x0
tan 2 3x2
x
lim
x0
1 3
2!
n!
（x 0)
➢几个初等函数的泰勒展开式
sin x 1 x3 x5 (1)n1 x2n1 o(x2n1)
sin
x
1
3! x3
5! x5
(2n 1)! (1)n1 x2n1 sin(
2n 1
2
) x 2 n1
3! 5!
(2n 1)!
(2n 1)!
ex 1 x x2 xn o(xn )
sin
2x
x2 cos2 x
1 2
(2x sin 2x) x2 cos2 x
0
故 f (x2 ) f (x1)
即 tan x2 tan x1
x2
x1
例设
,则
证
0
在 I 上为常数 .
DMU
第一节 微分中值定理
•柯西(Cauchy)中值定理 y
f (b)
及 满足 :
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 f (a)
a1 f '(x0 )
an
1 n!
f
(n) ( x0 )
f (x)
f (x0 )
f '(x0 )(x x0 )
f
(n) (x0 n!
)
(
x
xn
)n
DMU
第三节 泰勒公式
•泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
(n) (x0 ) (x n!
第三章 微分中值定理
与导数的应用
中值定理
罗尔中值定理
推广
拉格朗日中值定理
泰勒公式
柯西中值定理
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 应用
利用导数解决实际问题
DMU
第三章 微分中值定理及导数的应用
第一节 微分中值定理
第二节 洛必达法则
第三节 泰勒公式
第四节 函数的单调性
第五节 函数的极值与最值
第六节 曲线的凹凸性与拐点
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 o F(a) F()
(3)在开区间 ( a , b ) 内
F(b) x
则至少存在一点
使 f (b) f (a) f ( ) .
F (b) F (a) F( )
证 设 k f (b) f (a) 即 f (b) kF(b) f (a) kF(a)
例 证
证明不等式: 0 设 f (x) tan x
x1
,则
x2
π 2
时
,
tan x1 x1
tan x2 x2
.
x
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1)
DMU
第一节 微分中值定理
f
(x)
x sec2
x x2
tan
x
x sin x cos x x2 cos2 x
x
1 2
y
y f (x)
o a
bx
则 在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
证 M 和最小值 m .
故在[ a , b ]上取得最大值
1.若 M = m , 则
因此
DMU
第一节 微分中值定理
2. 若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f ( ) 0.
则f
(
x)
a0
x
1 2
a1x2
an n 1
x n 1
且f 0 0 f (1) 0
, 使 f ' 0
即a0 a1 an n 0
DMU
第一节 微分中值定理
例 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
x ,
0 换为 ,
0
条件 2) 作相应的修改 , 结论仍然成立.
例求
lim 6x
x1 6x 2
lim 6 1 x1 6
解
原式
lim
x1
3x2 3 3x2 2x 1
lim 6x 3 x1 6x 2 2
注: 1.不是未定式不能用洛必达法则 !
DMU
第二节 洛必达法则
x2 cos 1 ln(1 x)
由零点定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性(反证法) .
假设另有
f (x)在以
x0 与 x1为端点的区间满足罗尔定理条件 ,
在 x0 , x1 之间
但
矛盾.
DMU
第一节 微分中值定理
•拉格朗日中值定理
y
y f (x)
满足:
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 o a
2. 带有佩亚若型余项的泰勒公式：
f (x) f (x0) f '(x0)(x x0)
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
o[(x x0)n ]
DMU
第三节 泰勒公式
3. 麦克劳林公式： x0 0
f (x) f (0) f '(0)x f ''(0) x2 f (n) (0) xn o(xn )
则
在以 x, a 为端点的区间上满足柯
西定理条件, 故
f (x) f (x) f (a) f ( ) F (x) F (x) F (a) F( )
( 在 x , a 之间)
lim f ( ) 3)
xa F( )
洛必达法则
DMU
第二节 洛必达法则
说明：在定理中把 x a 换为
x a ,
➢定理 y f在(x) 上[a可,导b].则
f '(x) 0 f (x)
f '(x) 0 f (x)
f '(x) 0 f (x) C
DMU
第四节 函数的单调性
证
设f '(x) 0 , x2 x1
则f (x2 ) f (x1) f '( )(x2 x1) 0
例如，
lim
x
ex ex ex ex
lim x
ex ex ex ex
lim x
ex ex ex ex
DMU
第二节 洛必达法则
•其他未定式:
方法:
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例 lim xex lim x lim 1 0
x
e e x x x x
例
lim(sec
x
π 2
x
lim
x0
ln x 1
lim
x0
x 1
0
x
x2
lim xx e0 1
x0
练习: lim
1 cos x lim
1 x 2
2
x0
x
x0
x
2
DMU
第二节 洛必达法则
小结
lim f '(x) (（) 用洛必达）
xa g '(x)
求极限
0 ， 0
x2 cos 1 , x2 sin 1 , x 0
F(b) F(a)
令G(x) f (x) kF(x) ,则 G(a) G(b)
由罗尔定理知
G'( ) 0
,故 k
f ' ( ) F ' ( )
DMU
第一节 微分中值定理
•怎样用柯西中值定理 (何时用)
出现两个不同函数在某两点值的差，即f (x2) f (x1),
F(x2 ) F(x1) ;
bx
(2) 在开区间 ( 则至少存在一点
a
,
b
)
内可导
使 f ( )
f (b) f (a). ba
证 即证 f (b) f (a) f '( )(b a)
设常数k的方法：f (b) f (a) k(b a)
即f (b) kb f (a) ka，故构造函数 F(x) f (x) kx
x0 )n
Rn (x)
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
①
其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
DMU
第三节 泰勒公式
1. 带有拉格朗日余项的泰勒公式： (x, x0)
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 m(m 1) (m n 1) xn o(xn)
2!
n!
DMU
第四节 函数的单调性
x2
x1
f f
( x2 ( x2
) )
f (x1)单调增
f (x1)单调减
x2
x1
f
f
(x2 ) (x2 )
f (x1)严格单调增 f (x1)严格单调减
设 f (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
令 Pn (x) a0 a1(x x0 ) an (x xn )n
则 f (x0 ) Pn (x0 )
a0 f (x0 )
f '(x0 ) Pn '(x0 )
f (n) (x0 ) Pn(n) (x0 )
第七节 简单函数图形的描绘
第八节 曲率
第九节
DMU
导数在经济中的应用
第一节 微分中值定理
费马(fermat)引理
且
(或 )
证: 设 则
0 0
DMU
存在
y o x0 x
证毕
第一节 微分中值定理
•罗尔定理 满足:
(1) 在闭区间 [a , b] 上连续
(2) 在开区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
tan x x3
x
注: 3.洛必达法则可与其他方法结合使用 !
DMU
第二节 洛必达法则
例
求
xn
lim
x
e
x
( 0 , n 为正整数)
解
n xn1
原式 lim x
e x
lim x
n(n 1)xn2
2 e x
lim x
n!
n e x
0
注: 4.洛必达法则可连续使用 !
注: 5.无限循环型不能用罗必达 !
例
求
lim
x0
x (1 cos x)(ex 1)
解：
(x2
cos
1)' x
2x cos
1 x
x2 ( sin
1 )( x
1 x2
)
显然 x 0 时, 上式极限不存在, 故不能用此法则.
1 lim
x2 cos 1 ln(1 x) x
1
2 x0
x
2
注:
2.
lim
xa
f (x)
F ( x)不存在(或不为)不能用洛必达法则!
f (x)
f
(x0)
f '(x0)(x x0)
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x0
)n1
麦克劳林公式：取 x0 0
f (x) f (0) f '(0)x f ''(0) x2 f (n) (0) xn f (n1) (x) xn1
2!
n!
(n 1)!
x
x
不用洛必达
sin x , cos x , x
0 0 或 （反，对，幂，三，指） 0
有分式 通分
无分式 化简或x 1
t
00 , 0 , 1 , f (x)g(x) eg(x)ln f (x)
其中1 可用重要极限
DMU
第三节 泰勒公式
•泰勒公式
拉格朗日中值定理： f (x) f (x0 ) f '( )(x x0 )
2!
n!
DMU
第三节 泰勒公式
cos x 1 x2 x4 (1)n x2n o(x2n )
2! 4!
(2n)!
ln(1 x) x x2 (1)n1 xn o(xn )
2
n
1 1 x x2 (1)n xn o(xn ) 1 x
1 1 x x2 xn o(xn ) 1 x