材料力学全套 PPT
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8
分析2
欧拉公式
σ
σp
E cr 2
2
欧拉公式适用范围 λ ≥ λp
（10-8）
2E cr 2
λp
λ
大柔度杆，细长杆
9
λp 的计算
2E cr 2 ≤σp
E p
2
2E p p
λp = 100
λp = 80 λp = 62.8
10
7.22 mm
0.5 880 y 61.0 iy 7.22
l
2. 计算临界力
比较
λz=54.3
λy=61.0
46=λ0＜ λz ＜λy ＜λp = 100
x-z 面内先失稳
且为中柔度压杆
Fcr cr A (a b ) A
(304 10 611.5 10 ) 25 60 10
欢迎观看！
23
课程内容： 10.3 非细长压杆的临界力 10.4 压杆稳定校核 10.5 提高压杆稳定性的措施
课程要求： 掌握柔度概念与计算 计算各种压杆的临界力 练习： 稳定校核2，选择10 作业： 10-2, 3, 5, 8, 14, 15
2
一、压杆的平衡状态
F<F cr cr F F<F F=Fcr
铰 -固
固 -固
μ=1
μ=2
μ=0.7
μ=0.5
10.3 非细长压杆的临界力
一、欧拉公式的另一形式
2 EI 欧拉公式的一般形式 Fcr 2 l 2 2 2 Fcr EI Ei I 2 cr i 2 2 A A l A l
记
l
i
称为压杆的柔度，又称长细比。 （10-6）
一、稳定安全因数nw 理想压杆：材料均匀； 轴线笔直； 载荷无偏心。 实际压杆：材料缺陷； 轴线初弯； 载荷偏心。 钢： [nw]=1.8 ～ 8
二、稳定条件 安全因数法 nw——稳定工作安全因数
Fcr nw F
[nw] ——规定稳定安全因数
稳定条件
Fcr nw nw （10-13） F
则得欧拉公式另一形式
E cr 2 （10-7）
2Hale Waihona Puke Baidu
6
二、欧拉公式的适用范围 1. 问题
（ 1） 材料和直 径均相同
能不能应用欧 拉公式计算这 里四根压杆的 临界载荷？
（ 2）
这里的四根 杆是不是都会 发生失稳？
7
2. 欧拉公式的适用范围 分析1 欧拉公式是在挠曲线近似微分方程 的基础上推导出来的，EIw″=M 适用条件: 材料服从胡克定律; 小变形。 因此，应力超过材料的比例极限后， 欧拉公式不再成立。 欧拉公式的适用范围是 σ ≤ σp
cr
2 s 1 c
a s b
o
p
E p
2
λ
c
λ
15
l
i
——柔度（长细比） slenderness
柔 度—影响压杆承载能力的综合指标。 根据压杆柔度不同，可将压杆分成三类:
细长杆、中长杆、短粗杆。
16
三类不同的压杆
细长杆——发生弹性失稳 破坏模式 (p) 中长杆——发生弹塑性失稳（屈曲） (o < p) σ 粗短杆——不发生失稳（屈曲）而发生屈服 ( < o) A σsσcr=σs σcr=a−bλ
σp
粗短杆
B
中长杆
2E cr 2
细长杆
O
λO
λp
λ
17
10.4 压杆稳定校核
三、稳定条件与强度条件比较 1. 安全因数 [nw] ＞n
钢 n=1.6 [nw]=1.8 ～ 8.0
2. 许用应力
[σw] ＜ [σ] , 且[σw]不是一个定值。
3. 计算横截面积
稳定：不考虑局部削弱面积 强度：必须考虑
σ
A
三类不同的压杆
B
σs
临界应力
C
许用应力
安全系数
O
D
λ
21
例题
已知：b=25 mm, h=60 mm, l=940 mm, l1=880 mm,Q235钢：E＝205 GPa, a=304MPa, b=1.5MPa；F＝105 kN, [nw]=3.0 求：校核稳定性
l
F
F
y
x
F F
z
x
l1
y
l
F
F
x y
A
B
F
x
l
解: 1. 计算柔度
iz h 2 3
x-y面内
60 2 3
两端铰支
μ=1
17.32 mm
z
l
iz
1 940 54.3 17.32
F
F x
l1
z
A B
F
z
l1
μ = 0.5
x
x-z 面内 两端固支
iy b 2 3 25 2 3
s 1 0.43 c
2
Q235 钢
λC
λc =123
λc =102
14
λ
16 Mn 钢
五、临界应力总图
（total diagram of critical stress) σ
s p
cr a b
σ
s
2E cr 2
O
λO
λp
λ
12
λo 的计算
s = a－bλo
σ
σs
σp
σcr=σs
A B
a s o b
σcr=a−bλ
2E cr 2
（10-10）
O
λO
λp
λ
13
2. 抛物线型经验公式
钢结构设计规范(TJ17-74) 对Q235 钢，16 Mn 钢
σ
σs
欧拉双曲线
当 λ＜ λc
cr
Q235钢
铸 铁 铝合金
三、钢的试验曲线 σ
σs 欧拉双曲线
λ
11
四、中小柔度压杆的临界力
1. 直线型经验公式
中长杆： cr＝ a - b a , b 查表 (10-9) 粗短杆： cr＝ s (b)
A
o≤ ＜ p ＜ o
σ
σs
σp
σcr=σs
σcr=a−bλ
B
2E cr 2
6 6
6
=318.75 kN 3. 稳定校核
Fcr 318.75 nw 3.04 ＞[nw] 满足稳定条件 F 105
10.5 提高压杆稳定性的措施
σ σsσcr=σs σp 粗短杆
A
σcr=a−bλ
B
中长杆
2E cr 2
细长杆
O
λO
λp
λ
上节回顾
F F>Fcr
稳定平衡
临界状态
不稳定平衡
二、欧拉公式的一般形式
上节回顾
EI Fcr 2 l
2
（10-5）
μ —— 长度因数 μl —— 相当长度
适用于细长压杆!
上节回顾
F
B
Fcr
Fcr
Fcr
B 0.7l D
B 0.25l
l
A
l
C
l
C A A
0.5l
0.25l
铰 -铰
自 -固
分析2
欧拉公式
σ
σp
E cr 2
2
欧拉公式适用范围 λ ≥ λp
（10-8）
2E cr 2
λp
λ
大柔度杆，细长杆
9
λp 的计算
2E cr 2 ≤σp
E p
2
2E p p
λp = 100
λp = 80 λp = 62.8
10
7.22 mm
0.5 880 y 61.0 iy 7.22
l
2. 计算临界力
比较
λz=54.3
λy=61.0
46=λ0＜ λz ＜λy ＜λp = 100
x-z 面内先失稳
且为中柔度压杆
Fcr cr A (a b ) A
(304 10 611.5 10 ) 25 60 10
欢迎观看！
23
课程内容： 10.3 非细长压杆的临界力 10.4 压杆稳定校核 10.5 提高压杆稳定性的措施
课程要求： 掌握柔度概念与计算 计算各种压杆的临界力 练习： 稳定校核2，选择10 作业： 10-2, 3, 5, 8, 14, 15
2
一、压杆的平衡状态
F<F cr cr F F<F F=Fcr
铰 -固
固 -固
μ=1
μ=2
μ=0.7
μ=0.5
10.3 非细长压杆的临界力
一、欧拉公式的另一形式
2 EI 欧拉公式的一般形式 Fcr 2 l 2 2 2 Fcr EI Ei I 2 cr i 2 2 A A l A l
记
l
i
称为压杆的柔度，又称长细比。 （10-6）
一、稳定安全因数nw 理想压杆：材料均匀； 轴线笔直； 载荷无偏心。 实际压杆：材料缺陷； 轴线初弯； 载荷偏心。 钢： [nw]=1.8 ～ 8
二、稳定条件 安全因数法 nw——稳定工作安全因数
Fcr nw F
[nw] ——规定稳定安全因数
稳定条件
Fcr nw nw （10-13） F
则得欧拉公式另一形式
E cr 2 （10-7）
2Hale Waihona Puke Baidu
6
二、欧拉公式的适用范围 1. 问题
（ 1） 材料和直 径均相同
能不能应用欧 拉公式计算这 里四根压杆的 临界载荷？
（ 2）
这里的四根 杆是不是都会 发生失稳？
7
2. 欧拉公式的适用范围 分析1 欧拉公式是在挠曲线近似微分方程 的基础上推导出来的，EIw″=M 适用条件: 材料服从胡克定律; 小变形。 因此，应力超过材料的比例极限后， 欧拉公式不再成立。 欧拉公式的适用范围是 σ ≤ σp
cr
2 s 1 c
a s b
o
p
E p
2
λ
c
λ
15
l
i
——柔度（长细比） slenderness
柔 度—影响压杆承载能力的综合指标。 根据压杆柔度不同，可将压杆分成三类:
细长杆、中长杆、短粗杆。
16
三类不同的压杆
细长杆——发生弹性失稳 破坏模式 (p) 中长杆——发生弹塑性失稳（屈曲） (o < p) σ 粗短杆——不发生失稳（屈曲）而发生屈服 ( < o) A σsσcr=σs σcr=a−bλ
σp
粗短杆
B
中长杆
2E cr 2
细长杆
O
λO
λp
λ
17
10.4 压杆稳定校核
三、稳定条件与强度条件比较 1. 安全因数 [nw] ＞n
钢 n=1.6 [nw]=1.8 ～ 8.0
2. 许用应力
[σw] ＜ [σ] , 且[σw]不是一个定值。
3. 计算横截面积
稳定：不考虑局部削弱面积 强度：必须考虑
σ
A
三类不同的压杆
B
σs
临界应力
C
许用应力
安全系数
O
D
λ
21
例题
已知：b=25 mm, h=60 mm, l=940 mm, l1=880 mm,Q235钢：E＝205 GPa, a=304MPa, b=1.5MPa；F＝105 kN, [nw]=3.0 求：校核稳定性
l
F
F
y
x
F F
z
x
l1
y
l
F
F
x y
A
B
F
x
l
解: 1. 计算柔度
iz h 2 3
x-y面内
60 2 3
两端铰支
μ=1
17.32 mm
z
l
iz
1 940 54.3 17.32
F
F x
l1
z
A B
F
z
l1
μ = 0.5
x
x-z 面内 两端固支
iy b 2 3 25 2 3
s 1 0.43 c
2
Q235 钢
λC
λc =123
λc =102
14
λ
16 Mn 钢
五、临界应力总图
（total diagram of critical stress) σ
s p
cr a b
σ
s
2E cr 2
O
λO
λp
λ
12
λo 的计算
s = a－bλo
σ
σs
σp
σcr=σs
A B
a s o b
σcr=a−bλ
2E cr 2
（10-10）
O
λO
λp
λ
13
2. 抛物线型经验公式
钢结构设计规范(TJ17-74) 对Q235 钢，16 Mn 钢
σ
σs
欧拉双曲线
当 λ＜ λc
cr
Q235钢
铸 铁 铝合金
三、钢的试验曲线 σ
σs 欧拉双曲线
λ
11
四、中小柔度压杆的临界力
1. 直线型经验公式
中长杆： cr＝ a - b a , b 查表 (10-9) 粗短杆： cr＝ s (b)
A
o≤ ＜ p ＜ o
σ
σs
σp
σcr=σs
σcr=a−bλ
B
2E cr 2
6 6
6
=318.75 kN 3. 稳定校核
Fcr 318.75 nw 3.04 ＞[nw] 满足稳定条件 F 105
10.5 提高压杆稳定性的措施
σ σsσcr=σs σp 粗短杆
A
σcr=a−bλ
B
中长杆
2E cr 2
细长杆
O
λO
λp
λ
上节回顾
F F>Fcr
稳定平衡
临界状态
不稳定平衡
二、欧拉公式的一般形式
上节回顾
EI Fcr 2 l
2
（10-5）
μ —— 长度因数 μl —— 相当长度
适用于细长压杆!
上节回顾
F
B
Fcr
Fcr
Fcr
B 0.7l D
B 0.25l
l
A
l
C
l
C A A
0.5l
0.25l
铰 -铰
自 -固