正弦定理(一)PPT课件

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正弦定理应用一: 已知两角和任意一边,求其余两边和一角
例⒉在△ABC中,已知a=2,b= ,A=45°, 求B和c。
变式1:在△ABC中,已知a=4,b= ,A=45°, 求B和c。
变式2:在△ABC中,已知a= 求B和c。
,b= ,A=45°,
正弦定理应用二:
已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进
而可求其它的边和角。(要注意可能有两解或无 解)
例3、在△ABC中,已知 a=28,b=20, A=120º,求B(精确到1º)和(保留两 个有效数字)。
C a
b 120º
小结:已知两边和其中一边
A 的对角解三角形,有两解或一解。
B
案例小结!
C
(1)A为锐角 C
b
a
ba a
A
B
a = bsinA (一解)
(2)正弦定理的几种变式:(类同比例的性质)
探究2:该比值是什么?
探究2:正弦定理与外接圆的关系 B
c A
a
O
C
b
C/
正弦定理的应用
(1)已知两角和任一边,求其他 两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对 角,求另一边的对角(从而进一 步求出其他 的边和角)
知 “三” 求 “三”
案例探究
解: ∵

其中,当∠C为锐角或直角时,
当∠C为钝角时,
故可得csinB-bsinC=0,
c

B A
b
同理可得
B
a (D)C B
c αb
aD C A
c b
aC D
所以


正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广。
请大家用文字表述正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等。
说明(1)正弦定理对任意三角形都成立;它揭示了三 角形中边与角的一种关系。
C
b
A B2
B1
bsinA<a<b
a (两解)
A
B
a≥b (一解)
(2)A为直角或钝角
C
C
b
a
A
B
a>b(一解)
Biblioteka Baidu
b
a
A
B
a>b(一解)
小结提高
一个 定理 ——正弦定理 a = b = c sinA sinB sinC
二种 思想 —— 转化思想 方程思想
三种 方法 ——等积法 分割法 向量法
作业:同步作业本67页
C
b
D
a
A c
探究1: 上述关系式B对钝角三角形、直角三 角形是否适用?
探索研究
验证
直角三角形:已知一锐角和一边,求其余元素。
sinA= 所以 c=
sinB= c=
sinC= 1 。 A
c
c=
b
C
B
a
猜想:对其它三角形此结论是否成立?
定理证明:
在△ABC中,有 不妨设∠C为最大角,过点A作AD⊥BC于D,于是 A
创设情景
问题1:如图,江阴长江大桥全长2200m,
在北桥墩处A测得火车北渡口C与南桥墩B的 张角为75o,在火车北渡口C处测得大桥南 北桥墩的张角为45o,试求BC的距离。
C
C火车北渡口
450
450
北桥墩A 750
750 A
B南桥墩
B
问题2: △ABC中,根据刚才的求法写出 A、C、a、c的关系式。并由此猜想与B、 b的关系式再给予证明。
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