控制系统的数学模型

控制系统的数学模型

在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。自动控制系统的组成可以是电气的、机械的、液压的或气动的，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型的外部特征，研究其内在的共性运动规律。

通过本章的学习，我们要掌握三种数学模型：微分方程、传递函数、动态结构图的建立方法。熟练掌握自动控制系统传递函数的求取方法。 §2—1 列写微分方程的一般方法

微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。建立系统或元件微分方程的一般步骤如下：

（1） 根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量； （2） 根据物理或化学定律，列写系统各组成元件的原始方程；

（3） 在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线

性化处理；

（4） 消去中间变量，得出描述输出量和输入量（包括干扰）关系的微分方程，即元件

的微分方程；

（5） 对求出的系统微分方程标准化。即将与输出有关的各项放在等号左侧；而将与输

入有关的各项置于等号右侧，等号左右侧各项均按降幂形式排列。 例：列写下图所示RC 网络的微分方程。 解：1、明确输入、输出量

输入量：RC 网络的电压u r ；

输出量：u c

2、建立输入、输出量的动态联系

根据电路理论的基尔霍夫电压定律，任意时刻，网络的输入电压等于各支路的电压降和，即

u u c r Ri += (1)

dt

d C

i u c

= ………（2）（i 为网络电流，是一个中间变量） 3、消除中间变量

-+

-

将（2）式代入（1）式得

u u u c c

r dt

d RC

+= 4、系统的微分方程的标准化 u u u r c c

dt

d RC

=+ 例2：列写下图所示RLC 网络的微分方程。（零初始条件） 解：1、明确输入、输出量

输入量：u i ； 输出量：u c 2、列写个组件的原始方程

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

==++=)

3()2()

1( dt d C i dt di L iR u u u u u c L

c L i （i 为网络电流，是一个中间变量） 3、消除中间变量

将（3）分别代入（1）、（2）则得

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

=++=)

5()

4(22 t u d u u u u u d LC dt d RC c

L c L c i

将（5）代入（4）则得

u t u d u u c

c c i

d LC dt d RC

++=2

2

4、系统的微分方程的标准化

u u u t u d i c c c dt d

RC d LC =+++2

2

即为所求的微分方程

例3：列写下图所示RL 网络的微分方程。（零初始条件）

1、明确输入、输出量

输入量：u r ；

+

-

c

+

-

输出量：u c 2、列写个组件的原始方程

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

==+=)

3()2()

1( dt di L

Ri iR u u u u L c L r 3、消除中间变量

将（3）分别代入（1）则得

)4( dt

di L

iR u r +=

由（2）得)5( R

i u c

=

将（5）代入（4）得dt

d R L u u u c

c r += 4、系统的微分方程的标准化

u u u r c c

dt

d R L =+ 即为所求的微分方程 §2—2 非线性方程的线性化

控制系统的实际组成元件，几乎程度不同地都具有非线性特性。求出的系统微分方程常常是非线性方程。由于非线性微分方程的求解很困难，如果能把非线性方程转化为线性方程，将为系统的分析和计算提供很大的方便。由于许多实际控制系统的输入量和输出量是围绕平衡工作状态进行小范围变化的，故可采用泰勒级数展开法，略去二次以上的高次项，进行小偏差线性化处理，所得到的线性微分方程称为系统的线性化数学模型。

也就是说，如果实际上的x 只是在某平衡工作点x 0附近小范围变化，则在x 0附近以直线代替曲线就较为合理。

设元件的输入量)(t x 和输出量)(t y 的非线性函数为：)(x f y =

在工作点（平衡点）),(00y x 的邻域内，对非线性函数可表示为泰勒级数：即

++++-+=--)()(0)(!10)(!21)()()(02202000x x x

x d x x x x d x x x n

n n

d f n d f x dx df f y 略高阶无穷小（因为变量x 偏离工作点x 0的范围较小，所以增量)(0x x -的高次项可以忽略不计，故可以近似得到

)()

()()()(000000x x y x x x x dx

df x dx df f y -+=-+

= 即 )(00x y x k y -=- 式中dx

df k x )

(0=

，)(00x y f = 上式表示了单变量系统在工作点处小偏差线性化的基本方程。

系统的输入、输出只是在工作点附近的微小变化，至使)(0x x -很小，其高次项可忽略。这个假设是符合自动控制系统的。因为对于闭环系统而言，只要有偏差，就产生控制作用，以抑制偏差，所以各变量只能在平衡点做微小运动。

例：工业中常用孔板和差压变压器测量流体的流量。通过孔板的流量Q 与孔板前后的差压P 的平方根成正比，即P k Q =（k 为常数）

设系统在流量值Q 0附近作微小变化，将流量方程线性化。 解：首先对方程两边求导

P

k

dp dQ 2= 则根据小偏差线性化的基本方程，则

)(2)(00000

p p p dp dQ Q p k

p p

Q -=-=

-

即流量方程线性化方程为

p k Q p ∆=

∆0

2

§2—3 传递函数

微分方程是从时间域中描述系统的动态方程的数学模型，在给定输入量和初始条件时，就可求得系统输出响应的解。这种方法虽然比较直观准确，但用于分析设计高阶系统时，就显得繁琐。因为高阶系统的求解比较困难，而且看不出系统的结构，参数对系统输出解的影响。如果输出响应不合要求就不知如何去改变系统的结构参数，而且如果每次改变结构参数，就得重新编写微分方程。线性定常系统微分方程经过拉氏变换，就可得到系统在复频域中的数学模型，称为传递函数。

传递函数不仅可以表示系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构和参数对