优化设计的数学基础

v=1,2....,q
式中D表示由p个不等约束条件和q个等约束条 件所规定的可行域。
通过最优化方法求得的一组最优设计变量：
X * [x1*, x2*, , xn *]
表示了一个最优化的设计方案，称为最优设计点。 对应于该设计方案的目标函数为：
F* F ( X *) F (x1*, x2*, , xn*)
在机械设计中，可作为参考目标函数的有：
体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力 最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成 本最低、耗能最小、动负荷最小等等。
在最优化设计问题中，可以只有一个目标 函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提 出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数 的最优化问题。在一般的机械最优化设计中， 多目标函数的情况较多。
对于离散设计变量，在优化设计过程中常常把 它们视作连续量，在求得连续量的优化结果后再进 行圆整或标准化，以求得一个实用的最优方案。
§3-2 约束条件
设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有 些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提 出的要求，就称为可行设计。
一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制 条件称作约束条件，简称约束。
非可行域： 在可行域外的点称为非可行设计点（外点），代
表不可采用的设计方案，这种设计点的集合为非可行 域。
§3-3 目标函数
为了对设计进行定量评价，必须构造包含设 计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标 函数，以F(X)表示。
F (x) F (x1，x2， ，xn )
在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善的方 向自动调整，最后求得F(X)值最好或最满意的X值。在构造 目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所 有的设计变量必须包含在约束函数中。
再对它作必要的几何描述，以便比较直观地、形象化地 理解它。先以一个二维优化问题为例。
设有一个约束最优化问题，数学模型如下：
min(x12 x22 4x1 4) X D R2
D：g1( X ) x1 g2 ( X ) x12
x2 x2
2 0
1 0
g3( X ) x1 0
一、设计约束的类型
(1) 约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等 式约束两种类型。
(2) 根据约束的性质可以把它们区分成： 性能约束——针对性能要求而提出的限制条件称
作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强 度、刚度或稳定性等要求；
边界约束——只是对设计变量的取值范围加以限 制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的 尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。
§3-4 优化设计的数学模型
综上所述，最优化问题数学模型一般表示如下： 对于无约束最优化问题：
min F(X )
X Rn
式中，Rn 表示n维实欧氏空间。
对于约束最优化问题：
min F ( X )
X D Rn
D : gu (X ) 0 ,
u
1,
2,...,
p
hv ( X ) 0 ,
设计空间 Rn ： 以x1, x2 , …,xn 为坐标轴，构成 n 维欧氏实空间Rn。
它包含了所有可能的设计点，即所有设计方案。
欧氏空间:
由于工程设计中的设计变量都是实数，所以称这 种设计空间为欧式空间
三、连续量与离散量
一般来说，设计变量大多是一些连续变化的量。
但在机械设计中，有些变量也可能是跳跃式的 量。例如齿轮的齿数必须为整数，模数必须符合国 家标准所规定的值，轴承的尺寸必须符合产品样本 中所规定的值等。凡属这类跳跃式的量称为离散量。
满足上述要求的计算过程或计算方法就是所谓的 数值迭代过程 或 数值迭代方法。
数值迭代的基本思想是：从某一个选定的初始点 X (0出) 发，按照某种最优化方法所规定的原则，确定适 当的方向和步长，获得第一个新的修改设计点 X (1)， 计算此点的目标函数值 F ( X (1)使) 满足：
(3) 显式约束 隐式约束
约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计 变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形 式 ,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、 频率等），需要通过有限元等方法计算求得。
பைடு நூலகம்
二、可行域和非可行域
可行域： 在可行域内任意一点称为可行设计点（内点），
代表一个可行方案, 可行设计点的集合D称为可行设计 区域。
设计向量：用 X =[x1, x2 , …,x n]T 表示， 是定义在 n 维欧氏空间中的一个向量。
二、设计点与设计空间
设计点: X(k)（x1(k), x2 (k), …,x n(k)）： 是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中的一个
点，也代表第 k 个设计方案。可能是可行方案、也 可能不是可行方案。
g4 ( X ) x2 0
对于这样一个优化问题，可用下图的几何图形来说明 几个基本概念。
§3-6 优化设计的迭代过程 及终止准则
一 、迭代过程与迭代格式
为了适应电子计算机的工作特点，要求最优 化方法具有下列性质：
1. 数值计算，而不是解析方法； 2. 具有简单的逻辑结构，并能进行反复的运算过程： 3. 不要求获得精确解，而只要求有足够精度的近似解。
称为最优化值。
最优点和最优值两者构成了一个优化问题的最优解。
在数学模型中，若目标函数F（X）和约束函数 gu (X )
和 hv (X )都是设计变量 x1*, x2 *, , x的n *线性函数，
这样的优化问题常称为线性规划问题，否则称为非线 性规划问题。
§3-5数学模型的几何描述
为了进一步说明最优化问题的一些基本概念，下面
第三章 优化设计的数学模型
§3-1 设计变量 §3-2 约束条件 §3-3 目标函数 §3-4 优化设计的数学模型 §3-5 数学模型的几何描述 §3-6 优化设计的迭代过程及终止准则
优化设计的数学模型是描述实际优
化问题的设计内容、变量关系、有关设 计条件和意图的数学表达式，它反映了 物理现象各主要因素的内在联系，是进 行优化设计的基础。
§3-1设计变量
一、设计变量
设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选的 量。
设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定 数值。
可以是几何参数：例，尺寸、形状、位置 运动学参数： 例，位移、速度、加速度 动力学参数： 例，力、力矩、应力 其它物理量： 例，质量、转动惯量、频率、挠度 非物理量： 例，效率、寿命、成本