微分方程和差分方程
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
通解 — 解中含有n个独立的任意常数 C1 , C2 ,Cn 的 函数解，称为其通解。 特解 — 在通解中给任意常数 C1 , C2 ,Cn 以确定的值 而得到的解，称为其特解。
例： y 2 x
2 y x C，其中 C 为任意常数。 其通解为
2 y x 取 C 0， 得其特解为 。
例： dy ay 2 一阶非线性常微分方程 dx dy P( x) y Q( x) 一阶线性常微分方程 dx d2y dy 2 2 x 二阶非线性常微分方程 x x y e dx 2 dx 2u u 0 二阶偏微分方程 2 t dx
二、微分方程的解
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
x 1
第二节 可分离变量微分方程
一阶微分方程的一般形式为 一、可分离变量方程 分离变量方程
F ( x, y, y) 0 或 y f ( x, y )
g ( y ) d y f ( x) d x
dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0
即
令C e
C1
ln y x 3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1) d y 0 y(0) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得 即
y x 1 C ( C 为任意常数 )
2
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
例3：
解： 分离变量 即
e y e x C ( ex C ) e y 1 0 ( C < 0 )
二、齐次微分方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
y 解法: 令 u , x
du 代入原方程得 u x f (u ) dx
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件):
dy dx
( n 1) ( n 1) y ( x0 ) y0 , y ( x0 ) y0 , , y ( x0 ) y0
例 通解: 特解:
2x
2, 得C 1
y x 1 2 y x2 C, y 2 y x 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 F ( x, y, y ,, y ( n ) ) 0
n 则称其为n阶线性微分 若F为 y, y ,, y 的线性函数，
方程; 否则，称其为非线性微分方程。
其一般形式为
y ( n ) a1 ( x) y ( n1) an1 ( x) y an ( x) y f ( x) 其中 a1 ( x), a2 ( x), an ( x), f ( x) 均为x的已知函数。
例2. 解微分方程
dy y y 2 y 2 , 令 u , 则有 dx x x x 2 2 u u x u u x u 2u u du dx 1 1 dx 分离变量 即 d u 2 x u u u 1 u x u 1 积分得 ln ln x ln C , u u1 x ( u 1) ln ln x ln C , C 即 u u 代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
转化
分离变量方程
g ( y ) d y f ( x) d x
分离变量方程的解法:
g ( y ) d y f ( x) d x
f ( x) d x
①
两边积分, 得 则有
② 其中C为任意常数 。
例1. 求微分方程
的通解.
d y 解: 分离变量得 3 x 2 d x 说明: 在求解过程中 y 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 两边积分 减解. 或 3 ln y x C1 得
解: 方程变形为
第八章 微分方程
已知 y f ( x) , 求 y
推广
— 积分问题
已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y
— 微分方程问题
第一节 微分方程的基本概念
一、微分方程的基本概念
含自变量,未知函数及其导数(微分)的方程叫做微分方程 分类
常微分方程 (未知函数为一元函数)
偏微分方程 (未知函数为多元函数)
du dx f (u ) u x
分离变量: 两边积分, 得 积分后再用
du dx f (u ) u x
代替 u, 便得原方程的通解.
y y 例1. 解微分方程 y tan . x x y 解: 令 u , 则 y u x u , 代入原方程得 x u x u u tan u x u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u dx du 两边积分 sin u x 得 ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x
例： y 2 x
2 y x C，其中 C 为任意常数。 其通解为
2 y x 取 C 0， 得其特解为 。
例： dy ay 2 一阶非线性常微分方程 dx dy P( x) y Q( x) 一阶线性常微分方程 dx d2y dy 2 2 x 二阶非线性常微分方程 x x y e dx 2 dx 2u u 0 二阶偏微分方程 2 t dx
二、微分方程的解
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
x 1
第二节 可分离变量微分方程
一阶微分方程的一般形式为 一、可分离变量方程 分离变量方程
F ( x, y, y) 0 或 y f ( x, y )
g ( y ) d y f ( x) d x
dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0
即
令C e
C1
ln y x 3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1) d y 0 y(0) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得 即
y x 1 C ( C 为任意常数 )
2
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
例3：
解： 分离变量 即
e y e x C ( ex C ) e y 1 0 ( C < 0 )
二、齐次微分方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
y 解法: 令 u , x
du 代入原方程得 u x f (u ) dx
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件):
dy dx
( n 1) ( n 1) y ( x0 ) y0 , y ( x0 ) y0 , , y ( x0 ) y0
例 通解: 特解:
2x
2, 得C 1
y x 1 2 y x2 C, y 2 y x 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 F ( x, y, y ,, y ( n ) ) 0
n 则称其为n阶线性微分 若F为 y, y ,, y 的线性函数，
方程; 否则，称其为非线性微分方程。
其一般形式为
y ( n ) a1 ( x) y ( n1) an1 ( x) y an ( x) y f ( x) 其中 a1 ( x), a2 ( x), an ( x), f ( x) 均为x的已知函数。
例2. 解微分方程
dy y y 2 y 2 , 令 u , 则有 dx x x x 2 2 u u x u u x u 2u u du dx 1 1 dx 分离变量 即 d u 2 x u u u 1 u x u 1 积分得 ln ln x ln C , u u1 x ( u 1) ln ln x ln C , C 即 u u 代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
转化
分离变量方程
g ( y ) d y f ( x) d x
分离变量方程的解法:
g ( y ) d y f ( x) d x
f ( x) d x
①
两边积分, 得 则有
② 其中C为任意常数 。
例1. 求微分方程
的通解.
d y 解: 分离变量得 3 x 2 d x 说明: 在求解过程中 y 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 两边积分 减解. 或 3 ln y x C1 得
解: 方程变形为
第八章 微分方程
已知 y f ( x) , 求 y
推广
— 积分问题
已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y
— 微分方程问题
第一节 微分方程的基本概念
一、微分方程的基本概念
含自变量,未知函数及其导数(微分)的方程叫做微分方程 分类
常微分方程 (未知函数为一元函数)
偏微分方程 (未知函数为多元函数)
du dx f (u ) u x
分离变量: 两边积分, 得 积分后再用
du dx f (u ) u x
代替 u, 便得原方程的通解.
y y 例1. 解微分方程 y tan . x x y 解: 令 u , 则 y u x u , 代入原方程得 x u x u u tan u x u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u dx du 两边积分 sin u x 得 ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x