(完整版)复合泊松模型下破产概率估计

复合泊松模型
----------破产概率估计
关键词：复合泊松过程正态特征函数估计
一、复合泊松过程的定义及性质
1.泊松过程：
满足下列三条件的随机过程X={X(t),t≥0}叫做泊松过程。

①P(X(0)=0)=1。

②不相交区间上增量相互独立，即对一切0≤t1<t2<…<tn,X(t1),X(t2)-X(t1），…，X(tn)-X(tn-1）相互独立。

③增量X(t)-X(s) (t>s）的概率分布为泊松分布，即，式中Λ（t）为非降非负函数。

若X还满足④X(t)-X(s）的分布仅依赖于t-s，则称X为齐次泊松过程；这时Λ（t)=λt，式中常数λ>0称为过程的强度，因为EX(t)=Λ（t)=λt，λ等于单位时间内事件的平均发生次数。

非齐次泊松过程可通过时间尺度的变换变为齐次泊松过程。

对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左（或右）连续阶梯函数。

可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。

直观上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的累计次数就是一个泊松过程。

在应用中很多场合都近似地满足这些条件。

例如某系统在时段[0,t）内产生故障的次数，一真空管在加热t秒后阴极发射的电子总数，都可假定为泊松过程。

描述随机事件累计发生次数的过程通常称为计数过程（见点过程）。

一个简单而且局部有限的计数过程{X(t），t≥0}，往往也可以用它依次发生跳跃（即发生随机事件）的时刻{Tn，n≥1}来规定，即取T0=0，Tn=inf{t:X(t）≥n}，n≥1，而当Tn<t≤Tn+1时，X（t）=n。

若以，表示X(t）发生相邻两次跳跃的时间间距，则计数过程是齐次泊松过程的充分必要条件为{τn，n≥1}是相互独立同分布的，且，其中λ为某一非负常数。

齐次泊松过程的另一个特征是：固定t,X(t）是参数为λt的泊松分布随机变量，而当X(t)=k已知的条件下，X的k个跳跃时刻与k 个在[0,t）上均匀分布且相互独立的随机变量的次序统计量（见统计量）有相同的分布。

泊松过程的这一特征常作为构造多指标泊松过程的出发点。

从马尔可夫
过程来看，齐次泊松过程是时间空间都为齐次的纯生马尔可夫链。

从鞅来看，齐次泊松过程X 是使{X(t)-λt,t≥0}为鞅的跃度为1的计数过程。

较泊松过程稍为广泛的计数过程是更新过程，更新过程的跳跃时间间距是相互独立同分布的，但不一定是指数分布。

这类过程常被用来描写某些设备的累计故障次数。

若对跳跃时间间距不作任何假定，就成为一般的计数过程或称一维点过程。

假如某设备在[0，t ）时段内故障的累计次数N(t ）是泊松过程，而每次故障造成的耗损不尽相同，用随机变量Yi 表示第i 次耗损，则在[0,t ）内总的耗损为N(t ）。

当{N(t ），t≥0}为齐次泊松过程，{Yi,i≥1}又是相互独立同分布且与{N(t ）}独立时，X={X(t ），t≥0}称为复合泊松过程。

由于{N(t),t≥0}可以用其跳跃时刻{Ti,i≥1}来规定，因而复合泊松过程可用{(Tn ，Yn),n≥1}来规定，即若对{(Tn,Yn),n≥1}的统计特性不作任何假定，这样规定的X 便是一种一般地描述系统跳跃变化的随机过程，常称为标值点过程，也称多变点过程或跳跃过程。

泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程。

泊松过程在物理、地质学、生物学、金融和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。

在经典风险模型中，索赔过程经常用一个复合泊松过程来描述。

许多学者对模型进行了深入的研究，比较有吸引力的改进是用两个复合泊松过程描述索赔过程的多险种风险模型。

由于索赔过程的复杂化，使得在经典风险模型种的一些较好结论难以在新模型中得到类似证明。

因此首先讨论复合泊松分布及过程的可加性，在参数比较大的情况下，可以用正态过程与之近似，以便运用正态过程的优良特性更好地处理有关问题。

2.复合泊松分布：
复合泊松分布在概率论和保险模型中有着很重要的应用。

关于复合泊松过程的一些定义及性质：
定义1：∑==N
k k X S 1，其中N 表示理赔次数，k X 表示第k 次的理赔金额，N
与k X 是相互独立的，则当N 服从Poisson 分布时，S 具有复合Poisson 分布。

如果一个随机变量X 满足性质：对任何一个独立随机变量序列n X X ,...1使得n X X X ++=...1，则称X 是无穷可分的。

当把复合泊松分布类扩展成一个更大的类时，使其对极限运算封闭，我们便得到了 无穷可分类，该类包含伽玛分布和正态。

定理1：（复合泊松分布的可加性）如果m S S ,...,1是一列独立的复合泊松随机变量，分别具有参数i λ和理赔分布i P ，i=1,2,…m,那么∑==m
i i S S 1仍然是一个复合
泊松随机变量，具有参数).()(,11x P x P i m i i m i i ∑∑====λ
λλλ
在经典的破产模型中，到t时刻的风险St是一个复合泊松过程，而Poisson 过程具有普通性，即在充分小的时间内跳至多为1，也就是至多有一次索赔，而在实际中，我们经常会遇到在同一时刻有两个以上的顾客要求索赔的情形。

比如我们考虑汽车保险，若到t时刻为止发生事故的车辆总数N(t),且N(t)为一Poisson 过程，所以在充分小的时间内至多有一辆车发生事故，然而每次发生事故所导致要求索赔的人数却不至一个，它可能服从一离散分布，根据这一要求我们对经典模型进行推广，即考虑把复合泊松过程之中的普通性要求去掉后如何来解决一系列相应问题。