第3章-非稳态导热分析解法3

平壁或圆筒壁； 厚度、直径等
２、确定初始条件及各物体的边界 条件

物理条件：导热体的 物理特征如：

3、求解，得出导热物体的温度场
物性参数 、c 和 的数值，是否随 温度变化； 有无内热源、大小 和分布；
4、利用傅立叶定律和已有的温度场 确定热流量或热流密度

肋片
t 0
平壁 圆筒壁 球壳 一维 多维
43.2W/(m K) 5 1 . 18 10 a c p 7790kg/m 3 470J/(kg K)
傅里叶数为
Fo a

2

1.18 10 5 m 2 /s 40 60s
0.1m
2
2.83
毕渥数为
300W/(m 2 K) 0.1m Bi 0.463 43.2W/(m K)
S=
A

圆筒壁
2 l S ln( r2 r1 )
4 S 1 r1 1 r2
球壳
等截面直肋
非稳态导热
Bi 0
t t hA exp( ) 0 t0 t cV
零维
一维非 稳态导热
Fo 0.2
正规状况 阶段
( , ) A exp( 12 Fo) f ( 1 ) 0
P129：图3-7
Q f (Fo, Bi ); Q0
P130：图3-9
如何利用线图线 a）由时间求温度
计算Bi数、 x/δ
图3-8
θ/θm
图3-7
计算Bi数、 Fo数 θm/θ0
m 0 m 0
t t 0 t0 t
t
如何利用线算图 b）由温度求时间 图3-8 计算Bi数、 x/δ θ/θm 图3-7 θm/θ0 Fo数
任一点的热流密度：
1 0 qx x a
0 a
e
x
2
4 a
令 x 0 即得边界面上的热流密度
qw
[0,]内累计传热量
q


0
q w d 2
c 0
吸热系数
导热理论分析方法的基本思路
1、根据几何条件、物理条件简化导 热微分方程式 几何条件：导热体的 几何形状和大小，
h
查图可得
m t m t 0.32 0 t0 t
加热40分钟时钢板的中心温度：
t m 0.32t0 t t 0.32 20C 1000C 1000C 686C
二、无限长圆柱体和球体加热（冷却）过程分析
t 1.无限长圆柱 附录P573附录16 t∞
t0
x
erf ( x)
2


x v 2 e dv 0
x erf ( x) 1 x有限大小时， erf ( x) 1

令

无量纲坐标
x 4a
erf ( ) 0
t tw erf ( ) 0 t0 tw

x 4 a
η ，erf(η)
x 2 4 a
erf ( 2 ) 0 . 9953 0
两个重要参数:
① 几何位置 若 2
x 4 a
对于原为2δ的平板，若 4 a 限大物体来处理
，即可作为半无
② 时间
x2 若 2 16a 2 对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只 适用于物体的非稳态导热的初始阶段，在惰性时 间以内。Fo=aτ/x2 ≤ 0.06
h
t∞ t0 h 0 r
t∞ t h t 0 0 P575附录17
2.球体
r
t t r f Bi , Fo , ＝ 0 t0 t R
式中R 为无限长圆柱体的半径
c ＝ f1 Bi, Fo f 2 Bi, r R 0 0 c
2sin( n ) ( x, ) cos( n ) exp( Fon 2 ) 0 n 1 n sin n cos n
2 F a 对无限大平板的非稳态导热过程 0
当Fo≥0.2 时，过余温度比可近似取级数的首项， 误差小于1%
2 sin 1 ( x, ) cos( 1 )e 0 1 sin 1 cos 1
erf(η)
erf ( y )
θ/θ0
1, t
t0
y
x 4 a

x 4 a
erf ( ) 0

x 4 a
若令 η=2， 则erf(2)=0.9953
即：θ/θ0=0.9953
erf(η)
erf ( y )
可认为该处温度没有变化，仍为t0
y
x 4 a

x 4 a

t t 0 t0 t
τ
如何利用线算图 c）平板吸收（或放出）的热量
计算Bi数、 Fo数
图3-9
Q/Q0
Q
Q Q＝ Q 0 Q0
解的应用范围 书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质 的第三类边界条件或第一类边界条件的加 热及冷却过程，并且F0≥0.2
第三章
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4
非稳态导热
非稳态导热的基本概念 集中参数法的简化分析 典型一维物体非稳态导热的分析解 半无限大物体的非稳态导热
§3.3一维非稳态导热过程分析
一维非稳态导热 平板：沿厚度方向 圆柱：沿半径方向 球： 沿半径方向 求解过程不予介绍，主要介绍解的应用
2. 非稳态导热正规状况阶段分析解的简化
t f(x) t f(r)
稳态导热 导热
零维 非稳态 导热
t 0
t f(x,y,z, )
Ｂｉ
一维 多维
t f( )
t f(x,) t f(r,)
典型一维稳态导热问题的分析解
一维、稳态、常物性、无内热源，导热微分方程可简化为： 坐标系： 直角
d2t 0 2 dx
一维
Bi>0.1M
非正规 状况阶段
x erf 0 4a
1.导热理论的首要任务是 。 2.导热的基本规律为 定律，该定律的数学表达式 。 3.q与Ф分别表示什么 ，其单位分别是什么？ 4.对一个特定的导热过程，其完整的数学描述包括哪两部分 ? 5.第一，二类边界条件分别给出了导热体边界上的 值。 6.写出一维稳态导热，无内热源、物性参数为常数时，单层 平壁的导热微分方程式 。 7.请解释稳态与非稳态导热的区别： 8.判定一个任意的系统是否是集中参数系统的话，需要用到 的无量纲数为 ,其物理意义为 ，对于平板 中的一维非稳态第三类边界条件下的导热问题，满足什么 条件时，可判定平板中的导热可用集中参数法： 9.傅里叶数的表达式及其物理意义
两个不同的阶段 t
非正规状况阶段(右侧面不参与换热 )： 温度分布主要受初始温度分布的影响。 例如：P-B-L，P-C-L 正规状况阶段(右侧面参与换热 )： 当右侧面参与换热以后，物体 中的温度分布不受 t0 影响，主要取 决于边界条件及物性。 例：P-D，P-E，P-F，P-G
x
半无限大物体导热的数学描述
球壳
dt = c1 d r 1
t -t1 t t =- 2 1 1 r 1 r1 1 r2 1 r1
典型一维稳态导热问题
平壁
t t1 o
t1
t t1 +
t2 t1

x
t2
圆筒壁
t2 t1 t t1 ln(r r1 ) ln(r2 r1 )
1 r 1 r1 t t1 (t1 t2 ) 1 r2 1 r1
Bi h Bi hR

F0 a F0 a
2
R2
此处的A，B及函数 f(μ1,η) 见P127表3-1
3、 非稳态导热正规状况的工程计算法 （1）拟合公式法
( , ) A exp( 12 Fo) f ( 1 ) 0
Q 1 A exp( 12 Fo) B Q0
t0 (t0-t∞)/ch(mH) t∞ 0 H
t
x
一维稳态导热的热流量
=S （t1 t2）
平壁 S为形状因子
A = （t1 t2）
t1 t2 Φ 2 l ln( r2 r1 )
4 (t1 t2 ) 1 r1 1 r2
hP Φ 0 th(mH ) m
r1
r2
t2
q
球壳
r1
r2
典型一维稳态导热问题 相同的边界温度（t1和t2），厚度和导热系数
t
圆筒壁 球壳
x或r
一维稳态导热问题
等截面直肋 有内热源的一维导热
d 2t hP (t t ) 0 2 dx Ac
d 2t + 0 2 dx
ch[m(H x)] t (t0 t ) t ch(mH )
平壁 dt c1 dx 圆筒壁 dt
d ln r
线性关系：t ~x t -t1 t2 t1 = x-0 -0
线性关系：t ~lnr
=c1
圆柱
d dt (r ) 0 dr dr
t -t1 t2 t1 = ln r ln r1 lnr2 lnr1
线性关系：t ~-r -1
球
d 2 dt (r )=0 dr dr
2 1 F0
平板任意处 过余温度比
对无限大平板、圆柱体及球 （P124-P125）：
Q 及 可用一通式表达 Q0
0
( , ) A exp( 12 Fo) f ( 1 ) 0
Q 1 A exp( 12 Fo) B Q0
无限大平板 长圆柱体及球
x xR
Q f 3 Bi , Fo Q0
特征尺寸R为圆柱体或球体的半径， r为圆柱体或球体的径向方向。
§3-4 半无限大的物体
• 半无限大系统：一个半无限大 的空间，也就是一个从其表面可 以向其深度方向无限延展的物体 系统。
• 很多实际的物体在加热或冷却过程的初期都可以 视为是一个半无限大固体的非稳态导热过程。
2 sin 1 x x ( x, ) F cos( 1 ) f ( Fo, Bi, ) e 0 1 sin 1 cos 1
2 1 0
( x, ) ( x, ) m ( ) 0 m ( ) 0
τ时刻平板任 意处与中心处 的过余温度比 平板中心处 τ时刻与初始时 刻的过余温度比

2 1
b 1 (a ) Bi
cBi
A a b (1 e a cB i B 1 bB i
)
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式中常数a, b, c, 见P128表3-2
2
J 0 ( x ) a bx cx
dx
3
式中常数a, b, c, d 见P128表3-3
(2)图线法
诺谟图
以无限大平板为例，F0≥0.2 时，取其级数首项即可
f (Bi,
x

)
f (Bi, Fo)
( x, ) ( x, ) m ( ) 0 m ( ) 0
τ时刻平板任意 处与中心处的 过余温度比 平板中心处 τ时刻与初始时刻 的过余温度比
( x, ) ( x, ) m ( ) 0 m ( ) 0
f (Bi,
x

), f (Bi, Fo)
Bi<0.1，集中参数法
( x, ) (Bi, ) m ( )
x
P130：图3-8
( x, ) ( x, ) m ( ) ; 0 m ( ) 0
f (Bi,
x

) f (Bi, Fo)
m ( ) (Bi, Fo) 0
t
t t a 2 x
2
tw
t0
x
x 0, t tw
第一类边 界条件
0, t t0
初始条件
引入过余温度
t tw
t
tw
x erf 解为 0 4 a
error function or Gauss error function 误差函数：
例题3-3 一块厚200mm的大钢板，钢材的密度为 ρ=7790kg/m3，比热容cp=470J/(kg·K)，导热系 数为43.2W/(m·K)，钢板的初始温度为20℃，放 入1000℃的加热炉中加热，表面传热系数为 h=300W/(m2·K)。试求加热40分钟时钢板的中心 温度。 解： 根据题意，δ=100mm = 0.1m。钢材的热扩散率为