正弦定理(一)PPT课件
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正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，A＝45°， 求B和c。
变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ ，A＝45°， 求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 求B和c。
，b＝ ，A＝45°，
正弦定理应用二：
已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进
而可求其它的边和角。（要注意可能有两解或无 解）
例3、在△ABC中，已知 a=28，b=20， A=120º，求B（精确到1º）和（保留两 个有效数字）。
C a
b 120º
小结：已知两边和其中一边
A 的对角解三角形，有两解或一解。
B
案例小结！
C
（1）A为锐角 C
b
a
ba a
A
B
a = bsinA (一解）
（2）正弦定理的几种变式：（类同比例的性质）
探究2：该比值是什么？
探究2：正弦定理与外接圆的关系 B
c A
a
O
C
b
C/
正弦定理的应用
（1）已知两角和任一边，求其他 两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对 角，求另一边的对角（从而进一 步求出其他 的边和角）
知 “三” 求 “三”
案例探究
解： ∵
即
其中，当∠C为锐角或直角时，
当∠C为钝角时，
故可得csinB-bsinC=0,
c
即
B A
b
同理可得
B
a （D）C B
c αb
aD C A
c b
aC D
所以
当
时
正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广。
请大家用文字表述正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。
说明（1）正弦定理对任意三角形都成立；它揭示了三 角形中边与角的一种关系。
C
b
A B2
B1
bsinA<a<b
a (两解）
A
B
a≥b (一解）
（2）A为直角或钝角
C
C
b
a
A
B
a>b(一解）
Biblioteka Baidu
b
a
A
B
a>b(一解）
小结提高
一个 定理 ——正弦定理 a = b = c sinA sinB sinC
二种 思想 —— 转化思想 方程思想
三种 方法 ——等积法 分割法 向量法
作业：同步作业本67页
C
b
D
a
A c
探究1: 上述关系式B对钝角三角形、直角三 角形是否适用？
探索研究
验证
直角三角形:已知一锐角和一边，求其余元素。
sinA= 所以 c=
sinB= c=
sinC= 1 。 A
c
c=
b
C
B
a
猜想：对其它三角形此结论是否成立？
定理证明：
在△ABC中，有 不妨设∠C为最大角，过点A作AD⊥BC于D，于是 A
创设情景
问题1：如图，江阴长江大桥全长2200m，
在北桥墩处A测得火车北渡口C与南桥墩B的 张角为75o，在火车北渡口C处测得大桥南 北桥墩的张角为45o，试求BC的距离。
C
C火车北渡口
450
450
北桥墩A 750
750 A
B南桥墩
B
问题2： △ABC中，根据刚才的求法写出 A、C、a、c的关系式。并由此猜想与B、 b的关系式再给予证明。
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，A＝45°， 求B和c。
变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ ，A＝45°， 求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 求B和c。
，b＝ ，A＝45°，
正弦定理应用二：
已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进
而可求其它的边和角。（要注意可能有两解或无 解）
例3、在△ABC中，已知 a=28，b=20， A=120º，求B（精确到1º）和（保留两 个有效数字）。
C a
b 120º
小结：已知两边和其中一边
A 的对角解三角形，有两解或一解。
B
案例小结！
C
（1）A为锐角 C
b
a
ba a
A
B
a = bsinA (一解）
（2）正弦定理的几种变式：（类同比例的性质）
探究2：该比值是什么？
探究2：正弦定理与外接圆的关系 B
c A
a
O
C
b
C/
正弦定理的应用
（1）已知两角和任一边，求其他 两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对 角，求另一边的对角（从而进一 步求出其他 的边和角）
知 “三” 求 “三”
案例探究
解： ∵
即
其中，当∠C为锐角或直角时，
当∠C为钝角时，
故可得csinB-bsinC=0,
c
即
B A
b
同理可得
B
a （D）C B
c αb
aD C A
c b
aC D
所以
当
时
正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广。
请大家用文字表述正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。
说明（1）正弦定理对任意三角形都成立；它揭示了三 角形中边与角的一种关系。
C
b
A B2
B1
bsinA<a<b
a (两解）
A
B
a≥b (一解）
（2）A为直角或钝角
C
C
b
a
A
B
a>b(一解）
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b
a
A
B
a>b(一解）
小结提高
一个 定理 ——正弦定理 a = b = c sinA sinB sinC
二种 思想 —— 转化思想 方程思想
三种 方法 ——等积法 分割法 向量法
作业：同步作业本67页
C
b
D
a
A c
探究1: 上述关系式B对钝角三角形、直角三 角形是否适用？
探索研究
验证
直角三角形:已知一锐角和一边，求其余元素。
sinA= 所以 c=
sinB= c=
sinC= 1 。 A
c
c=
b
C
B
a
猜想：对其它三角形此结论是否成立？
定理证明：
在△ABC中，有 不妨设∠C为最大角，过点A作AD⊥BC于D，于是 A
创设情景
问题1：如图，江阴长江大桥全长2200m，
在北桥墩处A测得火车北渡口C与南桥墩B的 张角为75o，在火车北渡口C处测得大桥南 北桥墩的张角为45o，试求BC的距离。
C
C火车北渡口
450
450
北桥墩A 750
750 A
B南桥墩
B
问题2： △ABC中，根据刚才的求法写出 A、C、a、c的关系式。并由此猜想与B、 b的关系式再给予证明。