2019年榆林市高二数学上期末第一次模拟试题(带答案)

2019年榆林市高二数学上期末第一次模拟试题(带答案)

一、选择题

1．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8）

B ．45（8）

C ．50（8）

D ．55（8）

2．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．

320

B ．

720

C ．

316

D ．

25

3．如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、

253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为（ ）

A ．1-，36

B ．1-，41

C ．1，72

D ．10-，144

4．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．

13

B ．

47

C ．

23

D ．

56

5．执行如图的程序框图，那么输出的S 的值是（ ）

A ．﹣1

B ．

12

C ．2

D ．1

6．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，L ，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ）．

A ．

151 B ．

168 C ．

1306

D ．

1408

7．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )

A ．5k <？

B ．5k ≥？

C ．6k <？

D ．6k ≥？

8．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，2

3

CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ）

A ．12

B ．34

C ．27

D ．

38

9．一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 A ．

B ．

C ．

D ．

10．如图，边长为2的正方形有一内切圆.向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为( )

A ．3.1

B ．3.2

C ．3.3

D ．3.4

11．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事

件是( )

A ．至少有一个白球；都是白球

B ．至少有一个白球；至少有一个红球

C ．至少有一个白球；红、黑球各一个

D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球

12．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超

过两分钟的概率是（ ） A ．

25

B ．

35

C ．

23

D ．

15

二、填空题

13．已知样本数据为40，42，40，a ，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为_________.

14．袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是

9

10

，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为______． 15．某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为10人，则样本容量为________．

16．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________

17．在棱长为2 的正方体内任取一点，则此点到正方体中心的距离不大于1的概率为_____．

18．已知集合{1,U =2，3，?，}n ，集合A 、B 是集合U 的子集，若A B ?，则称“集合A 紧跟集合B ”，那么任取集合U 的两个子集A 、B ，“集合A 紧跟集合B ”的概率为______．

19．在区间[]0,2中随机地取出一个数x ，则sin

6

x π

>的概率是__________．

20．一组样本数据按从小到大的顺序排列为：1-，0，4，x ，y ，14，已知这组数据的平均数与中位数均为5，则其方差为__________．

三、解答题

21．某函数的解析式由如图所示的程序框图给出.

（1）写出该函数的解析式；

（2）执行该程序框图，若输出的结果为4，求输入的实数x的值.

22．盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次.

（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；

（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.

23．某中学随机抽取部分高一学生调査其每日自主安排学习的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自主安排学习时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].

（1）求直方图中x的值；

（2）现采用分层抽样的方式从每日自主安排学习时间不超过40分钟的学生中随机抽取6人，若从这6人中随机抽取2人进行详细的每日时间安排调查，求抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率.

24．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人

(1)求,n p 的值;

(2)根据已知条件完成下面的22?列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?

非读书之星 读书之星 总计

男

女 10 55 总计

(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X

附：()()()()()2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

25．随着社会的进步与发展，中国的网民数量急剧增加.下表是中国从20092018-年网民人数及互联网普及率、手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及率的相关数据. 年份 网民人数

互联网普及率

手机网民人数

手机网民普及率

2009 3.8 28.9% 2.3 17.5% 2010 4.5

34.3% 3.0

22.9% 2011

5.1

38.3%

3.6

27.0%

2012 5.6 42.1% 4.2 31.6% 2013 6.2

45.8% 5.0 36.9% 2014 6.5

47.9% 5.6

41.3% 2015 6.9 50.3% 6.2 45.2% 2016 7.3

53.2% 7.0

51.0% 2017 7.7 55.8% 7.5 54.4% 2018

8.3

59.6%

8.2

58.9%

（互联网普及率=（网民人数/人口总数）×100%；手机网民普及率=（手机网民人数/人口总数）×

100%） （Ⅰ）从20092018-这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的概率；

（Ⅱ）分别从网民人数超过6亿的年份中任选两年，记X 为手机网民普及率超过50%的年数，求X 的分布列及数学期望；

（Ⅲ）若记20092018-年中国网民人数的方差为21s ，手机网民人数的方差为22s ，试判断

21s 与22s 的大小关系.（只需写出结论）

26．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照

[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成5组，制成如图所示频率分直方

图.

（1）求图中x 的值及这组数据的众数；

（2）已知满意度评分值在[)50,60内的男生数与女生数的比为3:2，若在满意度评分值为

[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D

解析：D

【解析】

【分析】

先将这个二进制转化成十进制,然后除8取余数,即可得出答案.

【详解】

∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．

再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．

故答案选D．

【点睛】

本道题考查了不同进制数的转化,较容易,先将二进制数转化成十进制,然后转为八进制,即可. 2．B

解析：B

【解析】

【分析】

由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．

【详解】

解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；

如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，

再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236

?=种选择；

如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有

236

?=种选择，

得到第5球独占一盒的选择有4(66)48

?+=种，

第二类，第5球不独占一盒，先放14

-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436

?=，

根据分类计数原理得，不同的方法有364884

+=种．

而将五球放到4盒共有24

54240

C A

?=种不同的办法，

故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率

847

24020 P==

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．

3．A

解析：A 【解析】 【分析】

计算出数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值x 和方差2s 的值，然后利用平均数和方差公式计算出数据153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差. 【详解】

设数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值为x ，方差为2s ， 由题意

()()()()

121221212121215n n x x x x x x x n

n

++++++++=+=+=L L

，得

2x =，

由方差公式得

()()

()()

()()

2

2

2

12212121212121n x x x x x x n

??????+-+++-++++-+??????

L ()()()

222

1224416

n x x x x x x s n

??-+-++-????===L ，24s ∴=. 所以，数据153x -、253x -、L 、53n x -的平均值为

()()()12535353n x x x n

-+-+-L ()

1235535321n x x x x n

+++=-=-=-?=-L

，

方差为

()()

()()

()()

2

2

2

12535353535353n x x x x x x n

??????---+---++---??????

L ()()()

222

1229936n x x x x x x s n

??-+-++-???

?===L . 故选：A. 【点睛】

本题考查平均数与方差的计算，熟练利用平均数与方差的公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

4．B

解析：B 【解析】 【分析】

由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是

604

1057=，得解． 【详解】

由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有

111115*********C C C C ?-?=种不同的选法，

又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有11

51260C C ?=种不同的选法，

已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057

=. 故选：B ． 【点睛】

本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.

5．B

解析：B 【解析】

由题意可得：初如值S=2,k=2015, S=-1,k=2016<2018 S=

1

2

,k=2017<2018 2,2018S k ==

输出2,选C.

6．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

分析：利用组合数列总事件数，根据等差数列通项公式确定所求事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.

详解：共有3

18C 17163=??种事件数，

选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-， 由1、4、7、10、13、16，可得4种， 由2、5、8、11、14、17，可得4种， 由3、6、9、12、15、18，可得4种，

431

1716368p ?=

=??．

选B ． 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”

区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】

由题意，模拟程序的运算，可得

k 1=，a 1=

满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=

此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a 的值为170． 则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k 6<？ 故选：C ． 【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由

2

3

CN NG AB ==

，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】 如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等， 设边长为3，由2

3

CN NG AB ==

，可得正方形MCNG 的边长为2， 则阴影部分的面积为224?=，

多边形ABCDEFGH 的面积为2332214??-?=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点， 则该点落在阴影部分内的概率为

42147

=.

【点睛】

本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.

9．B

解析：B 【解析】 【分析】

应用平均数计算方法，设出两个平均数表达式，相减，即可。 【详解】 可以假设68为

，建立方程，

，则

，故选B 。

【点睛】

考查了平均数计算方法，关键表示出两个平均数，然后相减，即可，难度中等。

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

由圆的面积公式得：S π=圆，由正方形的面积公式得：4S =正，由几何概型中的面积型

结合随机模拟试验可得：7951000

S S =圆正，得解． 【详解】

由圆的面积公式得：S π=圆， 由正方形的面积公式得：4S =正， 由几何概型中的面积型可得：

7951000

S S =圆正， 所以7954

3.21000

π?=

≈， 故选：B ．

本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型，属简单题．11．C

解析：C

【解析】

【分析】

由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.

【详解】

袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：

在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；

在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，

是互斥而不对立的两个事件，故C成立；

在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；

本题选择C选项.

【点睛】

“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．

12．A

解析：A

【解析】

分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案

详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过

当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟

∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为

532

55

P

-

=＝．

故选A .

点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键

二、填空题

13．【解析】【分析】由平均数的公式求得再利用方差的计算公式求得即可求解【详解】由平均数的公式可得解得所以方差为所以样本的标准差为【点睛】本题主要考查了样本的平均数与方差标准差的计算着重考查了运算与求解能

解析：

221

3

【解析】 【分析】

由平均数的公式，求得49a =，再利用方差的计算公式，求得2

28

3

s =，即可求解. 【详解】

由平均数的公式，可得1

(4042404344)436

a +++++=，解得49a =， 所以方差为

2222222128[(4043)(4243)(4043)(4343)(4343)(4443)]63s =-+-+-+-+-+-=

，

所以样本的标准差为221

3

s =. 【点睛】

本题主要考查了样本的平均数与方差、标准差的计算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

14．【解析】因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球白球若从袋中任意摸出2个球共有10种没有得到白球的概率为设白球个数为x 黑球个数为5-x 那么可知白球共有3个黑球有2个因此可知填写为 解析：

310

【解析】

因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种，没有得到白球的概率为

1

10

，设白球个数为x,黑球个数为5-x,那么可知白球共有3个，黑球有2个，因此可知填写为

15．20【解析】青年职工中年职工老年职工三层之比为所以样本容量为故答案为20点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配这是分层抽样的最主要的特点首先各确定分层

解析：20 【解析】

青年职工、中年职工、老年职工三层之比为5:3:2，所以样本容量为10

20

12

=，

故答案为20.

点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力．

16．18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考

解析：18 【解析】 【分析】

由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为

1725443x +?=，即可解得. 【详解】

因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为

1725443x +?=，解得18x =. 【点睛】

本题主要考查了系统抽样，属于中档题.

17．【解析】【分析】以正方体的中心为球心1为半径做球若点在球上或球内时符合要求求其体积根据几何概型求概率即可【详解】当正方体内的点落在以正方体中心为球心1为半径的球上或球内时此点到正方体中心的距离不大于

解析：

6

π 【解析】 【分析】

以正方体的中心为球心，1为半径做球，若点在球上或球内时，符合要求，求其体积，根据几何概型求概率即可. 【详解】

当正方体内的点落在以正方体中心为球心，1为半径的球上或球内时，此点到正方体中心的距离不大于1， 因为344133

V ππ=

??=球，2228V =??=正方体 因此正方体内点到正方体中心的距离不大于1的概率2

4

132226

V P V 球正方体

ππ

??===??， 故填

6

π

. 【点睛】

本题主要考查了几何概型，球的体积，正方体的体积，属于中档题.

18．【解析】【分析】由题意可知集合U 的子集有个然后求出任取集合U 的两

个子集AB 的个数m 及时AB 的所有个数n 根据可求结果【详解】解：集合23的子集有个集合AB 是集合U 的子集任取集合U 的两个子集AB 的所有个

解析：3()4

n

【解析】 【分析】

由题意可知集合U 的子集有2n 个，然后求出任取集合U 的两个子集A 、B 的个数m ，及

A B ?时A 、B 的所有个数n ，根据n

P m

=

可求结果. 【详解】

解：Q 集合{1,U =2，3，?，}n 的子集有2n 个，

Q 集合A 、B 是集合U 的子集，

∴任取集合U 的两个子集A 、B 的所有个数共有22n n ?个，

A B ?Q ，

①若A =?，则B 有2n 个，

②若A 为单元数集，则B 的个数为1

12n n

C -?个， ?

同理可得，若{1,A =2，3}n ?，则B =n 只要1个即0

12n n C =?，

则A 、B 的所有个数为112202222(12)3n n n n n n

n n n C C C --+?+?+?+?=+=个，

集合A 紧跟集合B ”的概率为33()224

n n

n n P ==?．

故答案为3

()4

n

【点睛】

本题考查古典概率公式的简单应用，解题的关键是基本事件个数的确定．

19．【解析】分析：根据几何概型的概率公式即可得到结论详解：区间的两端点间距离是2在区间内任取一点该点表示的数都大于故在区间中随机地取出一个数这个数大于的概率为故答案为：点睛：本题主要考查概率的计算根据几

解析：3

4

【解析】

分析：根据几何概型的概率公式即可得到结论． 详解：区间[]0,2的两端点间距离是2，在区间1,22??

???

内任取一点，该点表示的数都大于1sin

6

2

π

=

，

故在区间中随机地取出一个数，这个数大于

1

2

的概率为 1

232.204

-

=- ， 故答案为：3

4．

点睛：本题主要考查概率的计算，根据几何概型的概率公式是解决本题的关键．

20．【解析】分析：根据中位数为求出是代入平均数公式可求出从而可得出平均数代入方差公式得到方差详解中位数为这组数据的平均数是可得这组数据的方差是故答案为点睛：本题主要考查平均数与方差属于中档题样本数据的算 解析：

743

【解析】

分析：根据1,0,4,,,14x y -中位数为5，，求出x 是6 ，代入平均数公式，可求出

7y =，从而可得出平均数，代入方差公式，得到方差.

详解1,0,4,,7,14x -Q 中位数为45,52

x

+∴

=，6x ∴=，∴这组数据的平均数是104614

56y -+++++=，7y =可得这组数据的方差是

()17436251148163+++++=，故答案为743

. 点睛：本题主要考查平均数与方差，属于中档题.样本数据的算术平均数公式为

12n 1

(x +x +...+x )x n

=

．样本方差2222121[()()...()]n s x x x x x x n =-+-++-，

标准差s =

三、解答题

21．(1) 22,0log ,042,4x x x y x x x ?

=<≤??>?

当0x =时，y 无解.(2) 2x =-.

【解析】 【分析】

(1)根据框图得到函数解析式；（2）结合第一问得到的函数表达式，分情况得到x 值即可. 【详解】

（1）函数解析式为22,0log ,042,4x x x y x x x ?

=<≤??>?

，

当0x =时，y 无解.

（2）当0x <时，24x =，2x =-或2（舍）. 当04x ≤≤时，2log 4x =，解得16x =（舍）. 当4x >时，24x =，解得2x =（舍） 所以2x =- 【点睛】

这个题目考查了程序框图的应用，以及分段函数的应用；解决分段函数求值问题的策略：(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决；(3)求f (f (f (a )))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则. 22．（1）1225

；（2）2125.

【解析】

分析：（1）先求出全体基本事件共有25种情形，再求出取到的2个球中恰好有1个是黑球的情况有12种，即可得到答案；

（2）求对立事件没有一个红球，即全是黑球的情况，从而即可求出. 详解：全体基本事件共有25种情形，

（1）2个球中恰好1个黑球为13，14，15，23，24，25，再交换一下，共有12种情形， 故概率1225

P =

. （2）取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球， 即全是黑球为11，12，21，22，共4种情形， 即42112525

P =-

=. 点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P (A )＝1－P (A )求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法． 23．（1）0.0125；（2）25

. 【解析】 【分析】

（1）利用直方图矩形的面积的和为1，直接求解x 即可.

（2）求出基本事件的总数以及符合条件的基本事件的个数，即可求解.

【详解】

（1）由直方图可得：20×x +0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20＝1. 所以 x ＝0.0125.

（2）由题意知：[0，20）有2人，设为1，2，[20，40）有4人，设为a ，b ，c ，d ； 则基本事件有：12，1a ，1b ，1c ，1d ，2a ，2b ，2c ，2d ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种 抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的包括：ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种.

所以抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率P 62

155

==. 【点睛】

本题考查了直方图，考查古典概率的求值，是一道中档题.

24．（1）0.01P =,n =100,（2）表见解析，没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关（3）分布列见解析，()34

E X = 【解析】 【分析】

（1）首先根据频率和为1求P ，再根据频率，频数和样本容量的关系求n ；

（2）首先计算“读书之星”的人数，然后再依次填写22?列联表；并根据公式计算2K 和

3.841比较大小，做出判断；

（3）从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14，由题意可知1~3,4X B ?? ???

并求分布列和数学期望. 【详解】

（1）()0.0050.0180.0200.0220.025101P +++++?= 解得：0.01P =， 所以10

0.101

0n =

=. (2)因为100n =，所以“读书之星”有1000.2525?= 从而22?列联表如下图所示:

()2

210030101545100 3.0304555752533

K ??-?==≈???

因为3.030 3.841<，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关 (3)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14

. 由题意可知1~3,4X B ?? ???

所以()303

01127041464

P X C ????? ? ???-=??== ()32

11271146414P X C ?==-=

?? ???， ()2

23

19

21464

14P X C ????? ? ?????==-=

()333

41364

1P X C ?? ?

?=?== 所以X 的分布列为

故()344

E X =?=. 【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验，二项分布，意在考查利用所给数据，分析问题和解决问题的能力，属于中档题型. 25．（Ⅰ）35

；（Ⅱ）分布列见解析，1EX =；（Ⅲ）2212s s < 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由表格得出手机网民人数占网民总人数比值超过80%的年份，由概率公式计算即可；

（Ⅱ）由表格得出X 的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，计算数学期望即可； （Ⅲ）观察两组数据，可以发现网民人数集中在5~8之间的人数多于手机网民人数，则

网民人数比较集中，而手机网民人数较为分散，由此可得出22

12s s <.

【详解】

解：（Ⅰ）设事件A ：“从20092018~这十年中随机选取一年，该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%”.

由题意可知：该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的年份为2013~2018，共6个

则63()105

P A =

=. （Ⅱ）网民人数超过6亿的年份有2013~2018共六年，其中手机网民普及率超过50% 的年份有2016,2017,2018这3年.所以X 的取值为0,1,2.

所以232631(0)155C P X C ===

=， 11

33263(1)5C C P X C ===， 23261

(2)5

C P X C ===. 随机变量X 的分布列为

0121555

EX =?+?+?=.

（Ⅲ）22

12s s <.

【点睛】

本题主要考查了计算古典概型的概率，离散型随机变量的分布列，数学期望等，属于中档题.

26．（1）0.020x =，众数为75；（2）()310

P A = 【解析】 【分析】

（1）根据小矩形面积和为1，求解x ，根据最高小矩形的组中值为众数，求解即可. （2）先根据频率分布直方图求解在[)50,60内有5人，其中男生3人，女生2人，记为

1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，古典概型概率公式，求解即可.

【详解】

（1）由()0.0050.0100.0350.030101x ++++?=，解得0.020x =.这组数据的众数为75.

（2）满意度评分值在[)50,60内有1000.005105??=人. 其中男生3人，女生2人，记为1A ，2A ，3A ，1B ，2B .

记满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生为事件A . 总基本事件空间为：

()()()()()()()()()(){}12131112232122313212,,,,,,,,,A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B Ω=

则总基本事件个数为10个，A 包含的基本事件个数为3个. 根据古典概型概率公式可知()310

P A =. 【点睛】