第三章 加权残值法

（i=1，2，…N）
（3.2.7）
由残值R在N个配点xi（或二维（xi，yi））处为零。得到N个 代数方程，从而求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。配点法是 加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。
3.2 加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method） 如果将待求问题的整个区域V按任意方式划分为N个子域
4 qL4 qL4 ~ w1 max 5 0.013071 EI π EI
（5）矩量法（Method of Moment）
4 1 qL4 qL4 ~ w2 max 5 1 0.013017 EI π 243 EI
~ w 1 max
1 qL4 qL4 3 0.016126 EI 2π EI
V V
S S S
V V
0
0
（3.1.6） （3.1.7）
S
据此，我们就可以得到关于待定系数Ci（i=1，2，…N）的 代数方程组，求得了Ci后，即确定了近似解（3.1.3）。
3.1 加权残值法的基本概念
按试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法
分为三类：
内部法
边界法 混合法
3.2 加权残值法的基本方法
一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求 得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u的
试函数：
~ u
C v
i 1
N
i i
（3.1.3）
其中Ci为待定系数，vi为试函数项。 将（3.1.3）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确 满足，于是就出现了内部残值（Residuals）RV和边界残值RS， 即：

Rv dv 0
V i
（i=1，2，…N）
（3.2.11）
由残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质， 不仅保证了解的收敛性，还使得伽辽金法精度高而计算 工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。
3.2 加权残值法的基本方法
（5）矩量法（Method of Moment） 当权函数选取为xi（i=0，1，…N－1）时，就得到了矩量 法的基本方程为：
（3.2.2）
即可得到最小二乘法的基本方程：

R R dv 0 （i=1，2，…N） V Ci
（3.2.3）
R C i
可见，最小二乘法就是将权函数取作
。式（3.2.3）将
源自文库
给出N个代数方程，用于求解N个待定系数Ci（i=1，2， …N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。
3.2 加权残值法的基本方法
据权函数的形式分类，主要有以下五种方法： （1）最小二乘法（Least Square Method）
最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V内的
残值平方积分：
J (Ci ) R 2 dv
V
（3.2.1）
最小。为使J（Ci）最小，取极值条件：
3.2 加权残值法的基本方法
J (Ci ) 0 （i=1，2，…N） Ci
1 1 3 3 1 π 2 qL4 ~ w2 max 3 π 1 1 EI 8 4 24 12 2π qL4 0.012786 EI

V
Rx i dv 0 （i=0，1，…N－1）
（3.2.12）
由上式不难求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。
例2：简支梁的弯曲问题
（1）最小二乘法（Least Square Method）
4 qL4 qL4 ~ w1 max 5 0.013071 EI π EI
（2）配点法（Collocation Method）
4 1 qL4 qL4 ~ w2 max 5 1 0.013017 EI π 243 EI
1 qL4 qL4 ~ w1 max 4 0.010266 EI EI π
qL4 3 2 2 1 1 ~ 1 w2 max 4 2 2 2 2 π 1(3 2 ) EI qL4 0.012366 EI
Ci（i=1，2，…N）。
需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同，
也可以不同。若各子域的试函数互不相同时，则必须
考虑各子域间的连接条件。
3.2 加权残值法的基本方法
（4）伽辽金法（Galerkin Method） 伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名 的方法。 伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，即： Wi=vi， （i=1，2，…N） （3.2.10）
（3）子域法（Subdomain Method）
1 qL4 qL4 ~ w1 max 3 0.016126 EI 2π EI
~ w 2 max
1 4 qL 27 3 4π (2 2 2 ) EI 3 2 2 qL4 0.013677 EI
（4）伽辽金法（Galerkin Method）
V i V i i
（3.2.6）
（i=1，2，…N）
3.2 加权残值法的基本方法
（2）配点法（Collocation Method） 对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为：

V
RWi dv

V
R( x， y) ( x xi， y yi )dv R( xi， yi ) 0
Vi（i=1，2，…N），并定义此时的权函数为：
1 (在Vi内) Wi 0 不在Vi内)
（3.2.8）
于是在每个子域Vi内可列出消除残值的方程为：

Vi
Ri dv 0
（i=1，2，…N）
（3.2.9）
3.2 加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method） 这里，N个子域共有 N个方程，联立求解即得待定系数
3.1 加权残值法的基本概念
设某一具体的工程定解问题： Lu－f=0（在域V内） Gu－g=0（在边界S上） （3.1.1）
（3.1.2）
这里，u为待求的未知函数，L和G分别为控制方程（在域V 内）和边界条件（在边界S上）的微分算子。f和g分别是域 内和边界上的已知项。
3.1 加权残值法的基本概念
3.1 加权残值法的基本概念
~ f 0 RV Lu ~g 0 Rs Gu
（3.1.4） （3.1.5）
为了消除残值，选取内部权函数（Weighted function）WV和 边界权函数WS，使得残值RV和RS分别与相应权函数的乘积在
域内和边界上的积分为零，即：
RWd RWd
（2）配点法（Collocation Method） 如果选用狄拉克δ函数（Dirac Delta Function）作为权 函数，即：
Wi δ ( x xi )
（3.2.4）
就得到了配点法。配点法的基本方程为：
RW dv R( x) ( x x )dv R( x ) 0