谐振电路和品质因数

电源的瞬时功率：
Pe
ie
2EI max cos2
t
2
I
2 m
axR
cos2
t
电阻上的瞬时功率：PR
iUR
2ImaxE cos2
t
2
I
2 m
axR
cos2
t
Pe PR
电源的瞬时功率等于电阻上的瞬时功率，电容和电感不与 电源交换能量。
8
3）电容和电感中的储能
WB
1 2
Li2
1 2
L
2
E R
X1
1 C0
X 2 L0
0
1 LC
③谐振时的导纳 总电流
Ym in
R12
R1
X
2 1
R2
R22
X
2 2
R1 R2
X
2 1
R1 R2
X
2 2
8
0
I min
EYmin
E(R1 R2 )
X
2 1
RC E L
④品质因数
IC
E R12 X12
E X1
EC0
L0 R
Imin QImin —电流谐振
1
R
1
Q2
0
0
2
Imax
Imax
1
Q2
0
0
2
1
Q2
2 02 0
2
当 0时 I Imax
当 0或 0时 I Imax
当 0 一定时 Q 大 I 小
8
2）通频带
Q值越大，曲线越尖锐，回路的选择性越好
a和b两点都是功率为最大值的一半的点，a和b点称为半功率点。
两个半功率点所对应的频率ω1和ω2之间的频率范围△ω= ω2- ω1 称为谐振电路的通频带
2 I
02
( Ima
0
x
)(
0
)
2(
0 )
1
2Q( 0
0
)
2
8
当 2Q( 0 ) 1时 0
I
1 2
Imax
1
0
0 2Q
2
0
0 2Q
2
1
0 Q
通频带的宽度反比于回路的品质因数。回路的品质因数越大， 通频带越窄，回路的选择性越好。
5.并联谐振电路
C R1
Y~1
R1
1 jX 1
Y~ Y~1 Y~2
Y~2
R1
1 jX2
L R2
~
R12
R1 X12
R2
R22
X
2 2
j
R12
X1 X12
X2
R22
X
2 2
8
①谐振条件 ②谐振频率
X1 X2 0
R12
X
2 1
R22
X
2 2
当R1 X1 R2 X 2
X1 X 2 0
关联电路若能发生谐振，其中一条支路若是电感性，则另一条支路 必定是电容性
பைடு நூலகம்
4）品质因数Q的普遍定义
Q
2 WE WB WR
2
I 2L I 2RT0
2 L 1 R T0
品质因数为谐振电路贮藏的能量与一个周期内电路消耗的能量之比 的2π倍
8
Q 2 L 0 R 2
L0 R
1 CR0
电路Q值与元件Q值一致。
4.谐振曲线 通频带
1）谐振曲线
I
E
R2 L
1
2
C
E
8
§8.6 谐振电路和品质因数
1.RLC串联电路的谐振和谐振条件
R LC
~
Z
R2 L
1
2
C
设e 2E cos t
Z~ Z~R Z~L Z~C
R jL 1 jC
R L 1 C
Ze j
L 1
tg 1
C
R
8
当 L 1 0 时 C
Z Zmin R 0
I
2
cos2
0t
WE
1 CU 2
2
1C 2
2QE
2
cos
2
0t
2
1 2
C
2
L C
E R
2
cos2
0t
2
W
L
E2 R2
sin 2
WB WE
0t
L
E R
2 2
任何时刻贮藏在电容中的电场能和贮藏在电感中的磁场能的总和是 恒定的，不随时间变化的。但电容内的电场能与电感中的磁场能不停 地相互转换，在电容器和电感器之间振荡着。
jarctg 2L R
4
2 L2
1
R2e
jarctg R 2L
4
j arctg 2L arctg R
Le R
2L
arctg 2L arctg R 2arctg 2L
R
2L
R2
当R 0时 当R 时
2
2
8
思考题：P510 8.12 8.14 8.16 作业：P515
E R
I
m
ax
电路中电流达到最大值且电流与电 压同位相，电路处于谐振状态
0
1 LC
谐振条件
2.RLC串联电路谐振时电路上电压分配 品质因数
RLC串联电路达到谐振时：U R
UL
UR
UL
ImaxR E ImaxX L ImaxL0
E R
L C
I 令Q 1 L —品质因数
RC
UC
UL UC QE —电压谐振
1 jCR
I~R
I~
R R
j
1 C
j1
1 R
I~
E~ Z~
jL
E~(1 jCR ) jL 2LCR
E~ 2RCL R
R
C
当2LC 1时 当2LC 1 时
2
I~R
E~ jL
与R无关，构成恒流回路
Z~
jL 1 1
j
1R 2 R
2 L
jL 1 R
L L
2 j1
R
2
L
1
R2
2 L2 e
UC
电感两端的电压或电容两端的电压比外加电压还大，是外
加电压的Q倍
3.RLC串联揩振电路中的能量转换 Q值的普遍含义
RLC谐振电路达到谐振时：
1）有功功率
Ph
IU
cos
I m a xE
I
2 m
axR
电路的平均功率（有功功率）总是等于电阻上消耗的功率
2）瞬时功率
设e Em cos t
则UR Em cos t i Im cos t
Q L0 1 1 L R RC0 R C
⑤电流矢量图
IC
I m in
E
IL
8
6.例题
例9.6-1 在如图所示的电路中，电源的频率是确定的，电感L的值固定，
电容C的值和电阻R的值都是可以调的，设电感的电阻很小，可以忽略，
求通过电阻R的电流。
L
解：
Z~
jL
R R
j
1 C
j1
C
~e C
R jL 2RCL R