西南大学初等数论作业答案

作业1答案

一、简答题（每小题10分，共30分）

1. 判断30是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。

答：30是合数，其标准分解式为。

2. 94536是否是9的倍数，为什么？

答：94536是9的倍数，因为是9的倍数。

3. 写出模6的最小非负完全剩余系。

答：模6的最小非负完全剩余系为0，1，2，3，4，5。

4. 叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。

答：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数。

小于18的所有质数是23571113，17。

5. 叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。

答：0，1，2，…，m-1称为m的最小非负完全剩余系。

6. 2358是否是3的倍数，为什么？

答：2358是3的倍数。

因为一个整数能被3整除的充要条件是它的各个位数的数字之和为3的倍数，而2+3+5+8=18，18是3的倍数，所以2358是3的倍数。

二、给出不定方程ax + by = c有整数解的充要条件并加以证明。

解：结论：二元一次不定方程ax + by = c有整数解的充要条件是。

证明如下：若ax + by = c有整数解，设为，则

但，，因而，必要性得证。

反之，若，则，为整数。由最大公因数的性质，存在两个整数s，t满足下列等式

于是。

令，则，故为ax + by = c的整数解，从而ax + by = c有整数解。

三、给出有关同余的一条性质并加以证明。

答：同余的一条性质：整数a，b对模m同余的充要条件是m｜a-b，即a=b+mt ，t是整数。

证明如下：设，，，。若a≡b（mod m），则，因此，即m｜a－b。

反之，若m｜a－b，则，因此，但，故，即a≡b（mod m）。

四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。

答：若a，b是两个整数，其中b>0，则存在两个整数q及r，使得

a=bq+r，

成立，而且q及r是唯一的。

下面给出证明：

证作整数序列

…，－3b，－2b，－b，0，b，2b，3b，…

则a必在上述序列的某两项之间，及存在一个整数q使得qb≤a<(q+1)b成立。令a－qb＝r，

则r为整数，且a＝qb＋r，而。

设是满足（2）的另两个整数，则

，

所以，于是，故。由于r，都是小于b的正整数或零，故。如果，则，这是一个矛盾。因此，从而。